【文档说明】【精准解析】百师联盟全国2019届高三冲刺考（二）全国卷数学（文）试卷.doc，共(22)页，1.838 MB，由小赞的店铺上传

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-1-百师联盟2019届全国高三冲刺考（二）全国卷文科数学试卷本试题卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2

．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一

项符合题目要求．1.设全集,{|1},{|03}URMxxNxx===…，则()()UUMN痧等于（）A.{|3}xxB.{|1}xxC.{|0}xxD.{|1xx或3}x【答案】D【解析】【分析】根据全集,{|1},{|03}URMxxNxx===…，先求得()(),UUM

N痧，再求()()UUMN痧.【详解】|1,|0uuMxxNxx==痧或3x，|1uuMNxx=痧或3x，故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.3sin,sin205=，则ta

n2的值为（）A.12B.12−C.13D.3【答案】D-2-【解析】【分析】根据3sin,sin205=，利用倍角公式和平方关系求得cos，再利用1costan2sin−=求解.【详解】3sin0,sin22sincos05==4cos05=−411c

os5tan332sin5+−===故选：D.【点睛】本题主要考查倍角和半角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3.已知12x，则下列各式正确的是（）A.3122logxxxB.3122logxxxC.3122logxxxD.312log2xxx【

答案】B【解析】【分析】根据12x，由正负排除部分选项，再作出32,xyyx==的图象确定结论.【详解】1212,log0xx而30,20xx，故排除A，D作出32,xyyx==的图象，如图所示：-3-可得12x时，32xx，所以3122logxxx

，故选：B【点睛】本题主要考查指数，对数，幂比较大小，还考查了数形结合的思想，属于中档题.4.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A.110B.15C.310D.112【答

案】C【解析】【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.【详解】从五个球中任取两个，共有2510C=种取法，其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是310，故选C.【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，

首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn=求得概率.5.设4a=，3b=，夹角为60，则ab+等于（）A.37B.13C.37D.13【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由222

(2)+=+=++ababaabb，即可求出结果.【详解】解：∵4a=，3b=，夹角为60，∴222(2)+=+=++ababaabb-4-16243cos60937=++=∴37+=ab．故选：C．

【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型.6.设变量,xy满足条件*3210411,xyxyxy++N„，则54zxy=+的最大值为（）A.13B.14C.1185D.119【答案】B【

解析】【分析】先根据变量xy，满足条件*3210411xyxyxyN++，„，画可行域，将54zxy=+变形为544zyx=−+，平移直线54yx=−，使得直线在y轴上的截距最大时的整点，即为最优点再求解.【详解】由变量xy，满足条件*3210411x

yxyxyN++，„，画可行域如图所示A,B两点，将54zxy=+变形为544zyx=−+，平移直线54yx=−，在过整点()21B，时，直线在y轴上的截距最大，此时，目标函数取得最大值，最大值为14.-5-故选：B

.【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.7.在ABC中，90BAC=，2ABAC==，2BCBD=，3ACAE=，则ADBE的值为（）A.43−B.13−C.13D.4

3【答案】A【解析】【分析】先通过平面向量基本定理，将,ADBE，用基底(),ABAC表示，再求解.【详解】()1123ADABACBEAEABACAB=+=−=−，，∴()221111423233ADBEABACACABACA

B=+−=−=−），故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在长方体1111ABCDABCD−中，1BC和1CD与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线1BC

和1CD所成角的余弦值为（）A.64−B.64C.63D.63−【答案】B【解析】【分析】-6-设111BC=，连接11AC，1AD，则11//ADBC，11ADC即为所求的角，再根据1BC和1CD与底面所成角分别为60°和45°，求得1111,,ADACCD，再利用余弦定

理求解.【详解】如图，设111BC=，连接11AC，1AD，所以11//ADBC，所以11ADC即为所求的角，在11RtCCB△中，111tan60CCBC=，∴1132CCBC==，，∴113CD=，∴11ACD中，1111226ACADCD===，，，∴由余弦定

理：2221111114646cos24226ADCDACADCD++−+−===.故选：B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角和异面直线所成的角，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.

数列na的通项公式为21nan=+，其前n项和是nS，那么数列nSn的前10项和是（）A.120B.70C.75D.100【答案】C【解析】试题分析：()()()123321357212

2nnnnSaaaannn++=++++=++++==+，-7-2nSnn=+.()31012103123571275123102SSSS+++++=++++==.故C正确.考点：等差数列的前n项和公式.10.

已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2222cos2cababC++，则C的可能取值为（）A.56B.2C.3D.6【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理结合2222cos2cababC++，

得到22222cos2cos2ababCababC+−++，即22coscos10CC+−求解.【详解】根据余弦定理得：2222coscababC=+−，已知不等式化为：22222cos2cos2ababCaba

bC+−++，整理得：cos2cos0CC+，即22coscos10CC+−，因式分解得：()()2cos1cos10CC−+，解得：1cos2C或cos1C−（舍去），∴1cos2C，由

C为三角形的内角，则C的取值范围是03，.则C的可能取值为6.故选：D.【点睛】本题主要考查余弦定理和有关三角函数的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知双曲

线22221(0,0)xyabab−=，(c,0)F为右焦点，(,0),(0,),(0,)AaBbBb−.若BFBA⊥，则双曲线的离心率为（）-8-A.512−B.233C.512+D.51+【答案】C【解析】【分析】根据()()()000AaBbBb−，，，，，，表示直线BF和直线A

B的斜率，再根据BFBA⊥∴建立,,abc的方程求解.【详解】直线BF的斜率00BFbbKcc−==−−，直线AB的斜率00ABbbKaa−−==−，∵BFBA⊥∴1BFABKK=−，∴1bbca−=−，∴21bac=，又∵222c

ab=+，∴221caac−=.∴21ccaa−=∴210ee−−=，解得152e=，又∵1e，∴512e+=.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.设函数1()fxx=，gxxbx2()=−+.若

()yfx=的图象与()ygx=的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)AxyBxy，则下列判断正确的是A.12120,0xxyy++B.12120,0xxyy++-9-C.12120,0xxyy++D.12120,0xxyy++【答案】

B【解析】【详解】设32()1Fxxbx=−+，则方程()0Fx=与()()fxgx=同解，故其有且仅有两个不同零点12,xx.由()0Fx=得0x=或23xb=.这样，必须且只须(0)0F=或2()03Fb=，因为(0)1F=，故必有2()03Fb=由此得3322

b=.不妨设12xx，则32223xb==.所以231()()(2)Fxxxx=−−，比较系数得3141x−=，故31122x=−.3121202xx+=，由此知12121212110xxyyxxxx++=+=，故答案为B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.右图是根据

部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[2

5.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【答案】9【解析】【思路点拨】本题考查频率分布直方图,关键是抓住纵轴表示的是.:解：最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城

市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9.-10-14.曲线3()2fxxx=+−在0P处的切线平行于直线41yx=−，则0P点的坐标为.【答案】()1,0或()1,4−−【解析】函数

求导，2'31yx=+，令20'314yx=+=，解得01x=，当01x=，1120y=+−=，0(1,0)P；当01,1124xy=−=−−−=−，0(1,4)P−−.综上：P0坐标为（1,0）或（-1，-4）.点睛：求曲线的切线

方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)Pxy及斜率，其求法为：设00(,)Pxy是曲线()yfx=上的一点，则以P的切点的切线方程为：000'()()yyfxxx−=−．若曲线()yfx=

在点00(,())Pxfx的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx=．15.一个边长为2m，宽1m的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为________．【答案】26

5m【解析】【分析】由几何概型的概率公式求解即可.【详解】由几何概型的概率计算公式可知，=会标的面积落在会标区域内豆粒数长方形的面积总豆粒数，所以会标的面积约为260205106m=．故答案为：265m【点睛】本

题主要考查了几何概型的应用，属于中档题.16.给出下列四个命题：①函数2sin26yx=−的图像的一条对称轴是直线3x=；②若命题p：“存在2,10xRxx−−”，则命题p的否定为：

“对任意-11-2,10xRxx−−„”；③若0x，则12xx+…；④“1a=”是“直线0xay−=与直线0xay+=互相垂直”的充要条件．其中正确命题的序号为_________．【答案】①，②【解析】【

分析】根据正弦函数的对称轴判断①；由否定的定义判断②；举反例判断③；由充分条件和必要条件的定义判断④.【详解】①正确，令2,62xkkZ−=+，则,23kxkZ=+，故函数2sin26yx=−的图像的

一条对称轴是直线3x=；②正确，由命题的否定的定义得，命题p的否定为“对任意2,10xRxx−−„”③错误，当1x=−时，有12xx+=−；④错误，当1a=时，直线0xay−=与直线0xay+=互相垂直当1a=−时，直线0xay−=与直线0xay+=也互相垂直故1

a=是两直线互相垂直的充分不必要条件．故答案为①②【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了正弦型函数的对称轴，充分条件和必要条件的判断，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设向量()cos23,cos67a=，()cos68,cos22b=，()uatbt=+R.（1）求ab；-12-（2）求以,ab为邻边的平行四边形的面积；（3）求u的模的最小值.【

答案】（1）22；（2）22；（3）22【解析】【分析】（1）根据()()cos23sin23cos68sin68ab==，，，，利用数量积的坐标运算求解、（2）将以ab，为邻边的平行四边形的面积，转化为两个三角形面积利用正弦定理求

解.（3）根据()()222222uatbatbtab=+=++求解.【详解】（1）()()cos23sin23cos68sin68ab==，，，.2cos23cos68sin23sin68cos452ab=+==.（2）∵22cos23sin231a

=+=，22cos68sin681b=+=，又∵22ab=从而2cos2|ababab==，，∴以ab，为邻边的平行四边形的面积22sin1122Sabab===，.（3）22

2cos23sin231a=+=，222cos68sin681b=+=，∴()()222222uatbatbtab=+=++，22211222ttt=++=++，∴当22t=−时，min2||2u=.【点睛】本题主要考查

平面向量的数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.-13-18.如图，直三棱柱111ABCABC−中，,,EFG分别为111,,BCCCAC的中点．（1）求证：//EF平面1ABG；（2）若1,2ABBCACAA==，求证：11ACAB⊥．【答案】（1）证明见

解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连结1AB交1AB于点O，连结OG，利用线面平行的判定定理，结合中位线定理，即可//EF平面1ABG；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可.【详解】解

：（1）连结1AB交1AB于点O，连结OG．在1BAC△中，因为,GO分别为1,ACAB中点，所以1OGBC∥；因为,EF分别为111,BCCC的中点，故1EFBC∥，则OGEF∥又因为OG平面1,ABGEF平面1ABG所以//EF平面1ABG．（2）取1

1AC的中点为H，直三棱柱111ABCABC−，则1AA⊥底面ABC因为1//AAHG，所以HG⊥平面ABC-14-,ACGB平面ABC，,HGACHGBG⊥⊥,ABBCACBG=⊥故以点G为坐标原点，建立

如下图所示的空间直角坐标系不妨设12AAa=，BGb=，则2AGa=(0,2,0)Aa−，1(0,2,2)Caa，1(0,2,2)Aaa−，(,0,0)Bb1(0,22,2)ACaa=，1(,2,2)ABbaa=−1602222(2

)0ACABaaaa=++−=11ACAB⊥．【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及线线垂直，属于中档题.19.已知函数())22,1,xxafxxx++=+．（1）当12a=时，求函数()fx的最小值；（2）若对任意)1,x+，

()0fx恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】（1）72（2）3a−【解析】【分析】（1）由题得()122fxxx=++，再利用对勾函数的性质得到函数()fx的最小值；（2）等价于-15-22yxxa=++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】（1）当12a=时，()12

2fxxx=++，∵()fx在区间)1,+上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()fx在区间)1,+上的最小值为()712f=.（2）在区间)1,+上，()220xxafxx++=恒成立220xxa++

恒成立．设22yxxa=++，)1,x+，因为()222+a=11yxxxa=+++−在)1,+上递增，∴当1x=时，min3ya=+，于是，当且仅当min30ya=+时，函数()0fx恒成立，故3a−.【点睛】本题主要考查对勾函数的性

质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.设nS是数列na的前n项和，且满足()*(3)23nnpSpapn−+=+N，其中p为常数，且3p−．（1）求证：na是等比数列；（2）若na的公比()qfp=，数列nb满足()

1113,(2)2nnbabfbn−==…．求证：1nb是等差数列，并求nb的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；()*32nbnn=+N【解析】【分析】（1）利用前n项和与通项的关系，结合等比数列的定义证明即可；（2）利用（1）得出

113223nnnbbb−−=+，化简得到1111(2)3nnnbb−−=…，由等差数列的定义，-16-即可证明1nb是等差数列，以及得出nb的通项公式．【详解】解：（1）证明：1n=时11(3)23pSpap

−+=+∴11a=2n…时，(3)23nnpSpap−+=+，得11(3)23nnpSpap−−−+=+两式相减得1(3)220nnnpapapa−−+−=即12(3,2)3nnappnap−=−+…为常数∴na是以1为首项，23pp+为

公比的等比数列（2）解：由（1）知2()3pqfpp==+∴113223nnnbbb−−=+∴1111(2)3nnnbb−−=…由111ba==知1nb是以首项1，13为公差的等差数列∴111(1)3nnb=

+−∴()*32nbnn=+N【点睛】本题主要考查了利用定义证明等差，等比数列，属于中档题.21.椭圆的中心在原点，其左焦点1F与抛物线24yx=−的焦点重合，过1F的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物

线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，||22||CDAB=．（1）求椭圆的方程；（2）求22FAFB的最大值和最小值．-17-【答案】（1）2212xy+=（2）最大值72；最小值1−【解析】【分析】（1

）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F−，联立抛物线方程与直线l的方程，得出(1,2),(1,2)CD−−−，根据对称性以及||22||CDAB=，得出122FA=，从而得出21,2A−，代入椭圆方程，根据椭圆的性质得出椭圆的方程；

（2）讨论直线l与x轴是否垂直，当直线l与x轴不垂直时，设出直线l方程，并与椭圆联立，利用韦达定理以及向量的数量积公式，化简得出()222792212FAFBk=−+，再求最值，即可得出结论.【详解】解：

（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F−．设椭圆的方程：22221(0)xyabab+=．解方程组241yxx=−=−得(1,2),(1,2)CD−−−．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴11||22

||FCCDFAAB==，122FA=，∴21,2A−．∴221112ab+=又2221abc−==，因此，2211112bb+=+，解得21b=，并推得22a=．故椭圆的方程为2212

xy+=．（2）由（1）知，12(1,0),(1,0)FF−①若AB垂直于x轴，则221,,1,22AB−−−，-18-∴222222172,,2,,42222FAFBFAFB=−=

−−=−=②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为(1)ykx=+由22(1)220ykxxy=++−=得()()2222124210kxkxk+++−=∵2880k=+，∴方程有两

个不等的实数根．设()()1122,,,AxyBxy．()22121222214,1212kkxxxxkk−+=−=++∴()()2112221,,1,FAxyFBxy=−=−()()()()()()22212121

212111111FAFBxxyyxxkxx=−−+=−−+++()()()2221212111kxxkxxk=++−+++()()()22222222141111212kkkkkkk−=++−−++++()22271

79122212kkk−==−++22210,121,0112kkk++厖?，则2271,2FAFb−综上，2271,2FAFb−所以当直线l垂于x轴时，22FAFB取得最大值72当直线l与x轴重合时，

22FAFB取得最小值1−【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及已知直线与椭圆的位置关系求最值，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】-19-22.在直角坐标系中，曲线1C的参数方程

为2cos(22sinxy==+为参数)M是曲线1C上的动点，点P满足2OPOM=.（1）求点P的轨迹方程2C；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3=与曲线12,CC交于不同于原点的点,AB求AB.【答案】

（1）4cos44sinxy==+()为参数；（2）23.【解析】【分析】(1)先设出点P的坐标,然后根据点P满足的条件代入曲线1C的方程即可求出曲线2C的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C的极坐标方程,分

别求出射线3=与1C的交点A的极径为1,以及射线3=与2C的交点B的极径为2,最后根据21||AB=−求出所求.【详解】（1）设(),Pxy,则由条件知,22xyM.由于M点在1C上,所以2cos2()22sin2xy==+为参数即4cos44si

nxy==+()为参数从而2C的参数方程为4cos44sinxy==+()为参数.(2)曲线1C的极坐标方程为4sin=,曲线2C的极坐标方程为8sin=.射线3=与1C的交

点A的极径为14sin3=,射线3=与2C的交点B的极径为28sin3=.所以21||23AB=−=.-20-【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程

的关系与其他知识的联系，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】23.设函数()3fxxax=−+，其中0a.（1）当1a=时，求不等式()32fxx+的解集；（2）若不等式()0fx的解集为1xx

−，求a的值.【答案】（1）3xx或1x−；（2）2a=.【解析】【分析】（1）把1a=代入()fx即可求解；（2）解不等式()0fx，得2ax−，由题意12a−=−，即求a的值.【详解】（1）当1a=时，()13fx

xx=−+.不等式()32fxx+即为12,12xx−−或12x−−，3x或1x−.所以不等式()32fxx+的解集为3xx或1x−.（2）由()0fx得30xax−+，等价于不等式组30xaxax

−+或30xaaxx−+，即4xaax或2xaax−，0,2aax−.不等式()0fx的解集为2axx−，-21-又不等式()0f

x的解集为1xx−，1,22aa−=−=.【点睛】本题考查绝对值不等式，属于基础题.-22-