【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 1-4 充分条件与必要条件 Word版含解析.docx，共(12)页，490.048 KB，由小赞的店铺上传

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第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若

四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直；（4）若21x=，则1x=；（5）若ab=，则acbc=；（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，pq，所以p是q的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，pq，所以p是q的充分条件.（3）这是一条菱

形的性质定理，pq，所以p是q的充分条件.（4）由于()211−=，但11−，pq，所以p不是q的充分条件.（5）由等式的性质知，pq，所以p是q的充分条件（6）2为无理数，但222=为有理数，pq，所以p不是q的充分条件.例2下列“若p，则q”形式

的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x=，则21x=；（5）若acbc=，则ab=；（6）若xy为无

理数，则x，y为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，pq，所以，q是p的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，pq，所以，q是p的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q不是p的必要条件.的（4）显然，

pq，所以，q是p必要条件.（5）由于()1010−=，但11−，pq，所以，q不是p的必要条件.（6）由于122=为无理数，但1，2不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件.例3下

列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：0xy，q：0x，0y；（4）p：1x=是一元二次方程20axbxc++=的一个根，q：0abc++=（0a）.解：（1）因为对角线

互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以qp，所以p不是q的充要条件.（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即pq，所以p是q的充要条件.（3）因为0xy时，0x，0y不一定成立（为什么

），所以pq，所以p不是q的充要条件.（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即pq，所以p是q的充要条件.例4已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：dr=是直线l与O相切的充

要条件.分析：设p：dr=，q：直线l与O相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可.证明：设p：dr=，q：直线l与O相切.的（1）充分性（pq）：如图1.4-2，作OPl⊥于点P，则OPd

=.若dr=，则点P在O上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在RtOPQ△中，OQOPr=.所以，除点P外直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.所以直线l与O相切.（2）必要性（

qp）：若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl⊥.因此，dOPr==.由（1）（2）可得，dr=是直线l与O相切的充要条件.1.4.1充分条件与必要条件练习1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PAPB=；（2）若两个

三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到pq

，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案.【详解】（1）线段垂直平分线的性质，pq，p是q的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，pq，p不是q的充分条件；（3）相似三角形的性质，pq，p是q的充分条件.【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题

.2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若直线l与o有且仅有一个交点，则l为o的一条切线；（2）若x是无理数，则2x也是无理数.【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件【解

析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到pq，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案.【详解】（1）这是圆的切线定义，pq，所以q是p的必要条件；（2）由于2是无理数，但2(2)2=不是无理数，pq，所

以q不是p的必要条件.【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.3.如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了1，2，3和4.请根据这些信息，写出几个“ab∥”的充分条件和必要条件.【答案】充分条件和必要条件见解析【解析】【分析】根据ab∥可以得到内错角相等，同位角相等，同旁

内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到ab∥.【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到ab∥，所以“ab∥”的充分条件：12=，14=，13180+=；因为ab∥可以得

到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“ab∥”的必要条件：12=，14=，13180+=.【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题.1.4.2充要条件练习4.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等

；（2）:pO内两条弦相等，:qO内两条弦所对的圆周角相等；（3）:pAB为空集，:qA与B之一为空集.【答案】（1）p是q的充要条件；（2）p不是g的充要条件；（3）p不是q的充要条件【解析】【分析】根

据所给命题，判断出能否得到pq，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案.【详解】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以pq，所以p是q的充要条件；在（2）中，O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pq，所以p不是q的充要条件；在（3）中，取{

1,2}A=，{3}=B，显然，AB=，但A与B均不为空集，因此，pq，所以p不是q的充要条件.【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.5.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【

答案】见解析【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得到答案.【详解】“两个三角形全等”的充要条件如下：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④

两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.6.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是ACBD=.【答案

】证明见解析【解析】【分析】先由梯形ABCD为等腰梯形，证明ACBD=，验证必要性；再由ACBD=证明梯形ABCD为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）必要性.在等腰梯形ABCD中，ABDC=，A

BCDCB=，又∵BCCB=，∴BACCDB，∴ACBD=.（2）充分性.如图，过点D作//DEAC，交BC的延长线于点E.∵//ADBE，//DEAC，∴四边形ACED是平行四边形.∴DEAC=.∵ACBD=，∴BDDE=，∴

1E=.又∵//ACDE，∴2E=，∴12=.在ABC和DCB中，,21,,ACDBBCCB===∴ABCDCB.∴ABDC=.∴梯形ABCD为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是ACBD=.【

点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.习题1.4复习巩固7.举例说明:(1)p是q的充分不必要条件;(2)p是q的必要不充分条件;(3)p是q的充要条件.【答案】(1

)“1x”是“0x”的充分不必要条件;(2)“22xy=”是“xy=”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念举例即可.【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“1x”是“0x”的充

分不必要条件;(2)可根据方程的根的解举例：“22xy=”是“xy=”的必要不充分条件;(3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型.8.在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充

分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，:p20axbxc++=有实数根，2:40qbac−…;(3):,:paPQqaP;(4):,:p

aPQqaP;(5)22:,:pxyqxy.【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形与等边三角

形的关系分析.(2)根据二次方程的根分析(3)根据集合的基本关系分析(4)根据集合的基本关系分析(5)举例说明分析【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,故p是q的必要不充分条件.(2)一元二次方程20axbxc

++=有实数根则判别式240bac=−….故p是q的充要条件.(3)因为aPQ,故aPÎ且aQ；当aPÎ时aQ不一定成立.故p是q的充分不必要条件.(4)因为aPQ,故aPÎ或aQ,所以aPÎ不一定成立；当aPÎ时aPQ一定成立.故p是q的必要不充分条件.(5)当x1,

y2==−时,满足xy但22xy不成立.当2,1xy=−=时,满足22xy但xy不成立.故p是q的既不充分又不必要条件.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.9.判断下列命题的真假:(1

)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在O外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)ABA=是BA的必要不充分条件;(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.【解析】【

分析】(1)根据点与圆的位置关系判断.(2)举例说明即可.(3)根据集合的关系直接判断(4)举例说明即可.【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在O外的充要条件.故(1)为真命题.(2)两个三角形面积相等

也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.故(2)为假命题.(3)ABA=是BA的充要条件.故(3)为假命题.(4)当1,2xy==时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立.当2xy==时满足“xy为有理数”但“x

或y为有理数”不成立.故(4)为真命题.【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.综合运用10.已知A={|xx满足条件p},B={|xx满足条件q},(1)如果AB,那么p是q的什么条件?(2)如果BA,那么p是q的什么条件?(3)如果AB=,那么p是q的什么条件

?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.【解析】【分析】(1)根据集合间的基本关系判断p和Q的包含关系再即可.(2)根据集合间的基本关系判断p和Q的包含关系再即可.(3)根据集合间的基本关系判断p和Q的包含关系再即可.【详解】(1)如果AB,则满

足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件.(2)如果BA,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件.(3)如果AB=,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件.【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型.11.设,,abc

R证明:222abcabacbc++=++的充要条件是abc==.【答案】见解析【解析】【分析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果abc==,那么222()()()0abbcac−+−+−=,2222220,abcabacbcabcabacbc

++−−−=++=++.(2)必要性:如果222abcabacbc++=++,那么2220abcabacbc++−−−=,222()()()0,0,0,0abbccaabbcca−+−+−=−=−=−=,abc==∴.由(1)(2)知,222abcabacbc++

=++的充要条件是abc==.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.拓广探索12.设a,b,c分别是ABC的三条边,且abc剟.我们知道,如果ABC为直角三角形,那么222+=abc(勾

股定理).反过来,如果222+=abc,那么ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,ABC为直角三角形的充要条件是222+=abc.请利用边长a,b,c分别给出ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】ABC为锐角三角形的充要

条件是222abc+.ABC为钝角三角形的充要条件是222abc+.证明见解析【解析】【分析】根据勾股定理易得ABC为锐角三角形的充要条件是222abc+.ABC为钝角三角形的充要条件是222abc+.再分别证明充分与必要性即可.【详解】解:(1)设a,b,c分别是ABC的三条

边,且abc剟,ABC为锐角三角形的充要条件是222abc+.证明如下:必要性:在ABC中,C是锐角,作ADBC⊥,D为垂足,如图(1).显然2222222222()2ABADDBACCDCBCDACCDCBCDCBCD=+=−+−=−++−22222

ACCBCBCDACCB=+−+,即222cab+.充分性:在ABC中,222abc+,C不是直角.假设C为钝角,如图(2).作ADBC⊥,交BC延长线于点D.则2222222222()2ABADBDACCDBCCDACCDBCCDBCCD=+=−++=−+++22222A

CBCBCCDACBC=+++.即222cba+,与“222abc+”矛盾.故C为锐角,即ABC为锐角三角形.(2)设a,b,c分别是ABC的三条边,且abc,ABC为钝角三角形的充要条件是222abc+.证明如下:必要性:在ABC中,C为钝角,如图(2),显然:22

22222222()2ABADBDACCDCDCBACCDCDCBCDCB=+=−++=−+++22222ACCBCDCBACCB=+++.即222abc+.充分性:在ABC中,222abc+

,C不是直角,假设C为锐角,如图(1),则222222()ABADDBACCDCBCD=+=−+−2222222222ACCDCBCDCDCBACCBCDCBACCB=−++−=+−+.即222abc+,这

与“222abc+”矛盾,从而C必为钝角,即ABC为钝角三角形.