【文档说明】广东省河源市河源中学2024届高三上学期一调考试（9月）+数学+含解析.docx，共(15)页，1.129 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度上学期高三年级一调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合3213,xxx−−=Z（）A.(1,2]−B.{1,2}C.{0,1,2}D.{2,1,0,1,2}−−2.已知213m，则复数(3i)(2i)m+−−在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第

四象限3.若非零向量AB与AC满足0ABACBCABAC+=，且32ABACABAC=，则ABC△为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形4.“ab”的一个充分条件是（）A.e2a

b−B.ln0abC.ababD.11ab5.如图，在平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，若APxAByAD=+，则xy+=（）A.1B.43C.53D.26.已知为第三

象限角，5sin(2019)3−=−，则2sin2cos1++=（）A.45139+B.2C.54−D.139−7.已知2()|1|fxxx=++，不等式()(2)1fxmx+−恒成立，则实数m的取值范围是（）A.322,0−−B.322,322−−+C.22

1,221−−−D.4,221−−8.已知在等差数列na中，538a=，设函数2()4cos2sincos222xfxxx=−++，记()nnyfa=，则数列ny的前9项和为（）A.0B.10C.16D.18二、

选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知复数z，1z，2z，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.2||zzz=B.若||1

z=，则1z=C.1212zzzz=D.若|1|1z−=，则|1|z+的最小值为110.已知G是ABC△的重心，2AB=，4AC=，120CAB=，P是ABC△所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GAGBGC++=B.

AC在AB方向上的投影向量等于ABC.43GAGB=D.()APBPCP+的最小值为32−11.已知函数()2sin()fxx=+（0，0）的图象的一条对称轴为直线23x=，34f=，且()fx在区间

2,43上单调递减，则下列说法正确的是（）A.点7,012−是()fx的一个对称中心B.145=C.()fx在区间5,012−上单调递增D.16f−=−12.若1a，1b，且2eab=，则（）A.22ee1ab++B.0lnln

1abC.221lnlog2aab−+D.lnba的最大值为e第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知平面向量(2,4)a=−，(3,1)b=−，若ab−与b垂直，则实数

=__________.14.已知x，y，zR，2222xyz++=，则22xyz++的最大值为__________.15.已知关于x的方程22||0axxa−+=有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是__________.16.

已知正项数列na的前n项和为nS，若221nnnaSa=+，22lognnnSbS+=，数列nb的前n项和为nT，则下列结论正确的是__________.①1nnaa+；②2nS是等差数列；③1enn

S−；④满足3nT的n的最小正整数为10.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足13515aaa++=，749S=.（1）求na的通项公式；（2）若数列nb满足3nnnba=，

求nb的前n项和nT.18.（12分）①②（1）如图①，在ABC△中，AD为BC边上的高，2AEED=，3BAC=，3AB=，2AC=，求AECE的值；（2）如图②，半径为1，圆心角为32的圆弧AB上有一点C，若D，E分别为线段OA，OB的中点，当

C在圆弧AB上运动时，求CEDE的取值范围.19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆的交点为A，圆22:3Cxy+=与x轴正半轴的交点是0P.若圆C上一动点从0P开始，以rad/s的角速度逆时针做圆周运动，t秒

后到达点P.设2()ftAP=.（1）若3=且(0,2)t，求函数()ft的单调递增区间；（2）若123f=，536，求56f.20.（12分）某城市受空气污染影响严

重，现欲在该城市中心P的两侧建造A，B两个空气净化站（如图，A，P，B三点共线），A，B两站对该城市的净化度分别为a，1a−，其中(0,1)a.已知对该城市总净化效果为A，B两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度

成正比，与中心P到净化站之间的距离成反比.现已知1AB=，且当34AP=时，A站对该城市的净化效果为23a，B站对该城市的净化效果为1a−.（1）设APx=，(0,1)x，求A，B两站对该城市的总净化效果y；（2）无论A，B两站建在何处，若要求A

，B两站对该城市的总净化效果至少达到23，求a的取值范围.21.（12分）如图，已知在平面四边形ABCD中，ABAD⊥，BCCD⊥.在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.在①cos3cos2bCcB−=；②23ABC

SBABC=△；③tantan33tantanACAC++=这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并回答下列问题.（1）求B；（2）若2BD=，求ACD△周长的取值范围.22.（12分）已知数列na满足10a=，且11122

nnnnnaaaaa+++++=−+.数列nb满足11nnba=+，nb的前n项和为nS.（1）判断数列nb是否为等差数列，并求na的通项公式；（2）设数列1nS的前n项和为nT，证明：74nT.参考答案及解析2023-2024学年度上学期高三年

级一调考试·数学一、选择题1.C【解析】由3213x−−，可得12x−，又xZ，所以集合3213,{0,1,2}xxx−−=Z.2.A【解析】(3i)(2i)32(1)immm+−−=−++，因为213m，所以320m−，10

m+，所以复数(3i)(2i)m+−−在复平面内对应的点(32,1)mm−+位于第一象限.3.C【解析】因为0ABACBCABAC+=，所以内角A的角平分线与BC垂直，所以ABAC=，因为3cos2ABACAABAC==

，所以6A=，则ABC△是底边和腰不相等的等腰三角形.4.A【解析】由e2ab−，可得e1ab−，0ab−，ab，故e2ab−是ab的一个充分条件，故A正确；由ln0ab，可得1ab，不妨取2a=−，1b=−，推不出ab，故B错误；abab，不妨取2a=−，1b=−，满足11

4abab==−，推不出ab，故C错误；11ab，不妨取2a=−，1b=，满足11ab，推不出ab，故D错误.5.B【解析】因为在平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，所以2ADAPCMPC==，所以()

2233APACABAD==+.又APxAByAD=+，所以23xy==，43xy+=.6.A【解析】因为5sin(2019)3−=−，所以5sin3=−.又因为为第三象限角，所以2cos3=−，所以2225224513sin2cos12sin

coscos1213339+++=++=−−+−+=.7.D【解析】当10x+，即1x−时，2()1fxxx=++，所以()(2)1fxmx+−，即21(2)1xxmx+++−，即2(1)20xmx−

++，令2()(1)2gxxmx=−++，对称轴为直线12mx+=，当112m+−，即3m−时，()gx在区间[1,)−+上单调递增，所以min()(1)4gxgm=−=+，所以只要40m+即可，解得4m−，所以43m−−.当112m

+−，即3m−时，222min1(1)(1)(1)()222424mmmmgxg++++==−+=−+，所以只要2(1)204m+−+即可，解得122221m−−−，所以3221m−−.所以当1x−时，4221m

−−.当1x−时，2()1fxxx=−−，所以21(2)1xxmx−−+−，解得3xm+，所以只要31m+−即可，解得4m−.综上，4221m−−.8.D【解析】因为2()4cos2sincos222xfxxx=−++

2cossincos22xxx=++sin2cos222sin224xxx=++=++，由2()4xkk+=Z，得()28kxk=−Z.当1k=时，38x=，故函数()fx的图象关于点3,28对称，由等差中项的性质可得192837465

2aaaaaaaaa+=+=+=+=，所以数列ny的前9项和为()()()()12954418fafafafa+++=+=.二、选择题9.ACD【解析】设izab=+（a，bR），则222(i)(i)||zzabababz=+

−=+=，故A正确；令iz=，满足|||i|1z==，故B错误；设1izab=+（a，bR），2izcd=+（c，dR），则12(i)(i)()izzabcdacbdadbc=++=−++，所以2212()()zzacbdadbc=−++=22

22()()()()acbdadbc+++2222abdc=++12zz=，故C正确；设izab=+（a，bR），则2211i(1)1zabab−=−+=−+=，即22(1)1ab−+=，表示以(1

,0)为圆心，1为半径的圆，22|1|(1)zab+=++表示圆上的点到点(1,0)−的距离，故|1|z+的最小值为1，故D正确.10.ACD【解析】对于A，当点G为ABC△的重心时，如图所示，设BC中点为O，连接GO并延长至点D，使得GOOD=，连接BD，CD，易得四边形B

DCG为平行四边形，根据重心性质可得2AGGO=，则20GAGBGCGAGDGAGO++=+=+=，所以A正确；对于B，因为AC在AB方向上的投影为1cos120422AC=−=−，所以AC在

AB方向上的投影向量为BA，所以B错误；对于C，因为G是ABC△的重心，所以()()1133GBBABCBABAAC=−+=−++()123ABAC=−，()13AGABAC=+，所以()()129GBAGABACABAC=−+()22129ABABACAC=+

−11482416923=+−−=−，所以43GBGA=，所以C正确；对于D，如图，取BC的中点为D，连接AD，PD，PA，取AD中点M，连接PM，则2PAPDPM+=，()12ADABAC=+，()222112(4816)344ADABABACAC

=++=−+=，则()()APBPCPPAPBPC+=+()()221224PAPDPAPDPAPD==+−−222132222PMDAPM=−=−.显然当P，M重合时，20PM=，()AP

BPCP+取得最小值32−，所以D正确.11.AD【解析】因为()fx在区间2,43上单调递减，()fx关于直线23x=对称，所以当23x=时，()fx取得最小值，222sin233f=+=−，所以232()3

2kk+=+Z①，且2523412T−=，可得56T，所以1205，因为34f=，所以3sin42+=，且4和23在同一个单调递减区间，所以22()43kk+=+

Z②，①②两式相减可得55126=，所以2=，所以2()6kk=+Z，因为0，所以6=，所以()2sin26fxx=+.对于A，由72()126kk−+=Z，可得1k=−，所以点7,012−是()fx的一个对

称中心，故选项A正确；对于B，2=，故选项B不正确；对于C，令222()262kxkk−+++Z，得()36kxkk−++Z，所以()fx在区间,03−上单调递

增，在区间5,123−−上单调递减，故选项C不正确；对于D，2sin2sin16366f−=−+=−=−，故选项D正确.12.ABD【解析】对于A，因为2eabaa+=+在1ea时单调递减，在2eea时单调递增，所

以22ee1ab++，选项A正确；对于B，因为2eab=，所以lnln2ab+=，所以2lnln0lnln12abab+=，当且仅当eab==时，等号成立，选项B正确；对于C，ln2ln2lnloglnlnln1lnlnlnabaabaaa

aaa−+=+=+=+−，设ln(0,2)ta=，所以2()1ttt=+−在02t时单调递减，在22t时单调递增，所以)2()1221,ttt=+−−+，选项C错误；对于D，设lnba=，所以lnlnlnlnln1baba==，所以e，当且仅当eab==时等号成立，

选项D正确.三、填空题13.1【解析】因为ab−与b垂直，所以()0abb−=，即20abb−=，即64100+−=，解得1=.14.32【解析】由柯西不等式得()()2222222122(22)xyzxyz++++++，则2(22)2918xyz++=，

所以2232xyz++，当且仅当2yzx==时，等号成立，所以22xyz++的最大值为32.15.(0,1)【解析】由题意可知关于x的方程22||0axxa−+=有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：①当0a=时，方程22||0axxa−+=

，即2||0x−=，解得0x=，不满足题意，舍去；②当0a时，且0x时，方程22||0axxa−+=，即220axxa−+=，此方程有两个正根，即21212440,20,10,axxaxx=−

+==解得01a；③当0a时，且0x时，方程22||0axxa−+=，即220axxa++=，此方程有两个负根，即21212440,20,10,axxaxx=−+=−=解得01a.由①②③可知，实数a的取值范围是01aa.16.②③④【解析】

因为221nnnaSa=+，当1n=时，211121aSa=+，解得11S=，当2n时，1nnnaSS−=−，所以()()21121nnnnnSSSSS−−−=+−，整理得2211nnSS−−=，所以数列2nS是首项为211S=，公差为1的等差数列，故②正确.21(1)1

nSnn=+−=，又正项数列na的前n项和为nS，所以nSn=，当1n=时，11S=，当2n时，1nnnaSS−=−，即1nann=−−，又当1n=时，满足1nann=−−，所以111nannn

n=−−=+−，又1111nannnn+=+−=++，因为11nnnn+++−，所以1111nnnn+++−，即1nnaa+，故①不正确；令()e1(0)xfxxx=−−，()e1xfx=−，当0x时，e10x−恒成立，所以()fx在区间[0,)+上单调

递增，所以()(0)0fxf=，即e10(0)xxx−−，所以e1xx+在[0,)x+上恒成立，令1xn=−（1n，*nN），所以1enn−，又nSn=，故1ennS−，故③正确；对于④，因为nSn=，所以22nSn+=+，所以2222loglognnnSn

bSn++==1222212loglog2nnnn++==221log(2)log2nn=+−，所以1221nnnTbbbbb−=+++++22222222221log3log1log4log2log5log3log(1)log(1)log(2)lo

g2nnnn=−+−+−+++−−++−2211log(1)log(2)2nn=−++++211log(1)(2)2nn=−+++，因为3nT，即211log(1)(2)32nn−+++，化简整理

得231260nn+−，当9n=时，2939126180+−=−；当10n=时，21031012640+−=，所以满足3nT的n的最小正整数为10，故④正确.四、解答题17.解：（1）因为13515aaa++=，749S=，所以113615

,72149,adad+=+=所以1a=，2d=，所以1(1)221nann=+−=−.（2）由题意可知(21)3nnbn=−，所以23133353(21)3nnTn=++++−①，23

413133353(21)3nnTn+=++++−②，①-②得，234121323232323(21)3nnnTn+−=+++++−−21123233(21)313nnn++−=+−−−1(22)36n

n+=−+−，故1(1)33nnTn+=−+.18.解：（1）因为2AEED=，所以23AEAD=，13EDAD=，所以()229AECEAECDDEAECDAEDEAEDEAD=+=+==−，又3BAC=，3AB=，2AC=，故由余弦定

理可得2222cos7BCABACABACBAC=+−=，则7BC=，又13323sin232ABCS==△，所以133722AD=，所以3217AD=，所以222921699777AECEAD=−=−=−.（2）以O为原点

，OA为x轴，OB反方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,02D，10,2E−，设(cos,sin)C，30,2，则1cos,sin2CE=−

−−，11,22DE=−−，所以11121sincossin422244CEDE=++=++，因为30,2，则7444+，所以sin[1,1]4+−

，所以2121,2424CEDE−++.19.解：由已知条件和三角函数的定义，可知(cos,sin)A，()3cos,3sinPtt，所以()()222()||cos3cossin3sin423cos()ftAPttt==−+−=−−.（1）若3

=，则()423cos3ftt=−−，令223ktk−+，kZ，解得142233ktk++，kZ，又(0,2)t，所以函数()ft的单调递增区间为14,33.（2）若142

3cos233f=−−=，可得3cos33−=，因为536，所以023−−，故26sin1cos333−=−−−=−，所

以55423cos66f=−−423cos23=−+−423sin3=+−64233=+−422=−.故54226f=−.20.解：（1）设A站对P城市产，以的净化效果为1y，比例系数为1k，则11kay

x=.当34x=时，123ay=，即12334kaa=，所以112k=.设B站对P城市的净化效果为2y，比例系数为2k，则2211aykx−=−，由34x=，21ya=−，得211314aak−−=−，所以214k=

，所以A，B两站对该城市的总净化效果12124(1)aayyyxx−=+=+−，(0,1)x.（2）由题意得23y对(0,1)x恒成立，所以只要当(0,1)x时，min23y即可.又1121[(1)]24(1)41aaaaxxxxxx−−+=++−−−12(1)(

1)141axaxaxx−−=+++−12(1)(1)1241axaxaxx−−++−()1122(1)4aaa=++−，当且仅当2(1)(1)1axaxxx−−=−，即1112axa−=+时等号

成立，则min1(122(1))4yaaa=++−，令12(122(1))43aaa++−，即62(1)53aaa−−，(0,1)a，则281102250aa−+，解得125327a.综上，无论A，B两站建在何处，若要求A，B两站对P城市

的总净化效果至少达到23，a的取值范围为125,327.21.解：（1）选择①：cos3cos2bCcB−=，即sin3cosbCcB=，由正弦定理得sinsin3sincosB

CCB=，在ABC△中，(0,)C，所以sin0C，所以sin3cosBB=，又(0,)B，且sin0B，cos0B，所以tan3B=，所以3B=.选择②：23ABCSBABC=△，即12sin3cos2acBcaB=，即sin3cosBB=.在ABC

△中，(0,)B，且sin0B，cos0B，所以tan3B=，所以3B=.选择③：tantan33tantanACAC++=，即tantan3(tantan1)ACAC+=−，所以tantantantan()31ta

ntanACBACAC+=−+=−=−.在ABC△中，因为(0,)B，所以3B=.（2）因为ABAD⊥，BCCD⊥，所以A，B，C，D四点共圆，BD为直径，因为2BD=，所以ACD△的外接圆直径为2，由

（1）知3ABC=，所以23ADC=，在ACD△中，由正弦定理得sinACBDADC=，所以2sin2sin33ACBDADC===，设ABD=，0,3.在RtABD△中，sin2sinADBD==，在RtBCD△中，sin2sin33CDBD

=−=−，所以2sin2sin32sin333ACDCADCDAC=++=+−+=++△.因为0,3，所以2,333+，所以3sin,132+

，所以ACD△的周长的取值范围为(23,23+.22.（1）解：因为11122nnnnnaaaaa+++++=−+，所以1131122nnnnaaaa++=−−−，则111111111nnnnnnnnaaaaaa

aa++++−−==+++++1121122nnnnaaaa++−=−，所以12nnbb+−=，又10a=，所以11111ba==+，故数列nb是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21nbnn=+−=−，1122112121nnnabnn−=−=−=−−.（2）

证明：由（1）可得2nSn=，所以211nSn=.当1n=时，11714S=.当2n时，22111112111nnnn=−−+−，所以1231111nnTSSSS=++++111111111111232435211nnnn+−+−

+−++−+−−−+111111221nn=++−−+711174214nn=−++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com