【文档说明】【精准解析】北师大版必修5练案：第3章3第2课时基本不等式与最大（小）值【高考】.docx，共(8)页，47.963 KB，由小赞的店铺上传

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[练案21]A级基础巩固一、选择题1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(C)A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤2[解析]由a＋b＝2，得ab≤(a＋b2)2＝1，排除A、B；又a2＋b2

2≥(a＋b2)2，∴a2＋b2≥2.故选C．2．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x<0)，则f(x)(A)A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[解析]令2x＝1x，由x<0得x＝－22，∴在x

＝－22两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D．f(x)＝2x＋1x－1＝－－2x－1x－1≤－2(－2x)·－1x－1＝－22－1，等号在x＝－22时成立，排除B．3．已知a、b是

正数，则a＋b2、ab和a2＋b22的大小顺序是(D)A．a＋b2≥ab≥a2＋b22B．a＋b2≥a2＋b22≥abC．a2＋b22≥ab≥a＋b2D．a2＋b22≥a＋b2≥ab[解析]a、b是正

数，显然有a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时，取等号)；再比较a2＋b22与a＋b2，∵(a＋b2)2－a2＋b22＝－(a2＋b2－2ab)4＝－(a－b2)2≤0，∴a＋b2≤a2＋b22，故选D．4．(2019·云

南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于(C)A．2B．4C．22D．25[解析]当a>0，b>0时，ab≤(a＋b)24＝t24，当且仅当a＝b＝t2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t24＝2，t2＝8，所以t＝8＝22.故选C．5．

用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(A)A．3米B．4米C．6米D．12米[解析]解法一：设隔墙的长度为xm，则矩形的宽为xm，长为24－4x2＝(12－2x)m，矩形的面积为S＝

(12－2x)x＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S取最大值，故选A．解法二：(接解法一)S＝(12－2x)·x＝2(6－x)·x≤2·6－x＋x22＝18，当且仅当6－x＝x即x＝3时取“＝”．故选A

．6．已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为(C)A．5B．4C．2D．1[解析]由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝ba2＋1，

∴k1k2＝－a2ba2＋1＝－1，∴b＝a2＋1a2>0，∴|ab|＝|a2＋1a|＝|a|＋1|a|≥2，等号成立时|a|＝1|a|，∴a＝±1，b＝2，∴|ab|的最小值为2.二、填空题7．已知log2a＋log2b≥1，

则3a＋9b的最小值为18.[解析]本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值．∵log2a＋log2b≥1∴log2(ab)≥1，ab≥2.∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2a·2b

≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)3a＋9b＝3a＋32b≥23a·32b＝23a＋2b≥234＝18.(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)8．若x<3，则实数f(x)＝4x－3＋x的最大值为－1.[解析]∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝4x

－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－[43－x＋(3－x)]＋3≤－243－x·(3－x)＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.三、解答题9．已知a、

b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.[证明]∵a＋b＋c＝1，代入不等式的左端，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝(a＋b＋ca－1)(a＋b＋cb－1)(a＋b＋cc－1)＝(ba＋ca)(ab＋cb

)(ac＋bc)＝ac＋bc＋ba＋ca＋ab＋cb＋2＝(ba＋ab)＋(cb＋bc)＋(ca＋ac)＋2.∵a、b、c∈(0，＋∞)，∴ab＋ba≥2，cb＋bc≥2，ca＋ac≥2，∴(ab＋ba)＋(cb＋bc)＋(ca＋

ac)≥6，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．10．设a≥0，b≥0，a2＋b22＝1，求a1＋b2的最大值．[解析]∵a2＋b22＝1，∴a2＋1＋b22＝32，a1＋b2＝2·a·

1＋b22≤2·a2＋1＋b222＝2·322＝324.∴当a2＋b22＝1且a＝1＋b22，即a＝22，b＝63时，a1＋b2的最大值为324.B级素养提升一、选择题1．已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的

取值范围是(C)A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[解析]由条件得|lga|＝|lgb|，∴lga＝lgb或lga＝－lgb，∵a≠b，∴lga＝lgb不成立．∴只有lga＝－lgb.即lga＋lgb＝0，∴ab＝1，b＝1a.又a>0，∴a＋b＝a＋1a

>2，故选C．2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(D)A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][解析]因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y，故2x＋y≤

12，即2x＋y≤14＝2－2.所以x＋y≤－2，故选D．3．下列命题中正确的是(D)A．函数y＝x＋1x的最小值为2B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2C．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最小值为2－43D．函数y＝2－3x－4x(x>

0)的最大值为2－43[解析]对于A，当x<0时，不成立；对于B，若设x2＋3x2＋2＝2，则无实数解；对于C、D，y＝2－3x－4x≤2－43(x>0)，当且仅当3x＝4x时，等号成立，故选D．4．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>

0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为(D)A．14B．12C．2D．4[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2

)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4(等号在a＝b＝12时成立)．故所求最小值为4，选D．二、填空题5．(2019·北京市东城区高三期末)某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二

次提价q%；方案乙：每次都提价p＋q2%，若p>q>0，则提价多的方案是乙.[解析]设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：(1＋p＋q2%)2，因为(1＋p%)(1＋q%)≤1＋p%＋1＋q%2＝1＋p＋q2%，因为p>q>

0，所以(1＋p%)(1＋q%)<1＋p＋q2%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p＋q2%)2，所以提价多的方案是乙．6．(2019·天津理，13)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为43.[解析]∵x>0，y>0，∴xy>0.∵x＋2y＝5

，∴(x＋1)(2y＋1)xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy≥212＝43.当且仅当2xy＝6xy时取等号．∴(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为43.三、解答题7．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求：(1)xy的最小值；(2)

x＋y的最大值．[解析](1)xy＝2x＋8y≥216xy，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时等号成立，∴xy≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得2y＋8x＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)(2

y＋8x)＝10＋2xy＋8yx≥10＋8＝18，当且仅当2xy＝8yx，即x＝12，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为18.8．(2019·山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产

1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝4400x－40000x2(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－

成本)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；(2)为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．[解析](1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40000x－16x＋4360＝－(40000x＋16x)＋4

360(10＜x＜100)，∵40000x＋16x≥240000x·16x＝1600.当且仅当x＝50时，“＝”成立，∴W≤－1600＋4360＝2760，即年利润的最大值为2760万元．(2)W＝－40000x－16x＋4360≥2360，整理得x2－

125x＋2500≤0.解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.∴25≤x＜100.故为了让年利润W不低于2360万元，年产量x的范围是[25,100)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xi

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