【文档说明】天津市七校2021届高三上学期期末考试联考数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.798 MB，由小赞的店铺上传

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2020~2021学年度第一学期期末七校联考高三数学一､单选题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合[1,2]M=，2230NxZxx=−−∣，则MN=（）A.1,2B.1,3−C.1D.

1,2【答案】D【解析】【分析】先求出集合N，再根据交集定义求出交集即可【详解】2230130,1,2NxZxxxZx=−−=−=∣，1,2MN=.故选：D.【点睛】本题考查交集的运算，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.2.对于

实数a､b，0ba是11ba的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据定义分别判断充分性和必要性即可.【详解】若0ba，则11ba，故充分性成立，反之，若11ba，当0,0ba时，则ba，故必要性不成

立，故选：A.3.函数2()(2)exfxxx=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】采用排除法进行排除，根据()00f=可知图象经过原点，以及导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间即可求解

.【详解】根据()00f=，排除C，因为()22()22e(2)e(2)exxxfxxxxx=−+−=−，由2()(2)e0xfxx=−得2x或2x−，可知()fx在(),2−−和()2,+单调递增，在()2,2−单调递减，排除BD故选：A【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及由函数解析式选择函数的图象，属于常考题型.4.某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100).若低于60分的人数是18

人，则参加体能测试的学生人数是（）A.45B.48C.50D.60【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出该班的学生数.【详解】解：根据频率分布直方图，得低于60分的频率是（0.005＋0.01）×2

0＝0.3，所以该班的学生人数为18600.3=.故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率＝频数/样本容量的应用问题，是基础题目．5.已知三棱锥ABCD−的四个顶点A、B、C、D都在半径为3的球O的

表面上，AC⊥平面BCD，BD=3，BC=2，5CD=，则该三棱锥的体积为（）A.153B.2153C.156D.15【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可将四面体ADBC−镶嵌于长方体中，利用长方体的对角线为球O的直径可得结果.【详解】因为BD=3，BC=2，5CD=，得222CD

BCBD+=，即BCCD⊥，根据AC⊥平面DBC，可将四面体ADBC−镶嵌于如右图所示的长方体中，由于BC=2，5CD=，球的半径为3，长方体的体对角线长()222224523lBCCDACAC=++=++=，3AC=，所以该三棱锥的体积为111152533263BCDVSAC=

==,故选：A.【点睛】（1）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球的直径的求法：将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径；（2）确定外接球球心的一种通用方法：首先找几何体的一个内接面的外接圆的圆心，通过圆心且

垂直于该平面的直线一定穿过球心，同理，可找到一条垂直于另一内接面的外接圆的圆心的直线，则两直线交点即为球心.6.已知定义在R上的函数()fx满足()()()6,3fxfxyfx+==+为偶函数，若()fx在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（）A.()()1210ln2

ffefB.()()12ln210feffC.()()12ln210fffeD.()()12ln210ffef【答案】A【解析】【分析】先得到函数的周期为6，利用()3yfx=+为偶函数，得到()()33fxfx−

+=+，将(10)f化成(2)f，再比较12,ln2,2e的大小关系，最后利用函数的单调性得到()()12ln2,10,fffe的大小关系.【详解】因为()()6fxfx+=，所以()fx的最小正周期6T=，因为()3yfx=+为偶函数

，所以()()33fxfx−+=+，所以(10)(4)(2)fff==，因为0ln21，1212e，且()fx在(0，3)内单调递减，所以()()1210ln2ffef.故选A.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单

调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.7.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同原点O的AB，两点，若四边形AOBF的

面积为()2212ab+，则双曲线C的渐近线方程为（）A.22yx=B.2yx=C.yx=D.2yx=【答案】C【解析】【分析】根据题意，OAAF⊥，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线的距离为b，所以||AFb=，进而||OAa=，四边形面积为ab，由()2212ab

ab=+可化简得1ba=，写出渐近线方程即可.【详解】根据题意，OAAF⊥，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线byxa=的距离为22bcbab=+，则||AFb=，所以||OAa=，所以()2212abab=+，所以1ba=，所以双曲线C的渐近线方程为yx=.【点睛

】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，点到直线的距离，属于难题.8.已知函数()2(coscos)sinfxxxx=+，给出下列四个命题：（）①()fx的最小正周期为π②()fx的图象关于直线π4x=对称③()fx在区间ππ,44−上单调递增④()fx的值域为[2,2]

−其中所有正确的编号是（）A.②④B.①③④C.③④D.②③【答案】C【解析】【分析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos0x，cos0x时，对应的最值，即可得出()fx的值域.【详解】()()2coscossin2cossinsin2fxxxxxxx

=+=+函数π33f=，4π03f=，π4π33ff，故函数()fx的最小正周期不是π，故①错误．由于36πf−=−，2π03f=

，∴3π26πff−，故()fx的图象不关于直线π4x=对称，故排除②．在区间ππ,44−上，ππ2,22x−，()2cossinsin22sin2fxxxxx=+=，单调递增，故③正确．当cos0x时，()2cos

sinsin22sincossin22sin2fxxxxxxxx=+=+=故它的最大值为2，最小值为2−当cos0x时，()2cossinsin22sincossin20fxxxxxxx=+=−+=，综合可得，函数()fx的最大值为2，最

小值为2−，故④正确．故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.9.已知函数()2(43)3,0,log(1)1,0axaxaxfxxx+−+=++（0a，且a1）在R上单调递减，且关于x的方程()2fxx=−恰有两个不相等

的实数解，则a的取值范围是A.20,3B.[23，34]C.[13，23]{34}D.[13，23）{34}【答案】C【解析】试题分析：由()fx在R上单调递减可知34013{313401aaaa−

，由方程()2fxx=−恰好有两个不相等的实数解，可知32,a，1233a，又34a=时，抛物线2(43)3yxaxa=+−+与直线2yx=−相切，也符合题意，∴实数a的取值范围是12

3[,]334，故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）

数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸中相应的横线上.10.i是虚数单位，复数1312ii−+=+________.【答案】1i+【解析】【分析】

分子分母同时乘以分母的共轭复数12i−，再利用乘法运算法则计算即可.【详解】()()()()22131213156551121212145iiiiiiiiiii−+−−+−+−+====+++−−.故答案为：1i+.

11.371()xx+的展开式中5x的系数是.（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()xx+展开的通项372141771()()rrrrrrTCxCxx−−+==，令2145r−=，得4r=，则5x的系数是4735C=.考点：1.二项式定理的展

开式应用.12.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0.直线l过点(0，3)，且与圆C交于A､B两点，|AB|=4，则直线l的方程___________.【答案】3y=或433yx=+【解析】【分析】根据题意，分析圆

C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线l的距离d=2，分直线l的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案.【详解】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0即(x﹣1)2+(y﹣1)2=8，圆心C(1，1)，半径r=22，

又由直线l与圆C交于A､B两点，|AB|=4，则点C到直线l的距离22||22ABdr=−=，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，点C到直线l的距离d=1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即

kx﹣y+3=0，则有2221kdk+==+，解可得0k=或43；故直线l的方程为3y=或433yx=+；故答案为：3y=或433yx=+.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题.13.已知实数0a，0b，121ab+=，则4312abab+−−的最小值是___

_____.【答案】743+【解析】【分析】利用4343121211ababab+=+−−−−，又121ab+=，得21211,1baba=−−=，代入利用基本不等式即可得出结果【详解】由0,0ab，得4343121211ababab+=+−−−−，又121ab+=，得

21211,1baba=−−=，则4343433212211211ababababba+=+=+=+−−−−，()1226262632347727+43bababaababababab++=+++=+++=，当且仅当26=baab时，即323,2

33ab+==+取等号.故答案为：743+.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同

的概率是______；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望()EX=______．【答案】(1).310(2).65【解析】【分析】现从中任意取出3个小球，基本事件总数3510nC==，其中恰有

2个小球颜色相同包含的基本事件个数21233mCC==，由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望()EX．【详解】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红

色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数3510nC==，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数21233mCC==，其中恰有2个小球颜色相同的概率是310mpn==；若变量X为取出

的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，()33351010CPXC===，()1223356110CCPXC===，()2123353210CCPXC===，数学期望()16360121010105EX=++=．故答案为310，65．【点睛】本题考查概率

、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.已知扇形AOB半径为1，60AOB=，弧AB上的点P满足(),OPOAOBR=+，则+的最大值是__；·P

APB最小值是__；【答案】(1).233(2).332−【解析】【分析】【详解】以OB为x轴，过O做OB的垂线作y轴，建立平面直角坐标系，()()130,01,0,(,),22OBA,()cos,sin0,3P,则13(cos,sin)(,)(1,0)

22=+,所以3cos,sin22=+=，3sincos3+=+2sin()33=+233，（2333+）.·PAPB=13(cos,sin)(1cos,sin)22=−−−−33sin()23=−+332−.故答案为：233；332

−.三､解答题：本大题共5个小题，共75分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知45B=，10b=，1tan2C=（I）求边a；（II）求sin(

2)AB−.【答案】（I）32a=；（II）210.【解析】【分析】（I）利用同角三角函数关系求出sin,cosCC，再利用两角和差公式求得sinA，由正弦定理求得结果；（II）由正弦定理求得，再利用余弦定理求得cosA；利用二倍角公式求得si

n2,cos2AA，根据两角和差正弦公式得到结果.【详解】（I）1tan2C=且(0,)C5sin5C=，25cos5C=310sinsin()sincoscossin10ABCBCBC=+=+=sinsinabAB=，45B=，10b=3

1010sin1032sin22bAaB===（II）由正弦定理sinsincbCB=得：510sin52sin22bCcB===2221041810cos210410bcaAbc+−+−===−，又310si

n10A=224cos2cossin5AAA=−=−，3sin22sincos5AAA==−32422sin(2)sin2coscos2sin525210ABABAB−=−=−+=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，涉及到同角三角函数关

系、两角和差正弦公式、二倍角公式的应用，属于常规题型.17.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC=，2AB=，且60DABDBF==.（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求钝二面角EAFB−−的余弦值；（3）若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF

所成角的正弦值为23015，求线段DM的长.【答案】（1）证明见解析；（2）105−；（3）312−.【解析】【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，利用菱形的性质可得出ACBD⊥，利用等腰三角形三线合一的性质可得出FOAC⊥，再利

用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）推导出FO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，利用空间向量法可求得钝二面角EAFB−−的余弦值；（3）设()01DMDE=，求出

向量AM的坐标，利用空间向量法结合已知条件可得出关于的方程，结合01≤≤可求得的值，由此可求得结果.【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，四边形ABCD为菱形，ACBD⊥，且O为AC中点，FAFC=，ACFO⊥，又FOBDO=，BD平面BDEF，FO平面BDEF，AC

⊥平面BDEF；（2）连接DF，四边形BDEF为菱形，且60DBF=，BDF为等边三角形，O为BD的中点，FOBD⊥，又ACFO⊥，ACBDO=，BD平面ABCD，AC平面ABCD，FO⊥平面ABCD.OA、OB、OF两两垂直，以

O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz−，如下图所示：因为2AB=，四边形ABCD为菱形，60BAD=，2BD=，223OAABOB=−=，BDF△为等边三角形，3OF=，则()3,0,

0A，()0,1,0B，()0,1,0D−，()0,0,3F，()3,1,0AD=−−，()3,0,3AF=−，()3,1,0AB=−uuur，()0,2,0EFDB==，设平面AEF的法向量为()111,,mxyz

=，则11133020AFmxzEFmy=−+===，令11x=，则11z=，10y=，得()1,0,1m=.设平面ABF的法向量为()222,,nxyz=，则222233030AFnxzABnxy=−

+==−+=，令21x=，则23y=，21z=，得()1,3,1n=r.所以10cos,5mnmnmn==.又因为二面角EAFB−−为钝角，所以二面角EAFB−−的余弦值为105−；（3）设()()()0,1,30,,301DM

DEBF===−=−，则()()()3,1,00,,33,1,3AMADDM=+=−−+−=−−−，所以223230cos,155424AMnAMnAMn===++，化简28410+

−=，解得：314−=或134−−（舍）.所以312DM−=.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出

法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角

的余弦值.18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别是1F和2F，离心率为12，点P在椭圆E上，且12PFF△的面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C右焦点2F，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射

线OQ交椭圆于P，记AOQ△的面积为1S，BPQV的面积为2S，若213SS=，求直线l的方程.【答案】（1）22143xy+=；（2）1(1)2=−yx.【解析】【分析】（1）由P在短轴端点时，12PFF△的面积最大，即3bc=，再根据离心率为12cea==求解

.（2）由213SS=，即11||sin3||||sin22QPQBBQPQAQOAQO=‖，||4||OPOQ=，易知当AB斜率不存在时，不合题意，当AB斜率存在时，设直线方程为(1)ykx=−，由点差法得到3,4ABOPkk=−然后联立方程，分别求得,PQxx

求解.【详解】（1）依题意，显然当P在短轴端点时，12PFF△的面积最大为1232cb=，即3bc=，又由离心率为12cea==，222acb−=，解得24a=，23b=，21c=，所以椭圆C的方程为22

143xy+=.（2）因为213SS=，所以11||sin3||||sin22QPQBBQPQAQOAQO=‖，所以||3||QPQO=，所以||4||OPOQ=，当AB斜率不存在时，21=SS，不合题意，当AB斜率存在时，设直线方程为(1)ykx

=−，设点()11,Axy，()22,Bxy，则22112222143143xyxy+=+=，两式作差得：1212121234−+=−−+yyyyxxxx，即3,4ABOPkk=−，故直线OP的方程为：34yxk=−，联立2234143yxkxy=−+=

，解得2221634Pkxk=+，联立34(1)yxkykx=−=−，解得22434Qkxk=+，因为4=PQxx，所以2224||443434kkkk=++，即214k=，解得：12k

=，所以直线AB的方程为1(1)2=−yx.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．19.已知等比数列{}n

a的公比0q，且满足1236aaa+=，2434aa=，数列{}nb的前n项和(1)2nnnS+=，*nN.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）设2238,,nnnnnnnbanbbcabn+++=

为奇数为偶数，求数列{}nc的前2n项和2nT.【答案】（1）1,2nnanN=；,nbnnN=；（2）21251341184(21)92nnn−+−++

.【解析】【分析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项1a与公比q的方程组，解出1a与q的值，即可计算出数列{}na的通项公式，再根据公式11,1,2nnnSnbSSn−==−…进行计算可得数列{}nb的通项公式；（2）

先分n为奇数和n为偶数分别计算出数列{}nc的通项公式，在求前2n项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2n项和2nT.【详解】（1）依题意，由1236aaa+=，2434aa=，可得21113221164()a

aqaqaqaq+==，因为0q，所以解得12q=，112a=，1111·()()222nnna−==，*nN，对于数列{}nb：当1n=时，111bS==，当2n…时，1(1)(1)22nnnnnnnbSSn−+−=−=−=，当1n=时，11

b=也满足上式，nbn=，*nN.（2）由题意及（1），可知：当n为奇数时，22223838111·()(2)22(2)2nnnnnnnnbncabbnnnn++++++===−++，当n为偶数时，1··()

2nnnncabn==，令1321nAccc−=+++，242nBccc=+++，则1321nAccc−=+++1335212111111112323252(21)2(21)2nnnn−+=−+−++−

−+1211112(21)2nn+=−+21112(21)2nn+=−+，2462246211112()4()6()2()2222nnBccccn=++++=++++，24622211111()2()4()(22)()2()22222

nnBnn+=+++−+，两式相减，可得2462223111112()2()2()2()2()422222nnBn+=++++−，135212211111()()()()2()22222nn

n−+=++++−，21222222211111()22112222()112211()22nnnnnn+++−−=−=−−−，21241()()332nn+=−+，2

18341·()992nnB−+=−，2122nnTccc=+++13212462()()nnccccccc−=++++++++AB=+2121113418·()2(21)2929nnnn−++=−−++21251341()()184(21)92nnn−+=−++.【点睛】关键

点点睛：第二问中当n为奇数时，求出nc，并对nc进行裂项为2112(2)2nnncnn+=−+是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减

法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.20.已知函数()ln2xefxxxax=−+−，aR．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有两个不同的零点1x，2x，（i）求a的取值范围；（ii）证明：22142121aaxxa−−−−．【答案】（1）单调递增区间

为()1,+，单调递减区间为()0,1；（2）（i）12ea+；（ii）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，令()'0fx，即可得到函数的单调递增区间，令()'0fx，求出函数的单调递减区间；（2）（i）由

题意可知()10f，即可求出参数的取值范围；（ii）不妨设12xx，因为()22ln22aefaaa=−．令21tae=+，()lntegttt=−．利用导数研究函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）函数的定义域为()()0ln2xefxxxax+=−+−，，，所以(

)()()()22111'1xxxexexfxxxx−+−=−+=，0x．当1x时，()()'0,fxfx单调递增；当01x时，()()'0,fxfx单调递减．所以()fx的单调递增区间为()

1,+，单调递减区间为()0,1．（2）（i）由题意可知()10f，即120ea+−，所以12ea+（ii）不妨设12xx．因为()222ln222ln222aaeefaaaaaaa=−+−=−．

令()21,lntetaegttt=+=−，()()21'tettgtt−−=．令()()1thtett=−−则()'1thtet=−，()()''10thtet=+，所以()'ht单调递增，又因为()'10he+，所以()ht单调递增．

因为()2110ehee++=−，所以()'0gt，故()gt单调递增．又因为()()1110egegee−+=−，所以()220,2faxa．由ln1−xx可知112121111ln212112121212121aaeefaaaaaaa−−=−+−+−−

−−−−令110,21mae=−，所以()10mefmmm−所以1121xa−，所以22142121aaxxa−−−−．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含

参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．