【文档说明】【精准解析】江苏省苏州市吴江区汾湖中学2020届高三下学期期初考试数学试题.doc，共(18)页，1.432 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差()2211niisxxn==−，其中11niixxn==．柱体的体积VSh=，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．锥体的体积13VSh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出

解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合1,2,3,4A=，集合4,5B=，则AB=______.【答案】4【解析】【分析】根据交集的概念，即可得出结果.【详解】因为集

合1,2,3,4A=，集合4,5B=，所以4AB=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.复数()i14iz=+，(其中i为虚数单位)的实部为_______．【答案】4−【解析】【分析】先

化简复数为abi+形式，然后可得复数的实部.【详解】因为()i14ii4z=+=−，所以()i14iz=+的实部为4−.故答案为：4−.【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的实部，求解的关键是把复数化简为最简形式，侧重考查数学运算的核心素养.3.函数()ln1fxxx=+−的定义域为___

_____.【答案】(0,1]【解析】【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】函数()ln1fxxx=+−的定义域满足：010xx−解得01x所以函数()ln1fxxx=+−的定义域为(0

,1]故答案为：(0,1]【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．．4.已知某地连续5天的最低气温（单位：摄氏度）依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为_________.【答案】6.【解析】【分析】先求均值，再

根据方差公式求结果.【详解】1821222425225x++++==2222221[(1822)(2122)(2222)(2422)(2522)]65s=−+−+−+−+−=【点睛】本题考查方差，考查基本

运算能力，属基础题.5.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有

某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人

，所以抽样比为19214400，所以北面共有14400108=8100192人，故填8100.6.已知椭圆221102xymm+=−−的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=__________.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解

】因为椭圆221102xymm+=−−的长轴在y轴上，焦距为4，所以242(10)()82mmm−−−==故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.7.如图是一个算法的程序框图，当输

入的值x为8时，则其输出的结果是__________．【答案】2【解析】试题分析：x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=-1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．解：x=8＞0，执行循环体，x=x-3=5-3=2＞0，继续执行循环体，x=x-3=2-3=-1＜

0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5-1=（12）-1=2．故答案为2考点：当型循环结构点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．8.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴

的正半轴重合，终边经过点()1,2P−，则2sin=______．【答案】45−【解析】【分析】根据三角函数定义求cos和sin，最后代入公式sin22sincos=求值.【详解】解：由题意可

得1x=−，2y=，5rOP==，1555xcosr−===−，22555ysinr===，4225sinsincos==−，故答案为：45−．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．9.已知函数2()log()afxxaxb

=+−+，若(3)(3)1ff−−=−，则实数a的值是_______．【答案】7【解析】【分析】根据解析式把(3),(3)ff−求出，代入可得实数a的值.【详解】因为2()log()afxxaxb=+−+，所以(3)(3)log(93)log(93)1aaffaa−−=+−−++=

−，即93log193aaa+−=−++，解得7a=.故答案为：7.【点睛】本题主要考查函数求值，根据解析式代入解方程是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E为棱1DD上的点，F为AB的中点，则

三棱锥1BBFE−的体积为.【答案】【解析】试题分析：.考点：1.三棱锥的体积；2.等体积转化法.11.已知x，y为正数，且1412xy+=+，则xy+的最小值为________.【答案】7【解析】【分析】由题设等式有()45222yyxxxy=++++++，利用基本不等式可求2xy++的最小

值，从而可得xy+的最小值.【详解】()()414222522yxyxyxxxyy=+++=+++++++，由基本不等式有()4422xyxy+++，当且仅当1,6xy==时等号成立，故2xy++的最小值为9即x

y+的最小值为7.故答案为：7.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.12.如图所示，平行四边形ABCD中，22ABAD==，60BAD

=，E是DC中点，那么向量AC与EB所成角的余弦值等于______.【答案】714【解析】【分析】首先利用向量的加减法将AC，EB分别用AB和AD表示，再利用利用向量夹角公式计算即可.【详解】由题知：ACABAD=+，222124122172ACABADA

BAD=++=++=.11()()22EBABAEABADDEABADABABAD=−=−+=−+=−.222111121142EBABADABAD=+−=+−=.2211111()()2122222ACEBABAD

ABADABABADAD=+−=−−=−−=.172cos147ACAEACAEACAE===.故答案为：714【点睛】本题主要考查向量的线性运算和夹角公式，同时考查了学生的转换能力，属于中档题.13.设△A

BC的三边a，b，c，所对的角分别为A，B，C．若2223bac+=，则tanA的最大值是____．【答案】24【解析】【分析】利用余弦定理先求cosA的最小值，然后可求tanA的最大值.【详解】因为2223bac+=，所以2221()3cab=−，所以2222222222

cos2333cbacbbcAbcbcbc+−+===，当且仅当2cb=时，取到等号；所以1sin3A，sin2tancos4AAA=，当且仅当2cb=时，取到最小值.故答案为：24.【点睛】本题主要考查余弦定理求解三角形，三角形

中的最值问题一般结合余弦定理及基本不等式求解，侧重考查数学运算的核心素养.14.任意实数a，b，定义00abababaabb=，设函数()lnfxxx=，正项数列na是公比大于0的等比数列，且()()()()()1010123201920201,a

fafafafafae=+++++=−，则2020a=____．【答案】1e【解析】【分析】先求出函数的解析式，求得1()()0fxfx+=，结合等比数列的等积性可求2020()efa=−，讨论2020a与1的大小，代入解析式可求结果.【详解】由题意()ln,1()lnln,01xxxfxxxx

xx==…，因为1x时，111ln()()ln0xfxfxxxx−−+=+=；1x时，1ln11()()ln0xfxfxxxx+=+=，所以0x时，1()()0fxfx+=恒成立；因为正项数列na是

公比大于0的等比数列，且10101a=，所以212019220181009101110101aaaaaaa=====，所以()()()()()()1201920121009108110fafafafafafa+=+==+=，又1010()0fa=，()()()()()12

320192020fafafafafae+++++=−，所以2020()efa=−；当1q时，20201a，所以20202020lneaa=−，此时无解；当1q时，202001a，所以20202020lneaa=−，解得20201ea

=；故答案为：1e.【点睛】本题主要考查函数的性质和等比数列的性质，发现1()()0fxfx+=恒成立是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．15.△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知π2,,63aBABAC===．（1）求边c的值；（2）求sin()AC−的值．【答案】（1）3；（2）53.14−.【解析】【分析】（1）根据数量积的定义及余弦定理可求边c的值；（2）先利用余弦定理及倍角公式求

出sin2,cos2AA，结合差角公式可求sin()AC−的值．【详解】（1）因为6ABAC=，所以cos6,bcA=即22262bcabcbc+−=，因此22212bca+−=①，又因为π,3B=由余弦定理，222222c

osbacacBacac=+−=+−②，由①②及2a=，可得260cc−−=，所以3c=或2c=−（舍），因此3c=．（2）由（1）知3c=，代入②，即249237,b=+−=又0b，因此7b=，又由余弦定理得22227794cos2767bcaAbc+−+−===．

因为(0,π)A，所以221sin1cos7AA=−=，则2431cos22cos1,sin22sincos77AAAAA=−===．又2ππ3CABA=−−=−，所以2πsin()sin[()]3ACAA−=−−2sin(2π)3A=−22s

in2cosπcos2sinπ33AA=−433112727=−−53.14=−【点睛】本题主要考查利用余弦定理求解三角形，已知条件中边角的转化是求解的关键，注意倍角公式，差角公式的综合使用，侧重考查数学运算的核心素养.16.在直三棱柱ABC

—A1B1C1中，AB＝AC，BB1＝BC，点P，Q，R分别是棱BC，CC1，B1C1的中点．（1）求证：A1R//平面APQ；（2）求证：直线B1C⊥平面APQ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先证明四边形1APRA是平行四边形，然后利

用线线平行可证线面平行；（2）先证明1BCPQ⊥，1BCAP⊥，结合线面垂直的判定定理可得直线B1C⊥平面APQ．【详解】证明：（1）在直三棱柱111ABCABC−中，11//BCBC且11BCBC=，因点,PR分别

是棱11,BCBC的中点，所以1//BPBR且1BPBR=，所以四边形1BPRB是平行四边形，即1//PRBB且1PRBB=，又11//AABB且11AABB=，所以1//PRAA且1PRAA=，即四边形1APRA是平行四边形，所以1

//APAR，又AP平面APQ，1AR平面APQ，所以1//AR平面APQ．（2）因为直三棱柱111ABCABC−，所以四边形11BCCB是平行四边形，又因1BBBC=，所以四边形11BCCB是菱形，所以11BCBC⊥，又点,PQ分别是棱11,BCCC的中点，即1//PQBC，所

以1BCPQ⊥．因为ABAC=，点P是棱BC的中点，所以⊥APBC，由直三棱柱111ABCABC−，知1BB⊥底面ABC，即1BBAP⊥，又BC平面11BCCB，1BB平面11BCCB，且BCI1=BBB，所以AP⊥平面11BCCB，又1BC平面11BCCB，

则1APBC⊥，又AP平面APQ，PQ平面APQ，且AP=PQP，所以1BC⊥平面APQ.【点睛】本题主要考查线面平行和线面垂直的证明，线面平行证明的关键是辅助线的设计，侧重考查逻辑推理的核心素养.17.如图，为方便市

民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120的公路（长度均超过3千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得3AM=千米，3AN=千米．（1）求线段MN的长度；（2）若6

0MPN=，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．【答案】（1）3；（2）6.【解析】【分析】（1）3AM=，3AN=．0120MAN=用余弦定理，即可求出MN；（2）设PMN=，120PNM=−，用正弦定理求出()23sin120PM

=−，23sinPN=，()23sin12023sinPMPN+=−+展开，结合辅助角公式可化为()6sin30+，由的取值范围，即可求解.【详解】（1）在AMN中，由余弦定理得，2222cos120MNAMANAMAN=+−1332339,32M

N=+−−==，所以线段MN的长度为3千米．（2）设PMN=，因为60MPN=，所以120PNM=−，在PMN中，由正弦定理得，()sinsin120sinMMNPPMPNN==−32

3sin60==．所以()23sin120PM=−，23sinPN=，因此()23sin12023sinPMPN+=−+3123cossin23sin22=++()33sin3cos6sin30=+=+

，因为0120，所以3030150+．所以当3090+=，即60=时，PMPN+取到最大值6．答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题.1

8.已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为22，点(2,0)N椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点(0,2)H的直线l与椭圆交于,AB两点，直线NA与直线NB的斜率和为13−，求直线l的方程.【

答案】（1）22142xy+=；（2）22yx=+【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得,,abc方程，求解即可；（2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可.【详解】（1）因为点(2,0)N是椭圆的右项点，所以2a=.又2

2ca=，所以2c=.又222bca+=，所以22b=所以椭圆的方程为22142xy+=.（2）若直线l与x轴垂直，则(0,2),(0,2)AB−，则4221,,223NANBNNBkkkk=−=+−，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为()()11222,,,,y

kxAxyBxy=+，联立222142ykxxy=++=，消去y，得()2221840kxkx+++=则有12122284,2121kxxxxkk−+==++()2221(8)421402kkk=−+△直线

NA的斜率为112yx−，直线NB的斜率为）222yx−，所以()()()()122112121222122223yxyxyyxxxx−+−+==−−−−−.又11222,2ykxykx=+=+()()()()()()122112121222222222kxxkxxyyxx

xx+−++−+=−−−−()()121212122(22)81243kxxkxxxxxx+−+−==−−++，化简得()1212(61)(46)200kxxkxx++−+−=.又12122284,2121kxx

xxkk−+==++，所以2248(61)(46)2002121kkkkk−++−−=++，化简得220−−=kk，解得12k=或21k=−，又21k=−时，过点N，故舍去，所以直线l的方程为22yx=+.【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交，利用韦达定理及其他条件求直线方程；本题中需要注意分类讨论直线的斜率是否存在.19.已知函数()2exfxxx=+−，()2gxxaxb=++，,abR．（1）当1a=时，求函数()()()F

xfxgx=−的单调区间；（2）若曲线()()yfxgx=−在点(1，0)处的切线为l:x＋y－1＝0，求a，b的值；（3）若()()fxgx恒成立，求+ab的最大值．【答案】（1）()Fx在()ln2,+上单调递增，在(),ln2−

上单调递减；（2）,1aeb==−；（3）1e−.【解析】【分析】（1）先求导数()Fx，令()0Fx可得增区间，令()0Fx可得减区间；（2）求导数，结合切线方程可求a，b的值；（3）先求导数，根据恒成立分类讨

论求解函数的最值，进而可得+ab的最大值．【详解】（1）由题意知()e2xFxxb=−−，则()e2xFx=−．令()e20,xFx=−得ln2x，所以()Fx在()ln2,+上单调递增．令()e20,xFx=−得ln2x，所以()Fx在(),ln2−上

单调递减．所以函数()Fx在()ln2,+上单调递增，在(),ln2−上单调递减．（2）因为()e)(1)(=xayfbxxgx−+−−=，得1)=e(xya−+，由曲线在()1,0处的切线为:10lxy+−=，可

知e(1)=0ab−+−，且e(1)=1a−+−，所以e,1.ab==−（3）设()()()()e1xhxfxgxaxb=−=−+−，则()0hx恒成立．易得()()e1.xhxa=−+（i）当10a+时，因为()0hx，所以此时()hx在(

),−+上单调递增．①若10a+=，则当0b时满足条件，此时1ab+−；②若10a+，取01<min{0,}1bxa−−即00x且011bxa−−，此时()()()0001e11101xbhxaxbaba−=−+−−+−=+，所以()0hx不恒成立．不满足条件；(ii)当10a

+时，令()0hx=，得()ln1.xa=+由()0hx，得()ln1xa+；由()0hx，得()ln1.xa+所以()hx在()(),ln1a−+上单调递减，在()()ln1,a++上单调递增．要使得“()()e10

xhxaxb=−+−恒成立”，必须有“当()ln1xa=+时，()()()()min11ln10hxaaab=+−++−”成立．所以()()()11ln1baaa+−++．则()()()211ln11.abaaa++

−++−令()2ln1,0,Gxxxxx=−−则()1ln.Gxx=−令()0Gx=，得e.x=由()0Gx，得0ex；由()0Gx，得e.x所以()Gx在()0,e上单调递增，在()

e,+上单调递减，所以，当xe=时，()maxe1.Gx=−从而，当e1,0ab=−=时，+ab的最大值为e1−．【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解单调区间问题通常是求解关于导数的不等式来解决，利用导数的几何

意义求解参数问题时注意导数值和斜率的关系，恒成立问题一般转化为最值问题来处理，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.20.记无穷数列na的前n项1a，2a，…，na的最大项为nA，第n项之后的各项1na+，2na+，…的最小项为nB，nnnbAB=−．（1）

若数列na的通项公式为2276nann=−+，写出1b，2b，3b；（2）若数列nb的通项公式为12nbn=−，判断1nnaa+−是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若数列nb为公差大于零的等差数列，求证：

1nnaa+−是等差数列．【答案】（1）1b，2b，3b分别为1,2,7−−；（2）是等差数列，公差2d=；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）把1,2,3n=代入通项公式，根据nnnbAB=−可求1b，2b，3b；（2）先求出1nnaa+−的通项公式，然

后进行判定；（3）设出nb的通项公式，结合数列的单调性进行证明.【详解】（1）由题知数列na的通项公式为2276nann=−+，可知11a=，20a=，33a=，410a=且当2n时是单调递增数列，所以111101bAB=−=−=，

222132bAB=−=−=−，3333107bAB=−=−=−，所以1b，2b，3b分别为1,2,7−−．（2）由题知数列nb的通项公式为12nbn=−，所以数列nb是单调递减的数列，且0nb，由题知nnAa

，1nnBa+，因为1110nnnnnnnnnbABaaaaaa+++=−−−，故数列na是单调递增数列，所以当1n时，nnAa=，1nnBa+=，故11()12nnnnnnnbABaaaan++=−=−=−−=−

，所以数列1nnaa+−的通项公式是121nnaan+−=−，即数列1nnaa+−是等差数列，公差2d=．（3）由题知数列nb为公差大于零的等差数列，故设1(1)nbbnd=+−且公差0d，当1n

时，有111nnnnnnbbdABABd+++=+−=−+，整理得11nnnnAABBd++−=−+，若1nBm+=，则有nBm，故110nnnnBBdAA++−+，因为11Aa=，所以当1n=时2122AAAa=，当2

n=时3233AAAa=，类似的可以证明nnAa=，因为1nnAA+，故有1231nnaaaaa+，故数列na是单调递增数列，所以当1n时，nnAa=，1nnBa+=，故111()(1)nnnnnnnbABaa

aabnd++=−=−=−−=+−，所以数列1nnaa+−的通项公式是11(1)()nnaabnd+−=−+−−，即数列1nnaa+−是等差数列，公差为d−．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解及数列的证明，明确题目中给出的新定义是求解的关键，等差数列的证明一

般利用定义法来实现，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.