【文档说明】【精准解析】陕西省榆林市2020届高三下学期第四次高考模拟数学（文）试题.doc，共(21)页，1.786 MB，由小赞的店铺上传

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榆林市2020届高考模拟第四次测试数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合|2xAyy==，|Byyx==，则（

）A.AB=B.ABC.ABD.AB=【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和幂函数性质确定集合,AB，然后再由集合的关系判断．【详解】()|20,xAyy===+，)|0,Byyx==

=+，∴AB，故选：C.【点睛】本题考查集合的关系，考查指数函数和幂函数的性质．属于基础题．2.若复数243izi−=−，则z=（）A.1i−+B.1i−−C.1i−D.1i+【答案】D【解析】【分析】由复数的除

法运算求得z后可得其共轭复数．【详解】()()()()243241010133310iiiiziiii−+−−====−−−+，1zi=+，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概率，属于基础题．3.已知1512a=

，1535b=−，121log3c=，则（）A.bacB.cbaC.bcaD.abc【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较大小．【详解】10

5110122=，15305−，1221loglog313=，∴bac，故选：A．【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题关键是掌握指数函数与对数函数的性质，比较大小时对不同类型的数可借助中间值0，1等进行比

较．4.若函数()13fxaxx=−的图象在1x=处的切线与直线04=+yx垂直，则a=（）A.1−B.1C.712−D.53−【答案】D【解析】【分析】求出导数，由斜率乘积为1−可得a值．【详解】()13fxaxx=−，()213f

xax=−−，∴()1134fa=−−=，∴53a=−，故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的关系，函数()fx在0x处的导数0()fx是其图象在00(,())xfx处切线的斜率．5.港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠

海和澳门的桥隊工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩矩．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单

位：分钟）都在[35，50）内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A.280B.260C.250D.200【答案】D【解析】【分

析】根据频率分布直方图可知通行时间在[38，47）的频率为0.91，根据频率的概念即可求出结果.【详解】由题意可知，通行时间在[38，47）的频率为()10.010.0230.91−+=，所以1820.91n=，所以200n=.故选：D.【点睛

】本题主要考查了频率分布直方图和频率的概念，属于基础题.6.已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2a=，且满足()()2223acbac+=++，则AB边上的高为（）A.1B.12C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由余弦

定理求得B角后，易求得高．【详解】∵()()2223acbac+=++，∴2223acbac+−=，即：3cos2B=，6B=，AB边上的高为sin1aB=，故选：A.【点睛】本题考查余弦定理，属于基础题．7.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机

构运动学家勒洛（1829—1905）首先发现的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．若在勒洛三角形内部随机取一点，

则此点取自等边三角形外部的概率为（）A.()3323−−B.()23323−−C.23323−−D.2323−−【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式和三角形面积公式求得勒洛三角形的面积，再求得勒洛三角形在等边三角形外部的面积，然后可得概率．【详解】设等边三角形的边

长为2，则勒洛三角形的面积为22213322322232344S=−+=−，勒洛三角形中等边三角形外部的面积为2231232232343−=−，∴()23323P−=−

，故选：B.【点睛】本题考查几何概型，解题关键是求出勒洛三角形的面积．8.已知定义域为R的函数()fx满足()()fxfx−=−，(2)()fxfx+=−，且当02x时，28l)2og(fxxx=−，则()47f=()A.﹣1B.﹣

2C.0D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知()fx是以4为周期的奇函数，再根据()()()()47412111ffff=−=−=−，由此即可求出结果．【详解】因为定义域为R的函数()fx满足()()()(),2fxfxfxfx−

=−+=−，所以()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx是以4为周期的奇函数，所以()()()()474121112ffff=−=−=−=−．故选：B．【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性以及函数值的求法，考查运

算求解能力，是基础题．9.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m，n的值分别为779，209，则输出的m＝（）A.17B.18C.19D.20【答案】

C【解析】【分析】按照程序框图逐步计算.【详解】方法一：运行情况如下：执行次数mnr1779209152220915257315257384573819538190所以输出的19m=.方法二：易知该程序是求两数的最

大公约数，而779和209的最大公约数是19,.故选：C【点睛】本题考查程序框图，属于基础题.10.在三棱锥P﹣ABC中，已知△ABC是边长为6的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝12，则AB与平面P

BC所成角的余弦值为（）A.25719B.5738C.13319D.13338【答案】C【解析】【分析】利用等体积法求出点A到平面PBC的距离，从而可以求出AB与平面PBC所成角的正弦值，再利用同角三角函数的关系求出余弦值.【详解】解：因为PA⊥平面ABC，

所以,PAABPAAC⊥⊥，因为△ABC是边长为6的等边三角形，PA＝12，所以2261265PBPC==+=,所以2216(65)331712PBCS=−=V，设A到平面PBC的距离为d，因为PABCAPBCVV−−=，所以1133ABCPBCSPASd=VV，所以

33612=31714d，解得3657d=，设AB与平面PBC所成角为，则36657sin657dAB===，所以2267133cos1sin1()191957=−=−==，故选：C【点睛】此题考查了线面角，利用了等体积法，属于基础题.11.如图是函数(x)Asin(x)f=

+0002Apwj>><<(，，)的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数2()1232gxsinxcosxsinx=-﹣的图象（）A.向左平移4个单位长度B.向右平移4个单位长度C.向左平移2个单位长度D.向右平移2个单位长度【答案】B【解析】

【分析】先由图用711234T−=求出，由()03f=求出,由(0)3f=求出3A=,得到()3sin(2)3fxx=+；运用二倍角公式和辅助角公式化简5()2sin(2)6gxxp=+利用三角函数图象平移性质得解.【详解】如图知:,711234T−=，2Tppw\==,又

02=()()sin2fxAx=+()03f=,2sin()03A+=02解得：3=()sin(2)3fxAx=+又(0)3f=,sin=33A，=2A，()2sin(2)3fxx=+2()1232=c

os2322cos(2)3gxsinxcosxsinxxsinxxp-=+=-﹣52sin(2+)=2sin(2)326xxppp=++由三角函数图象平移性质得5552sin(2)=2sin[2()]2sin(2)2sin(2)()64

6263xxxxfxpppppp+-+=-+=+=(技巧：由三角函数图象平移性质得5(2)(2)3624xx+−+=−)所以()gx函数向右平移4个单位长度得到()fx.故选：B【点睛】本题考查由图象求函数(=)+yAsinx的解析式.确定()=++(0)

0yAsinxbAwjw>>，的步骤和方法:(1)求Ab，：确定函数的最大值M和最小值m，则2MmA-=，2Mmb+=；(2)求：确定函数的周期T，则可2Tpw得＝；(3)求：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代

入(此时Abw，，已知)或代入图象与直线yb＝的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．12.已知双曲线()2222:10,0xyWabab

−=的右焦点F，过原点的直线l与双曲线W的左、右两支分别交于A、B两点，以AB为直径的圆过点F，延长BF交右支于C点，若2CFFB=，则双曲线W的渐近线方程是（）A.223yx=B.324yx=C.22yx=D.3yx=【答案】

A【解析】【分析】作出图形，设双曲线W的左焦点为点F，连接CF、AF，设BFm=，则2CFm=，利用双曲线的定义及勾股定理求得23am=，进而可得出23aBF=，83aBF=，然后利用勾股定理可求得22ca的值，进而可求得2

2ba的值，由此可求得双曲线W的渐近线方程.【详解】如下图所示，设双曲线W的左焦点为点F，连接CF、AF，设BFm=，则2CFm=，由双曲线的定义可得2BFam=+，22CFam=+，由于以AB为直径的圆经过点F，且O

AOB=、OFOF=，则四边形AFBF为矩形，在RtBCF△中，有勾股定理得222CFBCBF=+，即()()2222292ammam+=++，解得23ma=，23aBF=，83aBF=，由勾股定理得222BFBFFF+=，即226849ac=，22179ca=，所以，222

2222819bcacaaa−==−=，则223ba=.因此，双曲线W的渐近线方程是223yx=.故选：A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

．13.抛物线2yax=的准线方程为12x=，则a=______．【答案】-2【解析】【分析】根据抛物线的准线方程公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值.【详解】∵抛物线2yax=的准线方程为12x=，∴142ax=−=，解得

：2a=−，故答案为：2−.【点睛】此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的准线方程公式是解本题的关键，属于基础题.14.已知(2,3)AB=，(1,4)AC=−，则ABBC=_____．【答案】23−【解析】【分析】本题首先可

根据题意得出()1,7BC=−−，然后根据向量数量积的坐标表示即可得出结果.【详解】因为(2,3)AB=，(1,4)AC=−，所以()1,7BCACAB=−=−−，则()127323ABBC=−+−=−，故答案为：

23−.【点睛】本题考查向量减法的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，若向量11(,)axy=，22(,)bxy=，则1212abxxyy=+，考查计算能力，是简单题.15.若实数x，y满足约束条件3043030xyxyxy−−−++−„„，则2zxy

=−的最大值为_____．【答案】8【解析】【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析画出直线x﹣2y=0，通过平移直线求出目标函数的最大值.【详解】解：不等式组表示的区域如图所示，由2zxy=−得1122yxz=−，作出直线12

yx=，向下平移直线12yx=经过点A时，截距最小而z最大，由30430xyxy−−=−+=得25xy=−=−，所以(2,5)A−−，所以2zxy=−的最大值为22(5)8−−−=故答案为：8【点睛】此题考查了线性规划的应用，利用了数形结合，通过图像平移求

出目标函数的最值，属于基础题.16.如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为_____，在满足前面条件且圆柱外

接球表面积最小时，它的外接球体积为_____．【答案】(1).8π(2).323【解析】【分析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为r，高为h，则可得28rh=，由公式可得圆柱的侧面积；（2）

设圆柱的外接球的半径为R，依题得()()22222Rrh=+，由基本不等式可知外接球表面积最小时2R=，从而可求出外接球的体积.【详解】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为r，高为h，则可得28rh=，所以圆柱的侧面积为28

rh=；（2）设圆柱的外接球的半径为R，依题得()()22222Rrh=+，所以外接球的表面积()222224424416SRrhrhrh==+==，当且仅当2rh=时，S最小，此时

2R=，外接球的体积343233VR==.故答案为：（1）8π；（2）323【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积，基本不等式的应用，球的表面积与体积的计算，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，考查了学生的直观想象与运算求解能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列na的前n项和为nS，且23nnSa=−．（1）求na的通项公式

；（2）设()213nnnba−=，求数列nb的前n项和为nT．【答案】（1）132nna−=；（2）()1224nnTn+=−+．【解析】【分析】（1）利用11nnnaSS++=−可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式；（2）由（1）得nb，用错位相减法求和．【详解】（1）∵23n

nSa=−，∴1123nnSa++=−，∴11122nnnnnaSSaa+++=−=−，即：12nnaa+=，又∵1123Sa=−，∴13a=，∴na是以3为首项，2为公比的等比数列，∴132nna−=；（2）()()21123nnnnban−==−．()()1

2310212222212nnnSnn−=+++−+−，()()234120212222212nnnSnn+=++++−+−，两式相减得：()2311222212nnnnSn−+−=++++−−()()21112

21242212nnnnn+++−=−−=−+−−，∴()1224nnSn+=−+．【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，在已知前n项和nS与na关系时常常利用1(2)nnnaSSn−=−求得na的递推式，然后再判断

求解．数列求和除必须掌握等差数列和等比数列的前n项和公式外，还应掌握一些特殊的方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．18.某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出

来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）年份x123456789人数y23545781010（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程

，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）参考数据：回归直线的方程是ybxa=+$$$，其中()()()1221121niiinniniiiiiixynxybnxxxxyxxy====−=−−−=−，aybx=−．95293iiixy=

=，925255iix==．【答案】（1）6；689；（2）1.31.1yx=−，12人．【解析】【分析】（1）由表格中的数据，利用平均数和方差的公式，即可求解；（2）由表中近五年的数据，利用公式，求得ˆˆ,ba，求得回归直线方程，代入10x=，即可作出结论．【详解】（1）由表

格中的数据，利用平均数的计算公式，可得2354578101069++++++++=．由方差的公式，可得()()()2222168263610699s=−+−++−=．（2）由表中近五年的数据知，7x=，8y=，95293iiixy==，92525

5iix==，9592255293578ˆ1.32555495iiiiixyxybxx==−−===−−，又aybx=−，所以81.371.1a=−=−，故y与x的线性回归方程为1.31.1yx=−，当10x=时，1.3101.111.912y=−=，故估计该校

2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的计算，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，根据公式准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.19.如图，在棱长为8的正方体111

1ABCDABCD−中，点E、F、G分别为11AB，11BC，1BB的中点，点P是正方形11CCDD的中心．（1）证明：//AP平面EFG；（2）求F到平面1ADE的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）26．【解析】【分析】（

1）由正方体的性质可证得平面1//ACD平面EFG，从而得线面平行；（2）利用体积法求得点面距离．即由11ADEFFADEVV−−=求解．【详解】（1）连结1DC，AC，∵点E、F、G分别为11AB，11BC，1BB的中点，∴1//EGDC，∵1DC平面EFG，∴1//DC平面EFG，

同理：//AC平面EFG，∴平面1//ACD平面EFG，∵点P是正方形11CCDD的中心，即1PCD，∴APÜ平面1ACD，∴//AP平面EFG；（2）连结1DF，AF，设F到平面1ADE的距离为h，111164

84844424222DEFS=−−−=△，145DEAE==，182AD=，∴1ADE△的边1AD上的高43d=，1182431662ADES==△，∵11ADEFFADEVV−−=，∴1111833DEFADESSh=△△，∴1

1826DEFADEShS==△△．【点睛】本题考查证明线面平行，考查用体积法求点到平面的距离．证明线面平行基本有两种方法：一是用线面平行的判定定理，二是用面面平行的性质定理．等体积法求求点面距的常用方法．但要注意三棱锥换底后体积易求才能

使用．20.已知函数()ln2fxxax=−+．（1）求()fx在(0,1上的最大值；（2）当1a=时，证明：对任意0x，()0xfxex−+恒成立．【答案】（1）()max1lnfxa=−；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）对()fx求导，利用()fx单调性求

在(0,1上的最大值（2）构造函数()()ln2xxgxfxexxe=−+=−+，证明()gx最大值小于0即可【详解】（1）∵()ln2fxxax=−+，∴()11'axfxaxx−=−=，①当1a时，∴()1'0axfxx−=在(0,1

上恒成立，∴()fx在(0,1上递增，∴()()max12fxfa==−；②当1a时，∴当10xa时，()'0fx，当11xa时，()'0fx，∴()fx在10,a上递增，在1,1a上递减，∴()max11lnfxfaa==

−；（2）当1a=时，令()()ln2xxgxfxexxe=−+=−+，()1'xgxex=−，()'gx在()0,+上递减，()'110ge=−，1'202ge=−，存在唯一的01,12x

使得()0'0gx=，即：001xex=，当00xx时，()'0fx，当0xx时，()'0fx，∴()gx在()00,x上递增，在()0,x+上递减，()()000001ln22xgxgxxexx=−+=−+()20010xx−=−，∴()0xfxex−+．【

点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.21.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），离心率为12，短轴长为

23．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，过P，Q作直线2axc=的垂线，垂足为S，T．试问：直线PT与QS是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）5,02【解析】【

分析】（1）根据椭圆的性质以及题意可列出方程组，求出椭圆方程；（2）设直线PQ的方程，将直线PQ的方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后再设直线PT的方程，令0y=，化简可得直线PT必过5,02，同理

可证直线QS恒过5,02，由此即可证明结果.,【详解】（1）由题意可知，22212223cabcab===−，所以224,3ab==，所以椭圆C的标准方程为：22143xy+=；（2）

设直线PQ的方程为：1xmy=+，()()1122,,,PxyQxy，则()()124,,4,SyTy，联立方程2234121xyxmy+==+可得：()2234690mymy++−=，所以12122269,3434myy

yymm+=−=−++，所以()121223myyyy=+，又直线PT的方程为：()()()()211244yyxxyy−−=−−，令0y=，则()()112212121212121241482242ymyyyxyyymyyxyyyyyy−+−−−=+==−−−()(

)()()121212121282355222yyyyyyyyyy−−+−===−−，所以直线PT恒过5,02，同理，直线QS恒过5,02，即直线PT与QS交于定点5,02.【点睛】本题主要考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，属于中档题.（二

）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为1cos811sin88xy==+（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线2C的极坐标方程为2sin8cos=．（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）直线l过原点且倾斜角为02，与曲线1C、2C分别交于A、B两个不同点（均异于原点），且22

512OAOBOAOB+??，求直线l的斜率．【答案】（1）1ρsinθ4=，28yx=（2）1或4.【解析】【分析】（1）本题首先根据1cosα8x=以及11sinα88y=+求出曲线1C的直角坐标方程，然后根据cosx=以及siny=即可求出曲线1C的极坐标方程，最后根据极坐标方

程与直角坐标方程的转化即可求出曲线2C的直角坐标方程；（2）首先可根据题意计算出2OAOB?或12，然后结合曲线1C与曲线2C的极坐标方程得出2ρρtanφAB?，最后根据22tanφ=或12即可得出结果.【详解】（1）因为1c

osα8x=，11sinα88y=+，所以11sinα88y-=，曲线1C的直角坐标方程为2211864xy骣琪+-=琪桫，化简得22104xyy+-=，因为cosx=，siny=，所以曲线1C的极坐标方程为：21ρρsinθ04-=，即1ρsinθ4=，因为曲线2C的极

坐标方程为2sin8cos=，即22sin8cos=，所以曲线2C的直角坐标方程为28yx=,（2）因为22512OAOBOAOB+??，即()25102OAOBOAOB??=，所以2OAOB?或12，因为直

线l倾斜角为，与曲线1C、2C分别交于A、B两个不同点，所以218cosφcosφ2ρρsinφ24sinφsinφtanφAB??=，故22tanφ=或12，tan1=或4，直线l的斜率为1或4.【点睛】本题考查参数方程、直

角坐标方程以及极坐标方程的相互转化，考查极坐标方程的灵活应用，可通过cosx=以及siny=进行直角坐标方程与极坐标方程的相互转化，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题.23.已知()215fxxx=+++．（1）解不等式()9fx；（2）若a、b、c均为正数，且()

()()24fafbfc++=，证明：2222bcaabc++【答案】（1）()5,1−（2）证明解析【解析】【分析】（1）首先可根据绝对值的相关性质将()215fxxx=+++分为21x−、152x−−以及5x−三种情况依次进行讨论，然后分别求解()9fx，即可得出结果；（2）本题

首先可以根据()()()24fafbfc++=得出2abc++=，然后根据基本不等式对2222bcaabc+++进行化简，即可证得2222bcaabc++.【详解】（1）由题意可知，()215fxxx=+++，当21x−时，()21536fxxxx=+++=+，()9fx，即3

69x+<，解得112x−；当152x−−，()()2154fxxxx=-+++=-+，()9fx，即49x-+<，解得152x−−；当5x−，()()()21536fxxxx=-+-+=--，()9fx，即369x--<，无解，综上所述，()5,1x−，（

2）因为a、b、c均为正数，所以()36faa=+，()36fbb=+，()36fcc=+，因为()()()24fafbfc++=，所以36363624abc+++++=，化简得2abc++=，因为2222222bcab

caabcabcabc+++=+++++222222222bcabcaabcabcabcabc=+++++匙+??2224bca=++=，当且仅当abc==时取“=”号，所以2222bcaabc++成立.【点睛】本

题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，可通过应用绝对值的性质对绝对值不等式进行去绝对值，从而求解绝对值不等式，考查基本不等式的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.