【文档说明】江苏省南通市如皋中学2020届高三下学期3月线上模拟考试数学试题【精准解析】.doc，共(25)页，4.053 MB，由小赞的店铺上传

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2020届高三全真模拟试题（一）数学参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差()2211niisxxn==−，其中11niixxn==.柱体的体积VSh=，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.锥体的体积13VSh=，其中S

是锥体的底面积，h是锥体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合1,0,2A=−，22xBx=，则AB=_______【答案】1,0−【

解析】【分析】先确定集合B中元素，然后由交集定义潮解．【详解】22{|1}xBxxx==，∴{1,0}AB=−．故答案为：1,0−【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键．

2.复数()2iai−的模为2，其中i为虚数单位，则实数a的值是_______【答案】0【解析】【分析】化复数为代数形式，再由模的定义计算后解方程可得．【详解】22()2222iaiaiiai−=−=+，∴222442ai

a+=+=，0a=．故答案为：0．【点睛】本题考查复数的模的运算，解题时由复数乘法化简复数为代数形式，再由模的定义计算．3.如图是某算法的伪代码，则输出的S的值是_______【答案】9【解析】【分析】模拟程序运算，观察变量值，判断循环条件可得结论．【详

解】程序循环时，变量值依次为：1,3SI==，满足条件；4,5SI==，满足条件；9,7SI==，不满足条件，结束循环，输出S9=．故答案为：9【点睛】本题考查算法语句,伪代码，考查循环语句，解题可模拟程序运算，判断循环条件，得出结论

．4.已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是_______【答案】8【解析】【分析】计算均值，再由方差公式得结论．【详解】由题意1357955x++++==，∴2222221[(15)(35)(55)(75)(95)]85s=−+−+−+−+−=．故答案为：8．【点睛】本题考查方差的计

算，掌握方差计算公式是解题基础．5.函数()221,1log,1xxfxxx+=，则()()1ff−=_______【答案】1【解析】【分析】先计算(1)f−，再计算((1))ff−．【详解】由题意2(1)(1)12f−=−+=，2((1))(2)l

og21fff−===．故答案为：1．【点睛】本题考查分段函数，求分段函数值，解题时根据自变量的不同范围选择不同的表达式计算即可．6.因疫情需要，从A地区3名主治医师和2名护士中任选3人参加B地区救治援助，则选出的3人中至少有1名护士的概率是_______【答案】91

0【解析】【分析】把5人编号，写出任选3人的所有基本事件，再得出3人中至少有1名护士的基本事件，然后可计算概率．【详解】3名主治医师和2名护士编号为：,,,,ABCab，任选3人的所有基本事件为：ABC，ABa，ABb，ACa，ACb，Aab，BCa，BCb，B

ab，Cab，共10个，其中至少有1名护士的有ABa，ABb，ACa，ACb，Aab，BCa，BCb，Bab，Cab，共9个，∴概率为910P=．故答案为：910．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是有列举法写出所有基本事件．7.已知抛物线220yx=的焦点与双曲线()222

109xyaa−=的右焦点重合，则该双曲线的渐近线方程是_______【答案】34yx=?【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，即双曲线的焦点，从而求得a后可得渐近线方程．【详解】抛物线220yx=中220p=，10p=，焦点为

(5,0)，∴双曲线中5c=，222594acb=−=−=，渐近线方程为34yx=?．故答案为：34yx=?．【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程．解题中要注意双曲线中222+=abc．8.已知数列*{}()nanN是等

差数列，nS是其前n项和.若156913,18aaaS+==，则{}na的通项公式=na_______【答案】7n−+【解析】【分析】由已知条件求出首项1a和公差d，即可得通项公式．【详解】设数列{}na公差为d，由已知得1111(4)513

93618aadadad+++=+=，解得161ad==−．∴6(1)7nann=−−=−．故答案为：7n−+．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和公式，解题方法是基本量法，即用1a和d表示已知并求出，再由1a和d解决其他问题

．9.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为1AD的中点，则三棱锥MACD−的体积是_______【答案】23【解析】【分析】由棱锥的体积公式进行转换．【详解】∵M是1AD中点，∴112MACDDACDV

V−−=1112(22)22323==．故答案为：23．【点睛】本题考查棱锥的体积，解题时利用同底的棱锥体积比等于高的比进行转化．10.已知P为指数函数()xfxe=图象上一点，Q为直线1yx=−上一点，则线段PQ长度的最小值是_______【答案】2【解析】【分析】求出()x

fxe=上与直线1yx=−平行的切线方程（切点坐标），两平行线间的距离（切点到直线1yx=−的距离）就是所求最小值．【详解】设()fx图象上斜率为1的切线的切点是00(,)Pxy，由()xfxe=，00()1==xfxe，00x=，(0)1f=，即(0,1)P．P到直线1

yx=−的距离是01122d−−==．故答案为：2．【点睛】本题考查曲线上点到直线距离的最小值，解题时把问题转化为直线与曲线上平行于此直线的切线间的距离，也即切点到此直线的距离，本题考查了导数的几何意义．11.定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx+=，且当[0,]x时，

0()1fx；当(0,)x且2x时，有2x−()0fx，则函数()sinyfxx=−在[2,2]x−是的零点个数是_______【答案】4【解析】【分析】由已知等式得出函数的周期性，由已知导数的不等关系得函数在(0,)上的单调性，结合当[0,]x时

，0()1fx，可在坐标系作出其大致图象，然后再作出sinyx=的图象，由图可得结论．【详解】∵(2)()fxfx+=，∴函数()fx是周期函数，周期为2T=．当(0,)x且2x时，有2x−()0fx，则(0,)

2x时，()0fx，()fx递减，(,)2x时，()0fx，()fx递增，当[0,]x时，0()1fx，且()fx是偶函数，周期为2，在同一坐标系中作出()yfx=的大致图象和sinyx=的图象，

由图可知，()sinyfxx=−在[2,2]−上的零点个数为4．故答案为：4．【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把零点个数转化为函数图象的交点个数．解题关键是由已知导数的不等式确定函数()fx的单调性，

从而结合周期性和奇偶性能作出函数()fx的大致图象．12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为2，设A(－2，0)，F为椭圆C的左焦点.若椭圆C上存在点P，满足PAPF＝2，则椭圆C离心率的取值范围是___

___【答案】3232,【解析】【分析】设(,)Pxy，运用两点间距离公式，化简已知条件得P点的轨迹方程，知轨迹是圆，由圆到椭圆相交，可得,ab的不等关系，从而求得离心率的取值范围．【详解】由题意(1,0)F−，设(,)Pxy，则PAPF222

2(2)2(1)xyxy++==++，化简得222xy+=．由1c=得221ab−=，又椭圆2222:1xyCab+=与圆222xy+=有公共点，∴222ba，2212aa−，23a，∴离心率132[,]32ceaa

==．故答案为：32[,]32．【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围，解题关键是求出P点轨迹方程得其轨迹，由两曲线有公共点得椭圆中,ab的不等关系．13.圆的内接正六边形123456AAAAAA的边长为1，若P为弓形34AA内任意一点（如图

所示的阴影部分，含边界），则136AAAP的取值范围是_______【答案】3+2332,【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，把向量数量积用坐标表示，问题转化为点(,)xy在阴影部分，求3xy+的取值范围，结合图形可得．【详解】如

图，以直线63AA为x轴，线段63AA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则6(1,0)A−，113(,)22A−−，3(1,0)A，413(,)22A，513(,)22A−．设(,)Pxy，则6(1,)APxy=

+，1333(,)22AA=，∴1363333(1)(3)2222AAAPxyxy=++=++，令3zxy=+，易知直线:30lxy+=就是直线25AA，平移直线l，当l与34AA重合时，min3z=，当直线l与阴

影部分的弧相切时，221(3)1z=+，2z=，∴max2z=，∴1363333322222AAAP++，即所求取值范围是233[3,]2+．故答案为：233[3,]2+．【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法建立平面直角坐标系，把向量的数

量积用坐标表示出来，从而把问题转化为求3zxy=+的取值范围，这就是非线性可行域的简单的线性规划问题．14.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若coscos9caBbA−=，则coscoscosa

AbBaB+的最小值是_______【答案】455【解析】【分析】由正弦定理化边为角，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简已知条件，由已知条件可把coscoscosaAbBaB+转化为可用基本不等式求最值的形式，从而得到最小值

．【详解】∵coscos9caBbA−=，由正弦定理得sinsincossincos9CABBA−=sin()sincoscossin99ABABAB++==，∴4sincos5cossinABAB=，∴cos4sincos5sinAABB=，∴coscosco

saAbBaB+=coscossincoscossinAbABBaBA+=+4sinsin4sinsin4525sinsin5sinsin5ABABBABA=+=，当且仅当4sinsin5sinsinABBA=时取等号，∴coscoscosaAbBaB+的最小值

是455．故答案为：455．【点睛】本题考查考查正弦定理，考查诱导公式、两角和的正弦公式，在三角形与三角函数综合问题中，出现边的齐次式时，常常正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换公式化简变形．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,为锐角，4sin5=，5cos()5+=−.（1）求cos的值；（2）求()tan2−的值.【答案】（1）55；（2）247−【解析】【分析】（1）由两角差的余弦公式求值；（2）由同角间的三角函数关系求出tan,tan，由正

切二倍角公式得tan2，最后由两角差的正切公式求值．【详解】解：（1）因为为锐角，4sin5=，所以22493cos1sin15255=−=−==.因为,为锐角，所以()0,π+，同理可得，25sin()5+=.所以()()()5325

45coscoscoscossinsin55555=+−=+++=−+=.所以cos的值为5.5（2）由4sin5=，3cos5=，得4sin45tan3cos35===.因为5cos5=，为锐角，所以2222sin1cos11ta

n112coscoscos55−===−−=所以222tan224tan21tan123===−−−.所以()44tantan22433tan2441tantan27133

−−−−===−++−.所以()tan2−的值为24.7−【点睛】本题考查两角差的余弦公式、正切公式，考查同角间的三角函数关系，利用三角函数公式时应注意的问题：(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，

符号反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ACBC⊥，,MN分别为,ACAB的中点，

点P是1AA上一点，且1CPCM⊥.（1）求证：//BC平面1CMN；（2）求证：平面PCB⊥平面1CMN.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中位线定理得线线平行后可得

线面平行；（2）直三棱柱中由面面垂直的性质定理得线面垂直，BC⊥平面1AC，从而得线线垂直，再由已知线线垂直得线面垂直，从而得面面垂直．【详解】证明：（1）在ABC中，,MN分别为ACAB，的中点，所以AMANMCNB=，所以//BC

MN.因为MN平面1CMN，BC平面1CMN，所以//BC平面1CMN.（2）因为111ABCABC−为直三棱柱，所以1CC⊥平面ABC.因为BC平面ABC，所以1CC⊥BC因为ACBC⊥，11,CCACCCC=平面1AC，AC平面1AC，所以BC⊥平面1AC，因为PC平面1AC

，所以BCPC⊥.由（1）得，//BCMN，所以MNPC⊥.因为1CPCM⊥，1CMMNM=，1CM平面1CMN，MN平面1CMN，所以PC⊥平面1CMN因为PC平面PCB，所以平面PCB⊥平面1CMN.【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直，解题关键是掌握线面平行和面面垂直的判定定

理，特别要掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直间的相互转化．17.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，左焦点(2,0)F−.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线yxm=+与椭圆C交于不同的两点,AB，且线段A

B的中点M关于直线1yx=+的对称点N在圆221xy+=上，求实数m的值.【答案】（1）22184xy+=；（2）35m=或3m=【解析】【分析】（1）焦点坐标得2c=，再由离心率得a，从而可得b，于是有椭圆标准方程；（2）设()()1122,,,AxyBxy33

44(,),(,)MxyNxy，将yxm=+代入22184xy+=，化简得一元二次方程，从而可得,AB的横坐标，由中点坐标公式得中点M的横坐标，由直线方程得纵坐标，然后由对称性得N点坐标，利用点N在圆上可求得m．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则因为椭圆C的

离心率为22，所以22ca=，即2ac=因为椭圆C的左焦点为(2,0)F−，所以2c=，所以22a=所以椭圆C的方程为22184xy+=（2）设()()1122,,,AxyBxy3344(,),(,)MxyNxy，将yxm=+代

入22184xy+=，化简得2234280xmxm++−=，因为直线yxm=+与椭圆C交于不同的两点,AB，所以222=1612(28)9680mmm−−=−，解得2323m−所以221,24968224263mmmmx−−−−==

.所以1233322,2333xxmmxyxmmm+==−=+=−+=.因为M，N关于直线1yx=+的对称，所以343434341,221yyxxyyxx++=+−=−−，解得441,3213mxym=

−=−因为点N在圆221xy+=上，所以2221+1=133mm−−，即251890mm−+=，解得123,35mm==.又2323m−，所以35m=或3m=.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与

椭圆相交问题及直线的对称性．考查了由韦达定理求解中点坐标，由对称性得对称点坐标的问题，还考查了学生的运算求解能力．18.如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P

在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为l，3()44APH=,,.（1）求l关于的函数关系式；（2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最

优美.证明：当角满足：tan()4=−时，招贴画最优美.【答案】（1）2sinal=，π3π(,)44；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类ππ(,)42时，点P在线段OG上，当π3π(,)24时，点P在线段GH上，当π2=时，APa=.求出半径AP后可得弦长；

（2）由（1）的分类讨论求得sincos2OPl−=.3(,)44，令sincos()2f−=，用导数的知识求它的最大值即可得．【详解】解：（1）当ππ(,)42时，点P在线段OG上，sinaAP=；当π3π(,)24时，点P

在线段GH上，sin(π)sinaaAP==−；当π2=时，APa=.综上所述，sinaAP=，π3π(,)44.所以，弧AD的长22sinalAP==，故所求函数关系式为2sinal=，π3π(,)44.（2）当ππ(,)42时，costansina

aOPOGPGaa=−=−=−；当π3π(,)24时，costan(π)tansinaaaOPOGGHaaa=+=+=−=−−；当π2=时，OPa=.所以，cossinaOPa=−，π3π(,)44.从而，sincos2OPl−=.记sincos()2f−

=，π3π(,)44.则2(cossin)(sincos)()2f+−−=.令()0f=，得(cossin)sincos+=−.因为π3π(,)44，所以cossin0+，从而sincoscossin

−=+，显然π2，所以sincostan1πtan()cossintan14−−===−++.记满足πtan()4=−的0=，下面证明0是函数()f的极值点.设()(cossin)(sincos)g=+−−，π3π(,)44.则()g

=(cossin)0−在π3π(,)44上恒成立，从而()g在π3π(,)44上单调递减，所以，当0π(,)4时，()0g，即()0f，()f在0π(,)4上单调递增；当03π(,)4时，()0g

，即()0f，()f在03π(,)4上单调递减.故()f在0=处取得极大值，也是最大值.所以，当满足πtan()4=−时，函数()f即OPl取得最大值，此时招贴画最优美.【

点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和OP．19.如果无穷数列{an}满足条件：①212nnnaaa+++；②存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列.（1）设数列{bn}的通项为bn＝20n－

2n，且是Ω数列，求M的取值范围；（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝14，S3＝74，证明：数列{Sn}是Ω数列；（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.【答案】（1）[68,)+；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1

）求出数列{}nb的最大项即可得；（2）由等比数列的基本量法求出nS，根据数列新定义证明即可；（3）用反证法，假设存在正整数k，使得1kkdd+，由数列{dn}是各项均为正整数得1+1kkdd+，即11kkdd+−.然后利用新定义归纳k

mkddm+−，这样由kdM可得数列从某一项开始为负．与已知矛盾．从而证得结论．【详解】解：（1）因为bn＝20n－2n，所以()112012202202nnnnnbbn++−=+−−+=−，所以当4n时，1nnbb+；当5n时，1nnbb+，所以数列{bn}的最

大项是568b=，所以68M，所以M的取值范围是[68,)+.（2）设{cn}的公比为(0)qq，则3331233274ccSccccqq=++=++=，c3＝14，整理得2610qq−−=，解得12q=或13q=−，因为0q，所以12q=.因为{c

n}是等比数列，所以所以211111222222nnnnSS+−++=−+−1255112222422nnnnS++=−=−−=1111111(1)112,22121212nnnnnnncqccqSq−−−

−−=====−−−.因为2nS，所以数列{Sn}是Ω数列.（3）假设存在正整数k，使得1kkdd+，由数列{dn}是各项均为正整数得1+1kkdd+，即11kkdd+−.因为数列{dn}是Ω数列，所以212kkkddd+++，所以()212212kkkkkkdddddd

++−−−=−，同理，()32111122123kkkkkkkddddddd++++++−−−=−−，依此类推，得kmkddm+−.因为数列{dn}是Ω数列，所以存在M，kdM，所以当mM时，0kmkddm+−，与数列{dn}各项均为正整数矛盾，所以假设不成立，即对

任意的正整数n，dn≤dn＋1【点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义，转化为求数列的最大值，研究数列的不等关系．20.已知函数2()ln()fxaxxaR=+（1）若1a=−，求()fx的最大值；（2）如果函数12(),(),()gxfxfx在公共定义域D

上，满足12()()()fxgxfx，那么就称()gx为12(),()fxfx的“伴随函数”.已知函数2211()()2(1)ln2fxaxaxax=−++−，221()22fxxax=+.若在区间(1,)+

上，函数()fx是12(),()fxfx的“伴随函数”，求实数a的取值范围；（3）若1a=，正实数12,xx满足121212()()++0fxfxxxxx++=，证明：12512xx−+.【答案】（1）ln(2)2e−；（2）11[,]24−；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数()

fx，由导数研究函数的单调性得出最大值；（2）问题等价于221()()()()2ln02pxfxfxaxaxx=−=−−+对(1,)x+恒成立，且2211()()()2ln02hxfxfxxaxax=−=−+−对(1,)x+恒成

立，利用导数研究不等式恒成立可得参数取值范围；（3）把121212()()++0fxfxxxxx++=，变形为()21212()lnxxxxtt−+++=−（令12(0)xxtt=），求出()lnttt=−的最小值后解相应不等式（关于12xx+的不等式），可得结论．【详

解】解：（1）当1a=−时，()()212121()ln()2xxfxxxfxxxx+−=−+==−+，，当()0x+，时，令()0fx=，解得22x=.列表如下：x202，2222+，'()fx+0−()fx↑极大

值ln(2)2e−↓所以，当22x=时()fx取得极大值，也即是最大值.所以()fx的最大值是ln(2)2e−（2）在区间(1,)+上，函数()fx是12(),()fxfx的“伴随函数”，则12()()()f

xfxfx，令221()()()()2ln02pxfxfxaxaxx=−=−−+对(1,)x+恒成立，且2211()()()2ln02hxfxfxxaxax=−=−+−对(1,)x+恒成立，1[(21)1](1)()(21)2axxpxaxaxx

−−−=−−+=（*）①若12a，令()0px=，得极值点1211,21xxa==−，当211xx=，即112a时，在2(,)x+上有()0px，此时()px在区间2(,)x+上是增函数，并且在该区间上有

2()((),)pxpx+，不合题意；当211xx=，即1a时，在(1,)+上有()0px，此时()px在区间(1,)+上是增函数，并且在该区间上有()((1),)pxp+，也不合题意；②若12a，则有210

a−，此时在区间(1,)+上恒有()0px，从而()px在区间(1,)+上是减函数；要使()0px在此区间上恒成立，只需满足11(1)022paa=−−−，所以1122a−.又因为22222()()20,()axaxaxahxxahxxxx−+−

−−=−+−==在(1,)+上是减函数.1()(1)202hxha=−+，所以14a.综合可知a的取值范围是11[,]24−.（3）当1a=时，2()lnfxxx=+.因为121212()(

)++0fxfxxxxx++=，所以2221122121212121212lnlnln()()xxxxxxxxxxxxxxxx++++++=−++++.令12(0)xxtt=，则()21212()lnxxxxtt−+++=−，令()ln,ttt=−

则1'()1,tt=−令'()0,t=解得1,t=当(0,1)t时，'()0,t()t在(0,1]上单调递增，当(1,+)t时，'()0,t()t在[1,)+上单调递减，所以当1t=时()t取得极大值即最大值1−，所以()21212()1xxxx

−+++−，解得12512xx−+【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究函数新定义，证明不等式，解题关键是用新定义把问题转化为不等式恒成立，而用导数证明不等式，转化为求函数的最值．转化与化归思想贯穿解题

过程的始终．本题对学生的运算求解能力，逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力的要求较高，属于困难题．21.已知矩阵1031=A，向量18=.求向量，使得2A=.【答案】12=【解析】【分析】由矩

阵乘法求出2A，设xy=，由已知等式得出,xy的方程组，可解得,xy，得向量．【详解】解：因为1031=A，所以2101010313161==A设xy=，则2=A1061xy=18

168xxy=+所以1,68xxy=+=解得12xy==，所以12=.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为321

12xtyt==+（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为22cos()4=−.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,AB两点，求线段AB的长度.【

答案】（1）22220xyxy+−−=；（2）7【解析】【分析】（1）由公式cossinxy==可得曲线C的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C是圆，因此由垂径定理计算

弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为22cos()4=−，所以()22coscossinsin2cossin44=+=+即()22cossin=+.因为222cos,sin,xyxy=

==+，所以222()xyxy+=+，所以曲线C的直角坐标方程为22220xyxy+−−=（2）因为直线l的参数方程为32112xtyt==+（t为参数），所以333(3)322xytt−=−+=−，所以l的直角坐标方程为330xy−+=所以圆心()1,1到直线l的距离()2133

1213d−+==+，所以21222274ABd=−=−=，所以线段AB的长度为7【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．23.某地区试行高考考

试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.（1）求该学生考上大学的概

率.（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的概率分布及X的数学期望.【答案】（1）131243；（2）分布列见解析，389【解析】【分析】（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为A，A就是五次都未通过，或者5次考试中只有1次通过，由对立事件概

率公式可得．（2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，分别计算概率，注意事件Xk=的含义，如4X=表示前3次中只有1次通过，而第4次通过，便5X=还包括5次都没通过．由此可得分布列，再由期望公式计算期望．【详解】解

：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为A，每次测试通过与否互相独立，则4515122112()333243PAC=+=所以112131()1243243PA=−=，所以该学生考上大学的概率为131243.（

2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，则211(2)39PX===，121214(3)33327PXC===，2131214(4)33327PXC===，341412216(5)+33

327PXC===.所以X的概率分布为：X2345P194274271627所以X的数学期望为1441638()234592727279EX=+++=【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，考查对立事件的概率，考查随机变量概率分布列和期望．本题难点在于对事件Xk

=的理解．24.记11(1)2xxxn+++(2n且*nN)的展开式中含x项的系数为nS,含2x项的系数为nT.（1）求nS;（2）若2nnTanbncS=++,对n＝2,3,4成立,求实数,,abc的值

;（3）对（2）中的实数,,abc,用数学归纳法证明:对任意2n且*2,nnTnNanbncS=++都成立.【答案】（1）12(1)!nnSn+=−（2）111,,4126abc==−=−（3）答案见解析【解析】【分析】（1）化简111(1)1(12)!2!nxx

xnxnxnn+++=++++++,即可求得答案;（2）由2242342117,,362TTTSSS===,得到关于,,abc的方程组,即可求得答案;（3）先根据当2n=时,等式成立;假设nk=时关系成立,利用变形可得1nk=+时关系

也成立,综合得到对于任意nNå时都成立,即可求得答案.【详解】（1）11(1)2xxxn+++1211()12xxnxn+++=1(1)(12)(1)!xxnxn=+

++11(12)!!nnxnxn=++++++展开式中含x项的系数为1122!(1)!nnnSnn++++==−（2）2242342117,,362TTTSSS===则24231193671642abcabcabc=++=++=++解得111,,4126

abc==−=−（3）①当2n=时,由（2）知等式成立．②假设当nk=(*kN,且2k)时,等式成立,即21114126kkTkkS=−−当1nk=+时,由111()(1)21fxxxxxkk=+++++111(1)21xxxxk

k=+++++211!1kkSxTxxkk=+++++可得111kkkTSTk+=++21111121(1)!14126kkkkk+=+−−

−+22111111121(1)!1412632(35)111212122!kkkkkkkTkkkkkkkSkk++++−−−+−−+==++=+++又2111(35)(1)(1)412612kkkk++−+−==

上式,即等式2111111(1)(1)41264kkTkkS++=+−+−=也成立．综上所述,对任意2n且*nN,都有2nnTanbncS=++成立．【点睛】本题的解题关键是掌握多项式相乘和组合数公式,及其掌握数学归纳法的解题步骤,考

查了分析能力和计算能力,属于难题.