【文档说明】河北省衡水市安平中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.337 MB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是

（）A．5B．6C．7D．82．复数z满足（1﹣i）＝|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）A．B．﹣C．1D．03．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（）A．BC∥平面PDFB．DF

⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABCD．平面PDF⊥平面ABC4．已知＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．5．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次

闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A．B．C．D．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a2+b2＝68，则△ABC的面积为（）A．

B．C．4D．7．在△ABC中，M为BC边上的中点，N为AC边上的点，且＝；点P为AM与BN的交点，则下列说法正确的是（）A．＝+B．＝+C．＝+D．＝+8．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥称为“阳马”．如2图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求

的全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分）9．某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（）A．众数的估计值为35B．中位数的估计值为35C．平均数的估计值为29.2D．样本中有25名同学阅读时间不

低于40分钟10．已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（）A．B．若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0C．|z1z2|＝|z1||z2|3D．若，则z1＝z2＝011．抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事

件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D

是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（）A．DP与D1Q所成角的最大值为B．四面体ABPQ的体积不变C．

△AA1Q的面积有最小值D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，﹣6），且，，若A，B，C三点共线，则实数x的值为．14．2020年初

，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为．15．在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠A

CB＝60°，延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为．16．已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝，则球心O到平面ABC的距离为，三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．四.解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字

说明和演算步骤）17．在①|﹣|＝，②（+）•＝，③⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．4已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），_____，若0＜α＜，﹣＜β＜0，且s

inβ＝﹣，求sinα．18．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的

概率；（Ⅱ）求事件B发生的概率；（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2，PC＝，PD＝，点E，F分别为棱AB，PB的中点，且PB＝2AF．求证：（1）平面PAD∥平面CEF；（2）平面PAB⊥平面PAC．20．已知点A（0，1，

﹣1），B（2，2，1），向量，计算：（1）求向量的单位向量；（2）求，；（3）；（4）求点B到直线OA的距离．21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降

价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三

年六月份各天的最高气温数据，得下面5的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过30

0瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．22．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA＝3

km，OB＝3km，∠AOB＝90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边A，B上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩

下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．（1）当AM＝km时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小；（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如

何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？6参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数21

23111则该队员得分的40百分位数是（）A．5B．6C．7D．8解：由表可知频数共计11，11×0.4＝4.4，可得该队员得分的40百分位数是第5个得分为7．故选：C．2．复数z满足（1﹣i）＝|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）A．B．﹣C．1D．0解：∵（1﹣i）＝|1+i|

，∴（1﹣i）（1+i）＝（1+i），∴＝+i∴z＝﹣i则复数z的实部与虚部之和＝﹣＝0．故选：D．3．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

则下列结论中不正确的是（）A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABCD．平面PDF⊥平面ABC解：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF

∥BC，∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；∵PA＝PB＝PC，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，7∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴

平面PAE⊥平面ABC，故C正确；设AE∩DF＝O，连结PO，∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．故选：D．4．已知＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．解：∵＝（2，t，t）﹣（

1﹣t，2t﹣1，0）＝（1+t，1﹣t，t），∴＝＝．故当t＝0时，有最小值等于，故选：C．5．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A．B．C．D

．解：该选手能进入第四关的概率为．故选：D．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a2+b2＝68，则△ABC的面积为（）8A．B．C．4D．解：由，可得：＝，即＝，所以＝a，即c＝ab，又a2+b2＝68，cosC＝，所以c2

＝a2+b2﹣2abcosC＝68﹣2c×，即2c2+c﹣136＝0，解得c＝8，或c＝﹣（舍去），所以ab＝8，又sinC＝＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝．故选：B．7．在△ABC中，M为BC

边上的中点，N为AC边上的点，且＝；点P为AM与BN的交点，则下列说法正确的是（）A．＝+B．＝+C．＝+D．＝+解：设＝λ，＝μ，因为M为BC边上的中点，N为AC边上的点，且＝，所以＝λ＝λ（+）＝λ（+）＝λ（+﹣）＝λ，又＝＝+μ＝+μ（﹣）＝+μ（

﹣）＝（1﹣μ）+，由于向量与向量不共线，则由平面向量基本定理知：，解得，所以＝+．故选：B．8．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如9图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧

棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，则平面PAD⊥平面ABCD，∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，而平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴CD⊥平面PAD．连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，则∠CED为CE与底面PAD所成角，设PA＝AB＝AD＝2a，则AE＝a，ED＝，EC＝．∴sin．即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为．故选：A．二、多项

选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分）9．某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（）10A．众数的估计值为35B．中位数的估计值

为35C．平均数的估计值为29.2D．样本中有25名同学阅读时间不低于40分钟解：由频率分布直方图知（30，40]的频率最大，因此众数估计值为，故A选项正确，∵[0，30]的频率为0.1+0.18+0.22＝0.5，∴中位数为30，故B选项正确，平均

值估计为5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05＝29.2，故C选项正确，不低于40分钟的人数为100×（0.2+0.05）＝25，故D选项正确．故选：AC

D．10．已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（）A．B．若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0C．|z1z2|＝|z1||z2|D．若，则z1＝z2＝0解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，对于A，，11，故选项

A正确；对于B，因为z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，则，则a＝b＝0或c＝d＝0，所以z1，z2中至少有一个为0，故选项B正确；对于C，由复数模的运算性质可知，|z1z2|＝|z1||z2|，故选项C正确；对于D，当

z1＝1，z2＝i时，，故选项D错误．故选：ABC．11．抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）A．

A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件解：抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A，“向上的点数是1，2“为事件B，“向上的点数是1，2，3“为事件C，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D，在A中，A与

B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A正确；在B中，A与C是互斥事件，也是对立事件，故B正确；在C中，A与D能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确．故选：AB

D．12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（）12A．DP与D1Q所成角的最大值为B．四面体ABPQ的体积不变C．△AA1Q的面积有最小值D．平面D1

PQ截正方体所得截面面积不变解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AP，因为AP⊥DQ，所以AP⊥平面DD1Q，所以AP⊥D1Q，因为P为BC中点，记A1B1中点为E，所以Q位于直线D1E上．A：记B1C1中点为H，连结EH，D1H，易知

D1H∥DP，所以DP与D1Q所成角即为∠ED1H，因为正方体棱长为1，所以，解得：cos∠，所以DP与D1Q所成角为定值，为，故A错误；B：A，B，P三点为定点，所以S△ABP为定值，因为Q位于平面A1B1C1D1中，A，B，P在平面ABCD中，所以点Q到平面ABP的距离为

定值，所以四面体ABPQ的体积不变，故B正确；C：在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥QA1，所以，在Rt△D1A1E中，A1D1＝2，A1E＝1，13所以点A1到D1E的距离的最小值为，所以△AA1Q的面积有最小

值为，故C正确；D：当Q不与D1重合时，D1与Q连线即为D1E，故平面D1PQ即为平面D1PE，此时截面固定，面积为定值，当Q与D1重合时，两点确定一条直线，则截面确定，此时面积为定值，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每

小题5分，共20分）13．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，﹣6），且，，若A，B，C三点共线，则实数x的值为3．解：向量＝（﹣1，2），＝（x，﹣6），且，，∴＝（﹣2，4）+（3x，﹣18）＝（﹣2+3x，﹣14），＝（﹣1+2x，﹣10），∵A，B，C三点共线，∴，∴﹣14（﹣1+2x）

＝﹣10（﹣2+3x），解得x＝3．故答案为：3．1414．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1

名女医生被选中的概率为．解：从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生，则共有种不同的选法，至少有1名女医生被选中，则共有种不同的选法，所以至少有1名女医生被选中的概率为．故答案为：．15．在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延长BC

到D，使得CD＝5，则AD的长为7．解：在△ABC中，由正弦定理可得：，在△ACD中，由余弦定理可得：．故答案为：7．16．已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝，则球心O到平面ABC的距离为3，三棱锥P﹣ABC体积的最

大值为．解：如图，在Rt△ACB中，由∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝，得AB＝，设△ACB外接圆的半径为r，则r＝4，设球心为O，三角形ACB外接圆的圆心为O1，15由球的性质可得，OO1⊥平面ACB，在Rt△OO1A中，可得．即球心O到平面A

BC的距离为3；要使三棱锥P﹣ABC体积取最大值，则P为O1O与球面的交点，此时P到底面ACB的距离为8，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．故答案为：3；．四.解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明和演算步骤）17．在①|﹣|＝

，②（+）•＝，③⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），_____，若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ＝﹣，求sinα．解：因为＝（cosα，si

nα），＝（cosβ，sinβ），所以||＝||＝1，选择方案①：因为|﹣|＝，所以（﹣）2＝，即+﹣2＝，所以＝，因为＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），所以•＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，即cos（α﹣β）＝，因为0＜α＜，﹣＜

β＜0，所以0＜α﹣β＜π，所以sin（α﹣β）＝＝，因为﹣＜β＜0，sinβ＝﹣，所以cosβ＝＝，所以sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ＝×+×（﹣）＝．选择方案②：16因为（+）•＝，所以•+＝，所以•＝，因为＝（cosα，sin

α），＝（cosβ，sinβ），所以•＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，即cos（α﹣β）＝，因为0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，所以sin（α﹣β）＝＝，因为﹣＜β＜0，sinβ＝﹣，所以cosβ＝＝，所以sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin

（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ＝×+×（﹣）＝．选择方案③：因为＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且⊥，所以cosαcosβ+sinαsinβ＝0，即cos（α﹣β）＝0，因为0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，所以α﹣β＝，因为﹣＜β＜0，sinβ＝﹣

，所以cosβ＝＝，所以sinα＝sin（+β）＝cosβ＝．18．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间

Ω，并求事件A发生的概率；（Ⅱ）求事件B发生的概率；（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）

，（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），17（6，1），（6，2）

，（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件，事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，∴事件A

发生的概率为P（A）＝．（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，事件B包含的基本事件有12个，分别为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），∴事件B发生的概率P（B）＝＝．（III）事件A

与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），∴事件A与事件C至

少有一个发生的概率为P（A∪C）＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2，PC＝，PD＝，点E，F分别为棱AB，PB的中点，且PB＝2AF．求证：（1）平面PAD∥平面CEF；（2）平面PAB⊥平面PA

C．解：（1）证明：因为E是AB的中点，所以AE＝，又因为AB∥CD，所以四边形AECD是平行四边形，所以CE∥AD，因为CE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CE∥平面PAD．又因为F是PB的中点，所以

EF∥PA，所以EF∥平面PAD，又CE∩EF＝E，所以平面18CE∥平面PAD．（2）证明：因为CD＝1，PC＝，PD＝，满足PD2＝CD2+PC2，所以PC⊥CD，.因为AB∥CD，所以AB⊥PC．在△PAB中，PB＝2AF，F是PB

的中点，所以PF＝AF＝BF，所以∠APF＝∠PAF，∠BAF＝∠ABF，由∠APF+∠PAF+∠BAF+∠ABF＝π，可得，所以AB⊥PA，又PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC，因为AB⊂平面PAB，所以

平面PAB⊥平面PAC．20．已知点A（0，1，﹣1），B（2，2，1），向量，计算：（1）求向量的单位向量；（2）求，；（3）；（4）求点B到直线OA的距离．解：（1）由已知得：＝（2，2，1），则||＝＝3，则，（2），则，则，，则；（3

），则，（4）在上的投影为，，点B到直线OA的距离．21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，19未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高

气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）

[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货

量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于25的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当

天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝＝．（2）当温度大于等于25℃时，需

求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温

度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P＝．22．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA＝3km，OB＝3km，∠AOB＝90

°．当20地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边A，B上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见

，需在△OAN的一周安装防护网．（1）当AM＝km时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小；（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小

？最小面积是多少？解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°，在△AOM中，OA＝3，AM＝，∠OAM＝60°，由余弦定理，得OM＝，…所以OM2+AM2＝OA2

，即OM⊥AN，所以∠AOM＝30°，所以△OAN为正三角形，所以△OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km．…（2）设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°），因为△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的

倍，所以sin30°＝×OA•OMsinθ，即ON＝6sinθ，…在△OAN中，由＝＝，得ON＝，…从而6sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝30°，所以θ＝15°，即∠AOM＝15°．…（3）设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知ON＝，21又

在△AOM中，由＝，得OM＝，…所以S△OMN＝＝＝，…所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积取最小值为km2．…（16分）