【文档说明】《2023年新高考数学临考题号押》押第13题 二项式定理（新高考）（解析）【高考】.docx，共(11)页，717.219 KB，由管理员店铺上传

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1押第13题二项式定理二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项展开式指定项的系数，或求形如()()(),nncxdaxbaxbyc++++的展开式中指

定项的系数.1．二项式定理的展开式011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb−−+=+++++,其中组合数rnC叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如

在()naxb+的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为rnC,第ｒ＋１项的系数为rnrrnCab−；而1()nxx+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

（4）特例：1(1)1nrrnnnxCxCxx+=+++++奎屯王新敞新疆2.二项式定理的通项二项展开式中第r+l项1(0,1,2,rnrrrnTCabr−+==,)n称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有

理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：()1通项公式是表示第1r+项,而不是第r项.()2展开式中第1r+项的二项式系数rnC与第1r+项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,rabnr

T+五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意

n是正整数,r是非负整数且r≤n.3.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mnmnnCC−=）．(2)增减性与最大值：2当12nr+时,二项式系数Crn的值逐渐增大,当12nr+时,Cr

n的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n为偶数时,中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nnC取得最大值.当n为奇数时,中间两项（第21+n和21+n＋1项）的二项式系数1122nnnnCC−+=相等并同时取最大值.(3)各二项式系数和

：∵1(1)1nrrnnnxCxCxx+=+++++,令1x=,则0122nrnnnnnnCCCCC=++++++,0213nnnnCCCC++=++12n−=(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当很小时,有()()211112nnnn

+−.4.二项定理问题的处理方法和技巧⑴运用二项式定理一定要牢记通项1rnrrrnTCab−+=,注意()nab+与()nba+虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系

数是两个不同的概念,前者只指rnC,而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负．⑵对于二项式系数问题,应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通

常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时,应注意运用放缩法.⑶求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求r,再求1rT+,有时还需先求n,再求r,才能求出1rT+.⑷有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解

决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.⑸对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.⑺

用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可

以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x=.在二项式的展开式中,要3注意项的系数和二项式系数的区别.5.求展开式系数最大项如求()naxb+(,abR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法

,设展开式各项系数分别为1231,,,,nAAAA+,且第k项系数最大,应用11kkkkAAAA−+从而解出k来,即得．6.二项式应用问题(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项

均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时,应明确被除式()fx与除式()gx(()0gx),商式()qx与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根

据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．7.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多

项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意Ax,某式子恒成立,则对A中的特殊值,该式子一定成立,特殊值x如何选取视具体情况决定,灵活性

较强,一般取1,1,0−=x居多.若2012()...,nnnaxbaaxaxax+=++++则设()()=+nfxaxb.有：①0(0);af=②012...(1);naaaaf++++=③0123...(1)(1);nn

aaaaaf−+−++−=−④0246(1)(1)...;2ffaaaa+−++++=⑤1357(1)(1)....2ffaaaa−−++++=1．（2020·山东·高考真题）在821xx−的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A．56B．56−C．70D．70−【答案】A4【

详解】第4项的二项式系数为388765632C==，故选：A.2．（2021·江苏·高考真题）已知()12nx−的展开式中2x的系数为40，则n等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【详解】()()222221nCxnnx−=−，所以()21405nnn−

==.故选：A.3．（2021·湖南·高考真题）621xx+的展开式中常数项是______．（用数字作答）【答案】15【详解】解：由261231661()()rrrrrrTCxCxx−−+==．取123

0r−=，得4r=．621xx+展开式中常数项为4615C=．故答案为：15．4．（2021·天津·高考真题）在6312xx+的展开式中，6x的系数是__________．【答案】160【详解】6312xx+的展开式的通

项为()636184166122rrrrrrrTCxCxx−−−+==，令1846r−=，解得3r=，所以6x的系数是3362160C=.故答案为：160.5．（2021·北京·高考真题）在341()xx−的展开式中，常数项为__________．【答案】4−【详解】的展开式的

通项5令1240r−=，解得，故常数项为．故答案为：4−.1．（2022·山东青岛·一模）()52xy−的展开式中23xy的系数是______．（用数字作答）【答案】80−【详解】()52xy−的展开式的通项公式为()()5515522rrrrrrrrTCxyCxy−−+=−=−，令3r=

可得()3323235280Cxyxy−=−所以()52xy−的展开式中23xy的系数是80−故答案为：80−2．（2022·山东泰安·一模）在()()45121xx−+的展开式中，含2x的项的系数是___________.【答

案】6【详解】()41x−的展开式的通项公式为4()kkCx−，()521x+的展开式的通项公式为55(2)ttCx−，所以()41x−()521x+展开式中，含2x的项为：0035311454225552454545()(2)()(2)()(2)6CxCxCxCxCxC

xx−−−−+−+−=，所以含2x的项的系数为6．故答案为：6.3．（2022·福建福建·模拟预测）若二项武231−nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________．【答案】7【详解】231nxx−的展开式的通项()7223131

(1)rrnnrrrrrnnTCxCxx−−+=−=−，令7203rn−=，得76rn=，因为*nN，所以当6r=时，n有最小值为7.故答案为：7.64．（2022·广东佛山·模拟预测）()621xx++展开式中4x的系数为______．【答

案】90【详解】由于()()662211xxxx++=++，所以其展开式的通项为()22666rrrkrkkrkrkrrCxxCCxxCCx−++==，其中06,N,Nkrrk，为得到()621xx++展开式中4

x的系数，则4rk+=，当2,2rk==时，4x的系数为226215CC=；当3,1rk==时，4x的系数为316360CC=；当4,0rk==时，4x的系数为406415CC=；所以()621xx++展开式中4x的系数为15601590++=.故答案为：90.5

．（2022·江苏南通·模拟预测）设2022220220122022(12)xaaxaxax+=++++，则31223222aaa−+−…202120222021202222aa+−=______．【答案】1【详解】由题意令0x=，可得01a=令12x=−，可得202232021202212

02320212022(11)22222aaaaaa−=−+−+−+所以3202120221202320212022122222aaaaaa=−+−+−=故答案为：1（限时：30分钟）1．若()12nx−的展开式中3x项的系数为－160，则正整数n的值为

______．【答案】6【详解】二项式()12nx−的通项公式为：11(2)(2)rnrrrrrrnnTCxCx−+=−=−，令3r=，所以33(1)(2)(2)16020(1)(2)1206nnn

nCnnn−−−=−=−−=，令1nx−=，所以332(1)(1)1201200(125)(5)0(5)(525)(5)0xxxxxxxxxxx+−=−−=−−−=−++−−=，72(5)(524)05x

xxx−++==，或25240xx++=，因为25424710−=−，所以方程25240xx++=无实数根，故5x=，即156nn−==，故答案为：62．已知7280128(1)(12)xxaaxaxax+−=++++，则0128aaaa+

+++的值为______．【答案】2−【详解】令1x=带入等式两边可得，01282aaaa−=++++.故答案为:2−.3．在4(3)()yxy+−的展开式中23xy的系数为___________.【答案】6【详解】()01234

443223444444(3)()(3)yxyyCxCxyCxyCxyCy+−=++−+−Q，展开式中含23xy的项为22223234426yyCxyCxxy==故它的展开式中23xy的系数为6，故答案为：64．若()

21nx−的展开式中第5项的二项式系数最大，则n=___________．（写出一个即可）【答案】8（答案不唯一）【详解】由题意，二项式()21nx−的展开式中第5项的二项式系数最大，可得4345nnnnCCCC，即()()()()()()()()()

()()()1231243213211231234432154321nnnnnnnnnnnnnnnn−−−−−−−−−−−−，解得79n，所以7n=或8或9.

故答案为：8（答案不唯一）.5．已知()262xy+的展开式中82xy的系数为____________【答案】240【详解】()262xy+展开式的通项公式为：662661221(2)2,0,1,2,3,4,5,6rrrrrrrrTCxyCxyr−−

−+===，令2r=，则6428232TCxy==，故82xy的系数为2462240C=，8故答案为：2406．二项式53()xx−的展开式中含2x的项的系数是____________.（用数字作答）【答案】10−【详解】解：因为53()xx−展开式的通项为()()()155361551rr

rrrrrTCxxCx−−+=−=−，令1526r−=，解得3r=，所以()332245110TCxx=−=−，故展开式中2x项的系数为10−；故答案为：10−7．()()6121xx+−的展开式中3x项的系数为___________．【答案】10【详解】()()6121xx+

−的展开式中含3x的项为：()()32323661210CxxCxx−+−=，()()6121xx+−的展开式中3x项的系数为10，故答案为：108．511813xx+−的展开式中常数项为___________.【答案】2281−【详解】513x−展

开式的通项公式为()551551C13C3rrrrrrrrTxx−−−+=−=−，当81乘以513x−时，令50r−=，解得=5r，常数项为()555518113C3−−=−；

当1x乘以513x−时，令51r−=，解得4r=常数项为()44451513C81xx−−=；所以511813xx+−的展开式中的常数项为2281−故答案为：2281−9．已知8axx

+的二项展开式中2x项的系数为56，则该展开式中各项系数之和为___________.【答案】256【详解】9由题设，二项式展开式通项为882188()rrrrrrraTCxaCxx−−+==，当822r−=，即3r=时，33385656aCa==，则1a=，所以，

令1x=可得各项系数之和为82256=.故答案为：25610．在()()51axx++展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为8，则=a______.【答案】12−【详解】设()()()51fxaxx=++展开式x的偶数次

幂项的系数之和为A，奇数次幂项的系数之和为B，则()()11ABfABf+=−=−，得()()()1111612Affa=+−=+，由8A=得12a=−.故答案为：12−.11．若21nxxx−的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．【

答案】35【详解】解：21()nxxx−的展开式的通项公式为7221(1)rnrrrnTCx−+=−，展开式中第5项为常数项，故当4r=时，7202rn−=，7n=，该展开式的常数项为447(1)35C−=，故答案为：35．12．某公司2021年实现利润100万元，

计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元）【答案】147【详解】由题意可知，50122335555100(18%)100[8%(8%)(8%)]1001.46912146.9121

47CCCC+=++++=(万元)，即2026年的利润大约是147万元.故答案为：14713．已知()()()28480128111xxaaxaxax+=+−+−++−，则0a=

______，1357aaaa+++=______.10【答案】2136【详解】在等式()()()28480128111xxaaxaxax+=+−+−++−中，令1x=可得02a=，令0x=，可得0123456780aaaaaaaaa−

+−+−+−+=，①令2x=，可得012345678272aaaaaaaaa++++++++=，②②−①可得1357136aaaa+++=.故答案为：2；136.14．已知多项式45234512345()(21)()axxaxaxaxa

xaxa++−=++++R，则=a___________，45aa+=___________.【答案】±1-47【详解】解：因为多项式45234512345()(21)()axxaxaxaxaxaxa++−=++++R，所以()50454510CaC+−=，即41a=

，解得1a=，又()4144452179aCC=+−=−，0555232aC==，所以45793247aa+=−+=−，故答案为：±1，-4715．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第()*N,2nnn行的数字之

和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______.【答案】12n−2037【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第1n+行，例如：()22121xxx+=++，系数

分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行：令1x=，就可以求出该行的系数和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，依此类推即11每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，即杨辉三角第()*,2nnNn行的数字之和为12n−，杨辉三角的前n行的所有项的和为

122112nnnS−==−−.若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则()12nnnT+=，且945T=，可得当9n=即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的

1），所有项的个数和为46，则杨辉三角形的前11行所有项的和为111121S=−.则此数列前46项的和为111121112112037S−+=−=.故答案为：12n−，2037.