【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题3.3 函数的基本性质-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(22)页，1.280 MB，由小赞的店铺上传

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专题3.3函数的基本性质-重难点题型精讲1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.②如果函数y=f(x)在区

间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性

质：①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的

单调性.④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于

零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.2．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：(

2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增

，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.3．函数的奇偶性(1)定义：(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，

则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性

；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)函数图象的对称性：①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要

条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【方法点拨】(1)定义法：

利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；②抽象

函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.【例1】（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数

的是（）A．𝑦=−1𝑥B．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝x0【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=−1𝑥，为反比例

函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；对于B，y＝2x+1，为一次函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；对于C，y＝x2，为二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；对于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意；故

选：C．【变式1-1】（2022春•天津期末）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣xB．f（x）＝x2﹣3xC．𝑓(𝑥)=−1𝑥D．f（x）＝﹣|x|【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答过

程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，32）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）=−1𝑥为反比例函数，在（0，+∞

）上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：C．【变式1-2】（2020秋•福田区校级期末）函数𝑦=√𝑥2+3𝑥的单调递减区间为（）A．(−

∞，−32]B．[−32，+∞)C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【解题思路】确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到结论．【解答过程】解：由题意，x2+3x≥0，

可得x≥0或x≤﹣3，函数的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞），令t＝x2+3x，则y=√𝑡在[0，+∞）上单调递增，∵t＝x2+3x，在（﹣∞，﹣3]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴函数𝑦=√𝑥2+3𝑥的单调递减区间

为（﹣∞，﹣3]，故选：D．【变式1-3】（2021•白山开学）函数𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥的单调增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0），（0，+∞）【解题思路】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解

即可．【解答过程】解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥=1−1𝑥，定义域为{x|x≠0}，且y=1𝑥的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故函数𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故选：D．【题型2利用函数的单调性求参数】【方法点拨】

(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意，若一个函数在区间[

a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.【例2】（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞）B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）C．[10，+∞）D．[40，+∞）【解题

思路】根据题意，求出二次函数f（x）＝x2﹣kx﹣8的对称轴，结合函数单调性的定义可得𝑘2≤5或𝑘2≥20，再求出k的取值范围即可．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣8为二次函数，其开口向上，对称轴为x=𝑘2，若函数f（x）

＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则𝑘2≤5或𝑘2≥20，解得k≤10或k≥40，所以实数k的取值范围是（﹣∞，10]∪[40，+∞）；故选：A．【变式2-1】（2021秋•怀仁市校

级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]【解题思路】根据题意，求出二次函数的对称轴，结合二次函数的

性质可得﹣m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数y＝x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣m，函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣

2，+∞）；故选：A．【变式2-2】（2021秋•河北期中）若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪（0，9）B．（﹣9，0）∪（0，3）C．（﹣9，3）D．（﹣3，9）【解题思路】化简f（x

）的解析式，利用二次函数的性质得出f（x）的单调性，从而得出单调区间端点与区间[0，3]的关系，从而得出a的范围．【解答过程】解：f（x）={3𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2，𝑥≥𝑎𝑥2+2𝑎𝑥

−𝑎2，𝑥＜𝑎．（1）若a＝0，当x＜0时，f（x）＝x2在[﹣3，0]上单调递减，不符合题意；（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，若f（x）在[﹣3，0]上不是单调函数，则﹣3＜﹣a＜0，即0＜a＜3；（3）若a＜0，则

f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，𝑎3）上单调递减，在（𝑎3，+∞）上单调递增，若f（x）在[﹣3，0]上不是单调函数，则﹣3＜𝑎3＜0，即﹣9＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣9，0）∪

（0，3）．故选：B．【变式2-3】（2022•湖南模拟）定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+

∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解题思路】根据题意，分析易得f（x）在R上为减函数，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上为减函数，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，

其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x=𝑘2≥1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【题型3利用函数的单调性比较大小、解

不等式】【方法点拨】(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.(2)解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.【例3】（2021秋•福田区校级期

末）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（）A．(−∞，12)∪(2，+∞)B．[2，6）C．(0，12]∪[2，6)D．（0，6

）【解题思路】由函数的定义域和单调性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．【解答过程】解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则

2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，解得0＜a≤12或2≤a＜6，所以实数a的取值范围为（0，12]∪[2，6），故选：C．【变式3-1】（2020秋•泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（13），则a的取值范围是（）A．(−∞，23)B

．(12，23)C．(23，+∞)D．[12，23)【解题思路】根据题意，由函数的定义域和单调性，分析可得0≤2a﹣1＜13，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在[0，

+∞）上的单调减函数，若f（2a﹣1）＞f（13），则有0≤2a﹣1＜13，解可得12≤a＜23，即a的取值范围为[12，23），故选：D．【变式3-2】（2021秋•金凤区校级月考）已知函数f（x）是区间（0，+∞）内的

减函数，则f（a2﹣a+1）与𝑓(34)的大小关系为（）A．𝑓(𝑎2−𝑎+1)≥𝑓(34)B．𝑓(𝑎2−𝑎+1)≤𝑓(34)C．𝑓(𝑎2−𝑎+1)=𝑓(34)D．不确定【解题思路】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小．【解答过程】解：因为a2

﹣a+1＝（a−12）2+34≥34，又f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，所以f（a2﹣a+1）≤𝑓(34)．故选：B．【变式3-3】（2021秋•滨海新区期中）定义在R上函数y＝f（x）满足以下条件：①函数

y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，②对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0，则f（0），𝑓(32)，f（3）的大小关系为（）A．𝑓(32)＞𝑓(0)＞𝑓(3)B．𝑓(3)＞

𝑓(0)＞𝑓(32)C．𝑓(32)＞𝑓(3)＞𝑓(0)D．𝑓(3)＞𝑓(32)＞𝑓(0)【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．【解答过程】解：∵函数y＝f（x）

图像关于x＝1轴对称，且对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]，上单调递减，在[1，+∞）单调递增，f（0）＝f（2），∴f（3）＞f（0

）＞f（32）．故选：B．【题型4求函数的最值】【方法点拨】(1)配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；(2)换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；(3)数形结合法，对于图象

较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；(4)利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.【例4】（2021•白山开学）函数𝑓(𝑥)=1𝑥2+1在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（）A．12，15B．

2，5C．1，2D．15，12【解题思路】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．【解答过程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，∴𝑓(𝑥)=1𝑥2+1在区间[1，2]上单调递减，∴函数𝑓(𝑥)=1

𝑥2+1在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f（1）=112+1=12，f（2）=122+1=15，故选：A．【变式4-1】（2022春•铜鼓县校级期末）若函数𝑓(𝑥−1𝑥)=1𝑥2−2𝑥+1，则函数g（x）＝f（x）﹣4x的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【

解题思路】由已知求得函数解析式，代入g（x）＝f（x）﹣4x，整理后再由配方法求最值．【解答过程】解：∵𝑓(𝑥−1𝑥)=1𝑥2−2𝑥+1=𝑥2−2𝑥+1𝑥2=(𝑥−1𝑥)2，令t=𝑥−1𝑥，则t≠1，∴f（x）＝

x2（x≠1）．从而g（x）＝f（x）﹣4x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，当x＝2时，g（x）取得最小值，且最小值为﹣4．故选：D．【变式4-2】（2022春•阎良区期末）设函数𝑓(𝑥)=2𝑥𝑥−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（）A

．4B．6C．10D．24【解题思路】将函数f（x）分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解．【解答过程】解：因为𝑓(𝑥)=2(𝑥−2)+4𝑥−2=2+4𝑥−2，所以f（x）在[3，4]上是减函数．所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6．所以M+m＝

6+4＝10．故选：C．【变式4-3】（2021秋•杭州期末）已知𝑚𝑖𝑛{𝑎，𝑏}={𝑎，𝑎≤𝑏𝑏，𝑎＞𝑏，设f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，则函数f（x）的最大值是（）A．﹣2B．1C．2D．3【解题思路】由题意可得函数f

（x）的解析式，作出图象，数形结合得答案．【解答过程】解：由x﹣2＝﹣x2+4x﹣2，得x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3．∴当0≤x≤3时，x﹣2≤﹣x2+4x﹣2，当x＜0或x＞3时，x﹣2＞﹣x2+4x﹣2，则f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}={𝑥−2，0≤𝑥≤3−𝑥

2+4𝑥−2，𝑥＜0或𝑥＞3．作出f（x）的图象如图所示，由图可知，当x＝3时，函数f（x）取得最大值为1．故选：B．【题型5由函数的最值求参数】【方法点拨】在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.若对于区间D上

的任意x，a>f(x)恒成立，则a>；若对于区间D上的任意x，a<f(x)恒成立，则a>；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>；若在区间D上存在x使a<f(x)成立，则a＜.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相应结论.【例5】（2022春•爱民区校

级期末）若函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑚𝑥+1在区间[0，1]上的最大值为52，则实数m＝（）A．3B．52C．2D．52或3【解题思路】将函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑚𝑥+1化为f（x）＝2+𝑚−2𝑥+1，x∈[0，1]，讨论m＝2，m＞2和m＜2时函数的单调性，运用单

调性可得最小值，解方程即可得到所求值．【解答过程】解：函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑚𝑥+1，即f（x）＝2+𝑚−2𝑥+1，x∈[0，1]，当m＝2时，f（x）＝2不成立；当m﹣2＞0，即m＞2时，f（

x）在[0，1]递减，可得f（0）为最大值，即f（0）=0+𝑚1=52，解得m=52，成立；当m﹣2＜0，即m＜2时，f（x）在[0，1]递增，可得f（1）为最大值，即f（1）=2+𝑚2=52，解得m＝3，不成立；综上可得m=52．故选：B．【变式5-1】（

2021秋•香坊区校级期中）已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（）A．[0，12]B．(−∞，12]C．[12，+∞)D．(0，12)∪(12，+∞)【解题思路】首先将函数的图象进行左移，使函数的关系式变得简单，进一步利用分类讨论思

想的应用去掉绝对值，进一步利用函数的值域建立关系式，最后求出参数a的取值范围．【解答过程】解：将函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a＝|（x﹣1）2+（a﹣1）|+a的图象向左平移1个单位，得到函数g（x

）＝|x2+a﹣1|+a，则由﹣1≤x≤1，故0≤x2≤1，①当a﹣1≥0时，即a≥1时，g（x）＝x2+a﹣1+a＝x2+2a﹣1≥2a﹣1≥1，此时函数g（x）的最小值为1，不合题意；②当a﹣1≤﹣1时，即a≤0时，g（x）＝﹣（x2+a﹣1+a＝﹣x2+1≤1，符合题意；故a≤

0；③当﹣1＜a﹣1＜0，即0＜a＜1时，g（x）={−(𝑥2+𝑎−1)+𝑎(0≤𝑥2≤1−𝑎)(𝑥2+𝑎−1)+𝑎(1−𝑎＜𝑥2≤1)，化简得：𝑔(𝑥)={1−𝑥2(0≤𝑥2≤1−𝑎

)𝑥2+2𝑎−1(1−𝑎＜𝑥2≤1)．又由0≤x2≤1﹣a，根据二次函数的性质，g（x）的值域满足1﹣（1﹣a）2≤g（x）≤1，当1﹣a＜x2≤1时，（1﹣a）2+2a﹣1≤g（x）≤2a，必有2a≤1，可得0＜

𝑎≤12；综上所述：实数a的取值范围为（−∞，12]．故选：B．【变式5-2】（2021秋•浉河区校级期末）函数f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为−14，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．52B．52+√22C．32D．2【解题思路】根据二次函数的图象和性质，求出最大值

和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【解答过程】解：当x≥0时，f（x）＝x（|x|﹣1）＝x2﹣x＝（x−12）2−14≥−14，当x＜0时，f（x）＝x（|x|﹣1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+1

2）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）＝x2﹣x＝2，解得x＝2．当x=12时，f（12）=−14．当x＜0时，由f（x）＝）＝﹣x2﹣x=−14．即4x2+4x﹣1＝0，解得x=−4±√42+4×42×4=−4±

√328=−4±4√28=−1±√22，∴此时x=−1−√22，∵[m，n]上的最小值为−14，最大值为2，∴n＝2，−1−√22≤𝑚≤12，∴n﹣m的最大值为2−−1−√22=52+√22，故选：B．【变式5-3】（2021秋•松山区校级月考）若关于

x的函数𝑓(𝑥)=2021𝑥3+𝑎𝑥2+𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎的最大值为M，最小值为N，且M+N＝4，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．1【解题思路】根据函数奇偶性求解即可．【解答过程】解：𝑓(

𝑥)=2021𝑥3+𝑎𝑥2+𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎=a+2021𝑥3+𝑥𝑥2+𝑎，令g（x）＝f（x）﹣a=2021𝑥3+𝑥𝑥2+𝑎，g（﹣x）=2021(−𝑥)3−𝑥𝑥2+𝑎=−g（x

），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min＝0，∴M+N＝g（x）max+a+g（x）min+a＝4，∴a＝2．故选：C．【题型6函数奇偶性的判断】【方法点拨】(1)定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.(2)图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性

的判断.(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.【例6】（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x）=𝑥−2𝑥+2，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣2）﹣1B．f（x﹣2）+1C．f（x+2）﹣1D．f（

x+2）+1【解题思路】化简函数f（x）＝1−4𝑥+2，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．【解答过程】解：由题意得，f（x）＝1−4𝑥+2．对A，f（x﹣2）﹣1=−4𝑥是奇函数；对B，f（x﹣）+1＝2−4𝑥，关于（0，2）对称，不是奇函数；对C，f（x+2）﹣1

=−4𝑥+4，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；对D，f（x+2）+1＝2−4𝑥+4，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；故选：A．【变式6-1】（2022春•杨陵区校级期末）若函

数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数【解题思路】根据题意，由二次函数的性质求出b的值，即可得g（x）的解析式，分析其奇偶性可得答案．【解答过程】解：根据题意，

函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，而f（x）为二次函数，则有b＝0，则g（x）＝2ax3+9x，其定义域为R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）为奇函数，故选：A．【变式6-2】（2022春•祁东县期末）设函数𝑓(𝑥)=1𝑥2−2𝑥+3，则

下列函数中为偶函数的是（）A．f（x+1）B．f（x）+1C．f（x﹣1）D．f（x）﹣1【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，𝑓(𝑥)=1𝑥2−2𝑥+3=1(𝑥−1)2+2，由此分析选项：对于A，𝑓(𝑥

+1)=1𝑥2+2，是偶函数，符合题意；对于B，f（x）+1=1(𝑥−1)2+2+1，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于C，f（x﹣1）=1(𝑥−2)2+2，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于D，f（x）﹣1=1(𝑥−1)2+2−1，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；

故选：A．【变式6-3】（2022春•云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（）A．f（x）+g（x）为R上的奇函数B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数C．𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)为R上的偶函数D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数【解题

思路】由已知结合函数奇偶性的定义即可判断．【解答过程】解：因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，故f（x

）+g（x）为非奇非偶函数，A错误；同理，f（x）﹣g（x）为非奇非偶函数，B错误；设F（x）=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)，则F（﹣x）=𝑓(−𝑥)𝑔(−𝑥)=−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=−F（x），所以F（x）为奇函数，C错误；设函数H（x）＝|f（x）g（x）|，因为f（x）为

R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），则由函数奇偶性的定义得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正确．故选：D．【题型7函数奇偶性的应用】【方法点拨】(

1)求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.(2)求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.【例7】（2022春•北京期末

）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若𝑓(35)=−35，则𝑓(75)=（）A．−75B．−35C．35D．75【解题思路】由f（1+x）﹣f（x）＝0可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果．【解答过程

】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），所以函数的周期为1，因为f（x）是定义域为R的奇函数，𝑓(35)=−35，所以𝑓(75)=𝑓(75−2)=𝑓(−35)=−𝑓(35)=35，故选：C

．【变式7-1】（2022•成都开学）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，则f（72）的值等于（）A．52B．32C．12D．−12【解题思路】根据题意，先分析函数的周期性，结合函数的解析式分析可得答

案．【解答过程】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）

是周期为4的周期函数，则f（72）＝f（−12）＝﹣f（32），当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，f（32）=12，故f（72）=−12，故选：D．【变式7-2】（2022春•长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣

1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则𝑓(152)=（）A．−54B．54C．−34D．34【解题思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+

2）＝f（x+2），分别令x＝1、x＝3，结合已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，即可得出函数f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用函数的对称性求得结果．【解答过程】解：由f（x﹣1）是奇函数，

得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），①由f（x+2）是偶函数，得f（﹣x+2）＝f（x+2），②令x＝1，由①得f（﹣2）＝﹣f（0）＝﹣b，由②得：f（1）＝f（3）＝a+b，令x＝3，由①得：f（﹣4）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，由f（1）＝0，f（﹣4）+f

（3）＝﹣3，得{𝑎+𝑏=0−3𝑎=−3，则a＝1，b＝﹣1，∴x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣1．则f（152）＝f（112+2）＝f（−112+2）＝f（−72）＝f（−52−1）＝﹣f（52−1）＝﹣f（32）＝﹣[(32)2−1]=−

54．故选：A．【变式7-3】（2022春•辽宁期末）设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（）A．﹣4B．0C．4D．不确定【解题思路】根据给定条件，可

得函数f（x）的性质f（x﹣2）+f（x）＝0，且f（﹣2）＝0，借助此性质计算作答．【解答过程】解：R上的函数f（x），由f（x﹣2）是奇函数，得f（﹣x﹣2）＝﹣f（x﹣2），f（﹣2）＝0，由f（x﹣1）是偶函数，得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x

﹣2）＝f（x），于是得f（x﹣2）+f（x）＝0，因此f（﹣3）+f（﹣1）＝0，f（1）+f（3）＝0，由f（x﹣）+f（x）＝0得f（x）＝﹣f（x﹣2），则f（4）＝﹣f（2）＝f（0）＝﹣f（﹣2）＝f（﹣4）＝0，所以f（﹣4）+f（﹣3）+f

（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．故选：B．【题型8函数图象的识别、判断】【方法点拨】①排除法：利用特殊点的值来排除；②利用函数的奇偶性、单调性来判断.【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A．B．

C．D．【解题思路】当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是应是（﹣∞，0）上的减函数，逐个观察图象，得出结论即可．【解答过程】解：当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是应是（﹣∞，0）上的减函数，对于A，在（﹣∞，0）上是增函数；对于B，在（﹣∞，0）上是

增函数；对于C，在（﹣∞，0）上不单调，先增后减；对于D，在（﹣∞，0）上是减函数；故选：D．【变式8-1】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．【解题思路】结合图象根据函数的奇偶性以及单调性判断即可．【解答过程】解：对于A，是奇函数且递增，符合题意；对于B，C，是非奇

非偶函数，不合题意；对于D，不是奇函数，不合题意；故选：A．【变式8-2】已知f（x）={𝑥+1，𝑥∈[−1，0)𝑥2+1，𝑥∈[0，1]则关于图中的函数图象正确的是（）A．是f（x﹣1）的图象B．是f（﹣x）的图象C．是f（|x|）或|f（x）|的

图象D．以上答案都不对【解题思路】画出f（x）的图象，根据图象的变换可得答案．【解答过程】解：画f（x）的图象f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右移一个单位，与题目中的图不一样，故A不正确而f（﹣x）与f（x）的图象关于y轴对称，与题目中的图不

一样，故B不正确f（|x|）是偶函数或|f（x）|的图象与f（x）的图象一样，故选项C不正确，故选：D．【变式8-3】反比例函数f（x）=𝑘𝑥的图象，如图，则（）A．常数k＜﹣1B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜nD

．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x【解题思路】根据反比例函数f（x）的图象与性质，对题目中的选项进行分析判断即可．【解答过程】解：根据反比例函数f（x）=𝑘𝑥的图象在一、三象限知，k＞0，A错误；又函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，B

错误；当点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上时，m＝﹣k＜0，n=𝑘2＞0，∴m＜n，C正确；函数f（x）图象对称轴的直线方程为y＝±x，∴D错误．故选：C．