【文档说明】【精准解析】海南省海口市海南中学2020届高三第六次月考试卷数学.doc，共(25)页，2.647 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3c3ddeff9adb766542b14e7775ff6f15.html

以下为本文档部分文字说明：

海南中学2020届高三第六次月考数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，

用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分

，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2=|20Mxx−，2,1,0,1,2N=−−，则MN=（）A.B.1C.0,1D.1,0,1−【答案】B【解析】【分析】化简集合M，按交集定义

，即可求解.【详解】由220xx−，得()0,2x，所以1MN=，故选：B．【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知i为虚数单位，复数12izii+=−−，则z=（）.A.1255i−B.2155i−C.1255i+D.2551i+【答案】C【解析】【分析】先根据

复数的除法计算出z，然后根据复数的共轭复数的概念直接写出z.【详解】因为()()()()1211312222555iiiiziiiiiii++++=−=−=−=−−−+，所以1255zi=+.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算以及共轭

复数的求法，难度较易.互为共轭复数的两个复数实部相同虚部互为相反数.3.设xR，则“20xx−”是“12x−”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据

20xx−、12x−中x范围的互相推出情况，确定出20xx−是12x−的何种条件.【详解】因为20xx−，所以()10xx−，所以01x，因为12x−，所以212x−−，所以13x-<<，根据小范围

推出大范围可知：01x能推出13x-<<，但13x-<<不能推出01x，所以20xx−是12x−的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解以及充分、必要条件的判断，难度较易.注意小范围推出大范围的情况.4.已

知向量()()(),1,21,30,0manbab=−=−，若//mnurr，则21ab+的最小值为（）.A.12B.843+C.16D.1023+【答案】B【解析】【分析】根据向量的平行关系，得到,ab间的等量关系，再根据“1”的妙用结合基本不等式即可求解出21a

b+的最小值.【详解】因为//mnurr，所以3210ab+−=，所以321ab+=，又因为()2121343432882843abababababbaba+=++=+++=+，取等号时34321abb

aab=+=即336314ab−=−=，所以min21843ab+=+.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知()1,,,0manbmnab+=，则()pqpqmqanp

bmanbmpnqababba+=++=+++()22,0mqanpbmpnqmpnqmnpqpqba++=++，取等号时22mqanpb=.5.将函数()sin2fxx=的图象向右平移6

个单位长度后得到函数()gx的图象，则下列说法正确的是（）A.1()22g=B.()gx的最小正周期是4C.()gx在区间[0，]3上单调递增D.()gx在区间[3，5]6上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数

的平移变换求出()gx的解析式，再一一对照选项验证是否成立.【详解】函数()sin2fxx=的图象向右平移6个单位长度得：()sin(2)3gxx=−.对A，3sin()32()2g−==，故A错误；对B，最小正周期为，故B错误；对C，当023333xx−−

，因为(,)33−是(,)22−的子区间，故C正确；对D，当54263333xx−，4(,)33不是3(,)22的子区间，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查三

角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.6.等比数列na的前n项和为nS，公比为q，若639SS=，562S=，则1a=（）A.2B.2C.5D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得等比数列n

a的公比1q，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911aqaqqq−−=−−，解可得2q=，又由()5151131621aqSaq−===−，解可得1a的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列na中，若639SS=，则1q，若639SS=，

则()()631111911aqaqqq−−=−−，解可得38q=，则2q=，又由562S=，则有()5151131621aqSaq−===−，解可得12a=；故选B．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n项和的性质．7.已

知三棱锥DABC−的所有顶点都在球O的球面上，2ABBC==，22AC=，若三棱锥DABC−体积的最大值为2，则球O的表面积为()A.8πB.9πC.25π3D.1219【答案】D【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．详解：因为2,22ABBCAC=

==，所以ABBC⊥，过AC的中点M作平面ABC的垂下MN，则球心O在MN上，设OMh=，球的半径为R，则棱锥的高的最大值为Rh+，因为1122()232DABCVRh−=+=，所以3Rh+=，由勾股定理得22(3)2RR=−+，解得116R=，所以球的表面积为1211214369S

==，故选D．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的

半径．8.已知函数()()2ln1fxxx=+−，设()3log0.2af=，()0.23bf−=，()1.13cf=−，则（）A.abcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】∵()()2ln1fxxx=+−∴221()

ln(1)ln1fxxxxx=+−=++∴2()ln(1)fxxx−=++∵当0x时，211xx++；当0x时，2011xx++∴当0x时，222()ln(1)ln(1)ln(1)fxxxxxxx=+−=−+−=++，2()ln(1)fxxx−=++；当0x

时22()ln(1)ln(1)fxxxxx=+−=+−；22()ln(1)ln(1)fxxxxx−=−++=+−.∴()()fxfx=−∴函数()fx是偶函数∴当0x时，易得2()ln(1)fxxx=++为

增函数∴33(log0.2)(log5)aff==，1.11.1(3)(3)cff=−=∵31log52，0.2031−，1.133∴1.10.23(3)(log5)(3)fff−∴cab故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.方程12yx=−表示一条直线B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为2y=C.方程()()2222140xy−+−=表示四个点D.ab是22a

cbc的必要不充分条件【答案】CD【解析】【分析】A．根据特殊点进行分析并判断对错；B．注意多解的情况并判断对错；C．根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；D．根据不等式互相推出的情况判断对错.【详解】A．因为

12yx=−，所以()202xyx−−=，表示直线20xy−−=去掉点()2,0，故错误；B．根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y=，故错误；C．因为()()2222140xy−+−=，所以2214xy

==，解得12xy==或12xy==−或12xy=−=或12xy=−=−，表示四个点，故正确；D．因为0c=时，22abacbc=，所以充分性不满足，又因为22acbc时，根据不等式性质可知ab，所以必要性满足，所以ab是22acbc的必要不充分

条件，故正确.故选：CD.【点睛】本题考查曲线与方程以及充分、必要条件的判断，属于综合题型，难度一般.（1）判断曲线所表示的方程时，注意分析一些特殊点或者特殊取值；（2）充分、必要条件的判断，根据互相推出的情况即可判断.10.已知双曲

线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为12,FF，P为双曲线上一点，且122PFPF=，若1215sin4FPF=，则下面有关结论正确的是（）A.6e=B.2e=C.5ba=D.3ba=

【答案】ABCD【解析】【分析】根据1215sin4FPF=对12FPF分类讨论，利用双曲线的定义以及122PFPF=，再结合12FPF对应的余弦定理，即可计算出离心率的值，从而可求,ab的关系.【详解】若12FPF为锐角时，12215114os4cFPF=−=

，如图所示，因为122PFPF=，122PFPFa−=，所以124,2PFaPFa==，所以222222121221212cos164412164PFPFFFaacPFFPFPFa+−+−===，所以224ca=，所以2ca=，所以2e=，所以2224aba+=，3ba=，故BD正

确；若12FPF为钝角时，12215114os4cFPF=−−=−，如图所示，因为122PFPF=，122PFPFa−=，所以124,2PFaPFa==，所以222222121221212cos164412164PFPFFFaacPFFPPFFa+

−+−===−，所以226ca=，所以6ca=，所以6e=，所以2226aba+=，5ba=，故AC正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合应用，着重考查了离心率以及根据离心率求等量关系，强调了分类讨论的思想

，难度一般.双曲线中的焦点三角形要注意利用定义以及顶角的余弦定理进行问题分析.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，动点E在线段11AC上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A.11//FMACB.BM⊥平面1CCFC.存在点E，使得平面//BEF平面11CC

DDD.三棱锥BCEF−的体积为定值【答案】ABD【解析】【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BMCF⊥再证明BM⊥平面1CCF即可.对C,根据BF与平面11CCDD有交点判定即可.对D,根据三棱锥BCEF−以BCF为底,且同底高不变,故体

积不变判定即可.【详解】在A中,因为,FM分别是,ADCD的中点,所以11////FMACAC,故A正确;在B中,因为tan2BCBMCCM==,tan2CDCFDFD==,故BMCCFD=,故2BMCDCFCFDDCF+=+=.故BMCF⊥,

又有1BMCC⊥,所以BM⊥平面1CCF,故B正确；在C中,BF与平面11CCDD有交点,所以不存在点E,使得平面//BEF平面11CCDD,故C错误.在D中,三棱锥BCEF−以面BCF为底,则高是定值,所以三棱锥BCEF−的体积为定值,故D正确.故

选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点

定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()fx，存在一个点0x，使得()00fxx=，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A.()2xfxx=+B.()23gxxx=−−C.()221,12

,1xxfxxx−=−D.()1fxxx=−【答案】BCD【解析】【分析】根据已知定义，将问题转化为方程()fxx=有解，然后逐项进行求解并判断即可.【详解】根据定义可知：若()fx有不动点，则()fxx=有解.A．令2xxx+=，

所以20x=，此时无解，故()fx不是“不动点”函数；B．令23xxx−−=，所以3x=或1x=−，所以()fx是“不动点”函数；C．当1x时，令221xx−=，所以12x=−或1x=，所以()fx是“不动点”函数；D．令1xxx−=，所以22x=，所以()fx是“不动点”函数

.故选：BCD.【点睛】本题考查新定义的函数问题，难度较难.解答本题的关键是能通过定义将问题转化为方程是否有解的问题，对于转化能力要求较高.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.7人并排站成一行

，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是____________（用数字作答）.【答案】3600【解析】【分析】采用插空法，先排列除甲乙以外的5个人，然后将甲乙两人插入到5个人形成的6个空位中，根据排列数计算种数即可.【详解】第一步：先排列除甲乙以外的5个人，方法数为551

20A=，第二步：将甲乙插入到5个人形成的6个空位中，方法数为2630A=，所以总的排法种数为：52563600AA=.故答案为：3600.【点睛】本题考查排列的简单应用，难度一般.求解排列组合的相关问题时，可根据分步或分类计数原理完成进行分析计算.14.已知等差数列na的首项及公差均

为正数，令()*2020,2020nnnbaann−=+N，当kb是数列nb的最大项时，k=__________.【答案】1010【解析】【分析】设nax=，2020nay−=，根据基本不等式()222222222()22xyxyxyxyxyxy+

=+++++=+和等差数列的性质202010102nnaaa−=+得()()222020202010101010()2224nnnnnbaaaaaa−−=++==，由此可得解.【详解】设nax=，2020nay−=，根据基本不等式()222222222()22x

yxyxyxyxyxy+=+++++=+，又由等差数列na的首项及公差均为正数，得202010102nnaaa−=+，所以()()222020202010101010()2224nnnnnbaaaaaa−−=++==，当且仅当2020nnaa−=时，nb取得最大值，此时1010n=，所以1

010k=，故答案为1010.【点睛】本题考查等差数列的基本性质和基本不等式及其应用，关键在于运用换元法，简化已知式与基本不等式建立联系，属于中档题.15.过点()2,1N−作抛物线21:4Cyx=的两条切线，切点分别为A、B，则该抛

物线C的焦点坐标为：_______________，AB所在的直线方程为_______________.【答案】(1).()0,1(2).10xy−+=【解析】【分析】将抛物线方程化为标准形式即可计算出焦点坐标；设出切点坐标，利用导数以及切线方程得到交点N的坐标与切点坐标的关系，化简

直线AB的方程即可得到结果.【详解】因为抛物线C的方程：22xpy=，所以2p=，所以焦点坐标为()0,1；设221212,,,44xxAxBx，2xy=，所以A处切线方程()211124xxyxx=−+，B处切线方程()222224

xxyxx=−+，所以()()211122222424xxyxxxxyxx=−+=−+，解得121224xxxxxy+==，所以12122214xxxx+=−=，所以12124

4xxxx+==−，又因为AB的方程为()222121121444xxxyxxxx−=−+−，即211244xxxxyx+=−，所以AB的方程为1yx=+，即10xy−+=.故答案为：()0,1；10xy−+=.【点睛】对于

焦点在y轴的标准形式的抛物线，其也是函数，涉及到切线问题时可以利用导数的几何意义进行相关分析.16.函数()21,1,{ln,1,xxfxxx−=若方程()12fxmx=−恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____

______．【答案】1,2ee【解析】作出函数()21,1,,1,xxfxlnxx−=与函数()12fxmx=−的图象，如图所示：由题意,直线()12fxmx=−过(1,0)时,12k=，x>1时,()()1

,'fxlnxfxx==，直线与y=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),则切线方程为()1ylnaxaa−=−,即11yxlnaa=−+，令112lna−+=−,则ae=,∴1ekae==，∴函数()21,1,,1,xxfxlnxx−=若方程()12fxmx=−恰有四个

不相等的实数根，实数m的取值范围是1,2ee.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个

平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知△ABC的内角A，B，C满足sinsinsinsinsinsinsinsinABCBCABC−+=+−．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求

△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）3A=;（2）334.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化为边可得222abcbc=+−，再由余弦定理即可得A；（2）由正弦定理2aRsinA=，可得a，由基本不等式利用余弦定理可得222bcbcbcbcbc

+−−=，从而由12SbscinA=可得解.【详解】（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．根据sinsinsinsinsinsinsinsinABCBCABC−+=+−，可得222abcbabcbccabc−+==+−+−，所以2221cos222bcabc

Abcbc+−===，又因为0A，所以3A=．（2）22sin2sin3sin3aRaRAA====，所以2232bcbcbcbcbc=+−−=，所以11333sin32224SbcA==（bc=时取等号）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形的面积公式的应用，涉及

基本不等式求最值，属于基础题.18.已知数列na的各项均为正数，对任意的*nN，它的前n项和nS满足2111623nnnSaa=++，并且249,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设11(1)nnnnbaa++=−，nT为数列nb的前n项和，求2nT.【

答案】（1）*32,nannN=−；（2）2186nn−−【解析】【分析】（1）根据已知等式再写出一个关于1nS−的等式，两式作差得到na的通项公式，并根据已知条件对通项公式进行取舍；（2）写出2nT的表达式，将其化简，并根据

等差数列的求和公式完成求解即可.【详解】解（1）∵对任意*nN，有2111623nnnSaa=++①∴当1a=时，有21111111623Saaa==++，解得11a=或2.当2n时，有2111111623nnnSaa−−−=++②①②并整理得()()1130nnnnaaaa−

−+−−=.而数列na的各项均为正数，∴13nnaa−−=.当11a=时，13(1)32nann=+−=−，此时2429aaa=成立；当12a=时，23(1)31nann=+−=−，此时2429aaa=，不成立，舍去.∴*32,nannN=−.（2）2122122334452

21nnnnTbbbaaaaaaaaaa+=+++=−+−+−.()()()21343522121242666nnnnaaaaaaaaaaaa−+=−+−++−=−−−−()2426naaa=−+++2(462)61862nnnn+−=−=−−【点睛】本题考查利用递推关系求

解通项公式、等比数列概念理解、公式法求和，属于综合问题，难度一般.注意利用()12nnnaSSn−=−求解通项公式.19.如图，三棱锥PABC−中，PC⊥平面ABC，3PC=，2ACB=．,DE分别为线段,ABBC上的点，且2,22CDDECEEB====．(1)证明：DE⊥平面

PCD；(2)求二面角APDC−−的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）36【解析】【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC⊥平面ABC，可知PCDE⊥，再分析已知由2,2DCDECE===得CDDE⊥，这样与DE垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二

面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于2ACB=，PC⊥平面ABC，因此,,CACBCP两两垂直，可以他们为,,xyz轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD和平面CPD的法向量12,nn，向量12,nn的夹

角与二面角相等或互补，由此可得结论．试题解析：（1）证明：由PC⊥平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PC⊥DE由CE＝２，CD=DE＝２得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD⊥DE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD（2）解：由

（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝4,，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝2,得DF//AC，23DFFBACBC==，故AC＝32

DF＝32．以Ｃ为坐标原点，分别以,CACBCP，的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（32,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），(1,1,0),ED=−(1,1,3)(,1,0)DPDA１，２=

−−=−设平面PAD的法向量111,,)nxyz１＝（，由0nDP=１，0nDA=１，得11111130{(2,1,10+)12xyznxy故可取−−==−=.由（1）可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量2nuur可取为ED,即2(1,1,0)n=−.从而法向量1nur，

2nuur的夹角的余弦值为1212123,=6||||nncosnnnn=，故所求二面角A-PD-C的余弦值为36.考点：考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，左、右焦点分别

是12,FF，椭圆C上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3；（1）求椭圆C的方程；（2）过1F作垂直于x轴的直线l交椭圆C于,AB两点（点A在第二象限），,MN是椭圆上位于直线l两侧的动点，若MABNAB=，求证：直线

MN的斜率为定值.【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率和三角形面积可构造关于,,abc的方程，解方程可求得,,abc，进而得到椭圆方程；（2）假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到12xx+和12xx；根据

MABNAB=知0AMANkk+=，从而可利用韦达定理形式表示出等式，化简可得()()212230kmk+−−=；当2230mk−−=时，可知过A点，不符合题意；所以可知12k=−.【详解】（1）由题意可得：12ca=且3bc=又222abc=+得：24

a=，23b=，21c=椭圆C的方程为22143xy+=（2）证明：由（1）可得：直线l：1x=−，31,2A−设直线MN的方程为ykxm=+，代入椭圆方程消y可得()222348412

0kxkmxm+++−=设()11,Mxy，()22,Nxy，则()2248430km=−+则122834kmxxk+=−+，212241234mxxk−=+MABNAB=0AMANkk+=12123322011yyxx−−+=++即()()1221

3311022kxmxkxmx+−+++−+=()()21212222412338223230234234kmkmkxxmkxxmmkmkk−++−++−=−+−+−=++化简可得()()212230kmk+

−−=12k=−或2230mk−−=当2230mk−−=时，直线MN的方程为()312ykx=++则直线MN经过点31,2A−，不满足题意12k=−即直线MN的斜率为定值12−【点睛】本题考查

椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题的求解.对于定值问题，关键是能够通过已知条件建立起与参数有关的等量关系式，通过整理化简将关系式变为恒等式，或通过消元得到所求定值.21.已知函数()12lnfxxaxx=−+.（1）讨论()fx的单调性；（2）设()2lngxxbxcx=−−，若函数()f

x的两个极值点()1212,xxxx恰为函数()gx的两个零点，且()12122xxyxxg+=−的范围是2ln2,3−+，求实数a的取值范围.【答案】（1）当1a时，单调递减区间

为()0,+，无单调递增区间；当1a时，单调递减区间为()()220,1,1,aaaa−−+−+；单调递增区间为()221,1aaaa−−+−；（2）32,4+【解析】【分析】（1）求解导函数，根

据导函数的分子（二次函数）分类讨论()fx与0的关系，从而可分析出函数的单调性；（2）根据已知条件构造关于12xx的新函数，根据新函数的单调性分析出12xx的取值范围，然后根据a与12xx的关系即可求解出a的取值范围.【详解】解：（1）()fx的定义域为()

0,+，()22212211axaxfxxxx−−+=−+=−.（i）若1a，则()0fx，当且仅当1a=，1x=时，()0fx=（ii）若1a，令()0fx=得22121,1xaaxaa=−−=+−.当()()220,11,xaaaa−−+

−+时，()0fx；当()221,1xaaaa−−+−时，()0fx，所以，当1a时，()fx单调递减区间为()0,+，无单调递增区间；当1a时，()fx单调递减区间为()()220,1,1,aaaa−−+−+；单调递增区间为()221,1aaaa−−+−.

（2）由（1）知：1a且12122,1xxaxx+==.又()12gxbcxx=−−，∴()12121222xxgbcxxxx+=−−++，由()()120gxgx==得()()22112122lnxbxxcxxx=−+−，∴(

)()()()()121222121112121212121212222122lnln21xxxxxxxxxyxxgbxxcxxxxxxxxxxx−−−+=−=−−−−=−=−+

++.令12(0,1)xtx=，∴2(1)ln1tytt−=−+，∴22(1)0(1)tytt−−=+，所以y在()0,1上单调递减.由y的取值范围是2ln2,3−+，得t的取值范围是10,2

，∵122xxa+=，∴()222222211221212112212212(2)242xxxxxxaxxxxxxaxxxx++=+=++===++，∴2122119422,2xxatxxt=++=

+++，又∵1a，故实数a的取值范围是32,4+.【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于12xx（或21x

x）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.22.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中71

1ln,7iiizyzz===）平均温度/xC21232527293235平均产卵数711212466115325y/个xyz()()1niiixxzz=−−()21niixx=−27.42981.2863.6

1240.182147.714（1）根据散点图判断，yabx=+与dxyce=（其中e2.718=自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的

回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01pp.①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()fp，求()fp的最大值，并

求出相应的概率p.②当()fp取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−.【答案】（1）dxyc

e=更适宜，0.2723.849ˆxye−=；（2）①()max216625fp=，35p=；②()3EX=，6()5DX=【解析】【分析】（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量z，构造线性回归方程，利用已知量求解出

z关于x的线性回归方程，即可求解出y关于x的回归方程；（2）①先表示出()fp，然后根据()fp分析出()fp的最大值以及p的值；②根据p的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可.【详解】解：（1）根据散点图可以判断，dxyce=

更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；对dxyce=两边取自然对数，得lnlnycdx=+；令ln,ln,zyacbd===，得zabx=+；因为()()()7121740.182ˆ0.272147.714iiiiixxzzbxx==−

−==−，ˆˆ3.6120.27227.4293.849azbx=−=−−；所以z关于x的回归方程为ˆ0.2723.849zx=−；所以y关于x的回归方程为0.2723.849ˆxye−=；（2）（i）由5332()(1)fpCpp=

−，得()325(1)(35)fCpppp=−−，因为01p，令()0fp，得350p−，解得305p；所以()fp在30,5上单调递增，在3,15上单调递减，所以()fp有唯一的

极大值为35f，也是最大值；所以当35p=时，()max32165625fpf==；（ii）由（i）知，当()fp取最大值时，35p=，所以3~5,5XB，所以X的数学期望为3()535EX==，方差为326()5555DX==.【

点睛】本题考查线性回归方程的求解、独立重复试验的概率与函数的综合应用、二项分布的均值与方差计算，难度较难.已知()~,XBnp，则()()(),1EXnpDXnpp==−.