【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.2.3.2圆与圆的位置关系【高考】.docx，共(10)页，294.433 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系填一填圆与圆的位置关系及判定已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心分别为C1(x1，

y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0个d>r1＋r2两圆内含d<|r1－r2|两圆相交2个|r1－r2|<d<r1＋

r2两圆内切1个d＝|r1－r2|两圆外切d＝r1＋r2判一判1.若两圆只有一个公共点，则两圆外切．(×)2．若两圆无公共点则两圆相离．(×)3．两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．(√)4．两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．(√)5．两圆内切或外

切时，切点和两个圆的圆心共线．(√)6．若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(×)7．圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.(√)8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a＝1.(×)想一想1.两圆位置关系

的判断方法及步骤是什么？提示：2．求公切线的步骤是什么？提示：(1)判断公切线的条数．(2)设出公切线的方程．(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线．(5)归纳总结．3．两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法是什么？提示：若圆C1：x2＋y2＋

D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.4．公共弦长的求法有哪些？提示：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标

，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．思考感悟：练一练1.若两圆的半径R，r分别是5和3，圆心距为d＝3，则两圆的位置关系是________．答案：相交2．若圆x2＋y2＝4与圆M

外切，圆心距为5，则圆M的半径r＝________.答案：33．圆x2＋(y－1)2＝1与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是________．答案：相交4．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为()A．2

5B．25－2C．25－4D．2答案：C5．若圆x2＋y2＝9与圆(x－4)2＋(y＋3)2＝r有3条公切线，则实数r的值为()A．8B．65C．2D．4答案：D知识点一圆与圆位置关系的判断1.两圆x

2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切解析：把x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，又x2＋y2＝9，所以两圆心的坐标分别为(4，－3

)和(0,0)，两半径分别为R＝4和r＝3，则两圆心之间的距离d＝42＋(－3)2＝5，因为4－3＜5＜4＋3即|R－r|＜d＜R＋r，所以两圆的位置关系是相交．答案：B2．试分别确定圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0(k＜50)外切、内

切、相交、内含、外离时，k的取值范围．解析：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1

,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)．从而圆心距d＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|1－50－k|＝5，解得k＝14.当两圆外切时，d＝r1＋r2，即1＋50－k＝5，解得k＝34；当两圆相交时，|r1－r2|

＜d＜r1＋r2，即|1－50－k|＜5＜1＋50－k，解得14＜k＜34；当两圆内含时，d＜|r1－r2|，即|1－50－k|＞5，解得k＜14；当两圆外离时，d＞r1＋r2，即1＋50－k＜5，解得34＜k＜50.即k的取值范围为(34,50).

知识点二两圆的公共弦问题3.两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦方程为()A．x＋2y－6＝0B．x－3y＋5＝0C．x－2y＋6＝0D．x＋3y－8＝0解析：两圆方程相减即得．答案：C4．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

试判断两圆的位置关系；若两圆相交，求公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长．解析：因为圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0可化为(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0可化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1：圆心(1，－5)，半径r1＝52，

圆C2：圆心(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝22＋42＝25∈(52－10，52＋10)，所以两圆相交．所以两圆的公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2x＋2y－8)－(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0，即x－2y＋4＝0.在圆

C1中，圆心C1(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1＋10＋4|5＝35，所以公共弦长为2r21－d2＝250－45＝25.知识点三两圆位置关系的应用5.已知以C(－4,3)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，则圆C

的方程为________________．解析：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝r2.由题意得两圆圆心距d＝(－4－0)2＋(3－0)2＝5，因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，

即5＝r＋1，解得r＝4.故圆C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝16.答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝166．求过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且圆心在直线x－3y－6＝0上的圆的方程．解析：方法一：由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4

x＝0，得x＝1，y＝3，或x＝1，y＝－3，因为点(1，3)和(1，－3)都在直线x＝1上，故过这两个点的圆的圆心在x轴上．又圆心在直线x－3y－6＝0上，∴圆心为(6,0)，半径r＝(6－1)2＋(3)2＝28.∴圆的方程为(x－

6)2＋y2＝28.方法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)．整理得x2＋y2－4λ1＋λx－41＋λ＝0.∵圆心2λ1＋λ，0在直线x－3y－6＝0上，∴2λ1＋λ－6＝0.解得

λ＝－32.∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.综合知识圆与圆的位置关系7.已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝

22，求圆O2的方程．解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2＝2(2－1)，∴圆O2的方程是(

x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2.(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r23，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r23－8＝0.∴圆心O1(0，－1)到

直线AB的距离为|0－4＋r23－8|42＋42＝4－2222＝2，解得r23＝4或20.∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.8．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于两点．(1

)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程；(3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．解析：(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的公共弦所在直线方程为x2＋y2＋2x＋

2y－8－(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0，即x－2y＋4＝0.(2)由x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，x2＋y2－2x＋10y－24＝0，解得x＝－4，y＝0或x＝0，y＝2.所以A，B

两点的坐标分别为(－4,0)，(0,2)，中点坐标为(－2,1)，则|AB|＝(－4)2＋(－2)2＝25，故所求圆的圆心为(－2,1)，半径为5，所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(3)经过A，B两点且

面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与(2)的圆是相同的．则所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.基础达标一、选择题1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是()A．相切B．内含C．相交D．外离解析：因为两圆的圆心距d＝(3＋3)2＋(－6－

2)2＝10<12－1＝11，所以两圆内含．答案：B2．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解

析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，且圆心在x轴上方．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.答案：D3．圆：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆：x2＋y2－6x＝0交于A

，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0解析：由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线．答案：C4．圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的公切线有()A．1

条B．2条C．3条D．4条解析：由题意，得两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4和(x＋2)2＋(y－2)2＝4，∴圆心距d＝(2＋2)2＋(－1－2)2＝5.∵5＞2＋2，∴两圆相离，∴公切线有4条．答案：D5．一束光线从点A(－

1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是()A．32－1B．26C．4D．5解析：设点A关于x轴的对称点为B(－1，－1)，由图知，要求的最短距离为BC－r，即(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝4.答案：C6．已知圆C

：x2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.－∞，－433∪433，＋∞D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

解析：过点A作⊙C的两条切线y＝±33(x＋2)．令x＝2，则y1＝433，y2＝－433.当a＞y1或a＜y2时，光线不被⊙C挡住．答案：C7．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为

x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝52，所以(|PM|＋|PN

|)min＝52－(1＋3)＝52－4.答案：A二、填空题8．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________________．解析：设所求圆的方程为x2＋y2

－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标21＋λ，λ－11＋λ代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝13，故所求圆的方程为x2＋y

2－3x＋y－1＝0.答案：x2＋y2－3x＋y－1＝09．圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0的公共弦的弦长为________．解析：两圆相交弦所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0

的圆心到直线3x－4y＋6＝0的距离d＝|－3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95，所以弦长为29－952＝2×125＝245.答案：24510．已知圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0，过点(－1,0)的最长弦长为L，最短弦长为l

，那么L－l的值为________．解析：最长弦为过点(－1,0)的直径，最短弦为过点(－1，0)，且和最长弦垂直的线段．圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，则圆心为C(2，－3)，半径r＝5，点A(－1,0)在圆内，当过A(－1,0)的弦是直径时最长，∴L＝2r＝10

，当过A(－1,0)的弦与AC垂直最短，此时L＝2r2－|AC|2＝27，∴L－l＝10－27.答案：10－2711．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是____

____．解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为(－1－2)2＋(2＋1)2＝32＞22.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是32－2－2＝2.答案：212．点P在

圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝

4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35.所以，|PQ|的最小值是35－5.答案：35－5三、解答题13．已知圆C1：x2＋y2－

2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．解析：对圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋

(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a，(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．(2

)当3<|C1C2|<5即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆外离．(4)当|C1C2|<3即0<a<3时两圆内含．14．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满

足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.又∵动圆过点(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程组

(－5－a)2＋(0－b)2＝25，a－b＋10＝0，可得b＝0，a＝－10或b＝5，a＝－5，故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝|10|2＝52.当r满足r＋5<d时，动圆C中

不存在与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆；当r满足r＋5>d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；当r满足r＋5＝d时，即r＝52－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2

＋y2＝r2相外切．综上可知，存在r＝52－5满足条件.能力提升15.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0，当a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，求圆C2的面积最小时圆的方程．解析：将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线的方程

为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0.由于圆C2始终平分圆C1的周长，因此点C1一定在相交弦所在直线上，又圆C1的圆心为C1(－1，－1)，所以2(1＋a)×(－1)＋2(1＋b)×(－1)－a2－1＝0.即b＝－

a2＋2a＋52，由圆C2的方程得r＝1＋b2.所以S＝πr2＝π(1＋b2)＝π＋π×(a2＋2a＋5)24＝π＋π[(a＋1)2＋4]24，所以当a＝－1时，S取最小值5π，此时b＝－2.所以圆C2的方程是x2＋y2＋2x＋4y＝0.16．圆

(x＋1)2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，直线AB过点P.(1)若弦长|AB|＝27，求直线AB的倾斜角α；(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于2，求直线AB的方程．解析：设AB：y－2＝k(x＋1)，即

kx－y＋k＋2＝0.(1)由|AB|＝27，r＝22，知圆心(－1,0)到直线AB的距离为1，即|－k＋k＋2|k2＋1＝1，解得k＝±3.故α＝60°或120°.(2)由于r＝22，圆上有三个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为2，即|－k＋k＋2|k2＋1＝2，解得k＝±

1.故直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y＋3＝0.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com