【文档说明】【精准解析】湖北省武汉市2020届高三下学期5月质量检测数学（文）试题 【武汉专题】.docx，共(25)页，1.085 MB，由小赞的店铺上传

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武汉市2020届高中毕业生五月质量检测文科数学本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上

对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，12ziii+=++，则复数z=（）.A.2i+B.12i+C.3i+D.32i−【答案】B【解析】【

分析】首先根据题意得到(1)(2)ziii=++−，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312ziiiiiii=++−=++−=+.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合

103xAxx−=+，2Bxx=，则AB=（）.A.21xx−B.32xx−C.21xx−D.21xx−【答案】C【解析】【分析】首先分别解不等式103xx−+和2x，再求交集即可.【详解】因

为(1)(3)01031303xxxxxx−+−−++，所以31Axx=−.因为222xx−，所以22Bxx=−.21ABxx=−.故选：C【点睛】本题主要考

查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（）.A.3B.5C.

10D.15【答案】B【解析】【分析】计算出管理人员所占比例，再乘以样本容量即可.【详解】样本总量为160人，其中管理人员有40人，其所占比例为4011604=，现抽取一个容量为20的样本，抽到管理人员的人数为12054=人.故选：B【点睛】本

题考查求分层抽样中基本量，属于基础题.4.若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（）.A.2B.4C.42D.43【答案】B【解析】【分析】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，最后由长方体体积公式

计算即可.【详解】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，所以体积为1224V==.故选：B【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.5.已知3sin()

45x−=，则sin2x的值为（）A.1925B.1625C.1425D.725【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于332sin(),cossin455xxx−=−=,两边平方可知1-sin2x=1825,因此可知sin2x=7

25，故选D．考点：二倍角正弦公式点评：主要是考查了二倍角公式的运用，属于基础题．6.函数2ln1ln1xyx−=+的值域为（）.A.02yyB.0,2yyyC.2yyD.2yy【答案】C【解析】【

分析】令lntx=，对函数211tyt−=+分离常数后可得原函数的值域.【详解】函数的定义域为110,,ee+.令lntx=，则2ln12132ln111xtyxtt−−===−+++，其中1t−，故321yt=−+的值域为()(),22,−+

，故2ln1ln1xyx−=+的值域为()(),22,−+.故选：C.【点睛】本题考查函数值域的求法，一般地，对于形如()()0axbfxaccxd+=+，我们可以用分离常数的方法来求其值域.7.已知PA，PB，PC是从点P引出的三条

射线，每两条射线间夹角都是π3，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）.A.12B.32C.63D.33【答案】D【解析】【分析】过PC上一点D作DO⊥平面APB，则DPO就是直线PC与平面PAB所成的角，说明点O在APB的平分线上，通过直角PEDV和直角DO

P△，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．【详解】过PC上一点D作DO⊥平面APB，则DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．因为60APCBPC==，所以点O在APB的平分线上，即30OP

E=．过点O作OEPA⊥，OFPB⊥，因为DO⊥平面APB，则DEPA⊥，DFPB⊥．设1PE=，12330cos303OPEOP===．在直角PEDV中，60DPE=，1PE=，则2PD=．在直角D

OP△中，233OP=，2PD=．则3cos3OPDPOPD==．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是33．故选：D．【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与直线的垂直的证明方法，考查空

间想象能力和计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．8.已知平面上定点()5,0A−和()8,4B，又P点为双曲线221169xy−=右支上的动点，则PAPB−的最大值为（）.A.8B.10C.11D.13

【答案】D【解析】【分析】由题意可得点()5,0A−为双曲线的左焦点，设点F为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得28PAPFa−==，然后求出PFPB−的最大值即可.【详解】由题意可得点()5,0A−为双曲线的左焦点，设点F为双曲线的右焦点由双曲线的定义可得28PAPFa−==所以8P

APBPFPB−=−+由图可得，当,,PBF三点共线时PFPB−取得最大值，最大值为()228545BF=−+=所以PAPB−的最大值为13故选：D【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，属于常考题型.9.已知向量2a=，向量

a与b夹角为3π4，且1ab=−，则ab−=（）.A.5B.2C.2D.4【答案】A【解析】【分析】利用向量的数量积定义3cos14abab==−，可求出1=b，再利用()2abab−=−，展开即可求解.【详解】2a=，a与b夹角为3

π4，3cos14abab==−，解得1=b，()22222215ababaabb−=−=−+=++=.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的求法，需熟记公式，属于基础题.10.已知函数()()ππc

os322fxx=+−图象关于直线5π18x=对称，则函数()fx在区间0,π上零点的个数为（）.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据对称轴可得()5318kkZ+=，从而求出6π=，进而可得()cos36fxx

=+，令()cos306fxx=+=，解方程即可.【详解】函数()()ππcos322fxx=+−图象关于直线5π18x=对称，所以()5318kkZ+=，解得()56kkZ=−，又因为ππ22−，所以6π=，所以

()cos36fxx=+，令()cos306fxx=+=，则()362xkkZ+=+，解得39kx=+，因为0,πx，所以9x=，49，79.即函数()fx在区间0,π上零点的个数为3.故选：C【点睛】

本题考查了余弦函数的性质以及求函数的零点个数，解题的关键是掌握余弦函数的对称轴，属于基础题.11.设直线:2ABykx=−与抛物线28yx=交于A，B两点，若线段AB中点横坐标为2，则直线的斜率k=（）.

A.2B.1−C.2−D.1−或2【答案】A【解析】【分析】将直线方程与抛物线方程联立消y可得：()224840kxkx−++=，根据判别式可得k的取值范围，利用韦达定理以及中点坐标公式可得2242kk+=，解方程即可求解.【详解】联立直线:2ABykx=−与抛物线28y

x=，消y整理可得()224840kxkx−++=，设()11,Axy，()22,Bxy，由题意()()()22122484401482222kkxxkk=−+−++==，解()1可得1k−，

解()2可得2k=或1k=−，综上可知，2k=.故选：A【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、中点弦问题，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.12.已知函数()21ln2fxxax=−在()0,+无

零点，则实数a的取值范围为（）.A.()0,eB.)0,eC.0,eD.()()0,,ee+【答案】B【解析】【分析】首先求出导函数()()0afxxxx=−，根据选项只需讨论0a时函数的单调性，当0a时，可知函数在()0,a单调递减，),

a+上单调递增，只需函数的极小值()0fa即可.【详解】由函数()21ln2fxxax=−，则()()20axafxxxxx−=−=，由选项可知0a，当0xa时，()0fx，即函

数在()0,a上单调递减，当xa时，()0fx，即函数在),a+上单调递增，所以xa=是函数()fx的极小值点，若要函数()fx在()0,+无零点，只需()0fa，即ln02aaa−，解不等式可得0ae.故选：B【点睛】本题主要考查了利用

导函数研究函数的零点问题、函数的单调性，函数的极值、最值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数ln()1xfxx=+的图象在点(1,(1))f处的切线方程为__________.【答案】210xy−−=【解析】【分析】求导得到()21ln'()1xxxf

xx+−=+，计算()1'12f=，()10f=，得到切线方程.【详解】ln()1xfxx=+，则()21ln'()1xxxfxx+−=+，故()1'12f=，()10f=故切线方程为：()112yx=−，即210xy−−=故答案为

：210xy−−=【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.14.柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______.【答案】15【解析】【分析】列举出所有的情况，找出符合题意的情况，由古典概型的概率计算公式，即可得出答案.【详解】设三双鞋

子分别为12,AA、12,BB、12,CC，则取出2只鞋子的情况有：()12,AA，()11,AB，()12,AB，()11,AC，()12,AC，()21,AB，()22,AB，()21,AC，()22,AC，(

)12,BB，()11,BC，()12,BC，()21,BC，()22,BC，()12,CC，共15种.其中，成对的情况有：()12,AA，()12,BB，()12,CC，共3种，由古典概型的公式可得，所求概率为31155P==.故答案为：15【点睛】本题考查了通过列举法求古典

概型的概率，属于基础题.15.已知M，N为直线()32yx=−−上两点，O为坐标原点，若π3MON=，则MON△面积的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】设点O到直线的距离为d，再利用三角形的面积公式可得11sin223MONSMNdOM

ON==，再利用余弦定理以及基本不等式可得2222cos3MNOMONOMONOMON=+−，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由直线()32yx=−−可得3230xy+−=，则点O到直线3230xy+−=的距离为(

)220023331d+−==+，由11sin223MONSMNdOMON==，则23MONMNS=，43MONOMONS=，在MON△中，由余弦定理2222cos3MNOMONOMON=+−2OMONOMONOMON−=，当且仅当=OMON，等号成立，所以2

2433MONMONSS，解不等式可得3MONS，即MON△面积的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理以及基本不等式，需熟记公式，属于基础题.16.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有

疗效；而低于500mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：lg20.3

010，lg30.4771，精确到0.1h）【答案】2.3【解析】【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得出指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系、换底公式和对数的运算性质以及条件进行求解.【详解】设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则血液中的含药量y

与注射后的时间x的关系式为：()002500120xy=−，依题意，可得()0025001201500x−，整理可得4355x，所以445543loglog55x，即453log5x，由485106lg36lg61lg2l

g3110loglog2.38510lg813lg21lg10−+−====−−，所以2.3x.故在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.故答案为：2.3【点睛】本题主要考查了建立拟合的函数模型求解实际

问题，关键是能够通过已知关系建立起恰当的函数模型，通过函数模型构造不等式，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.已知等差数列na的前n项和为n

S，且满足：22158aa+=，125aa+=.（1）求数列na的通项公式；（2）记数列nSn的前n项和为nT，求nT取得最大值时n的值.【答案】（1）()17355nann=−N（2）10【解析】【分析】（1）利用等差

数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列的前n项和公式求出nSn，从而求出此数列的正数项，进而可确定nT取得最大值时n的值.【详解】设差等数列na公差为d，依题意有()122112548adaad+

=++=.解之得114535ad==−，则()14317315555nann=+−−=−，故na的通项公式为：()17355nann=−N.（2）由()112nnnSnad−=+，得()()114131102525nSdannn=+−=+−

−，所以()3141105n−，即313n，由nN，故10n，故nT取最大值时n的值为10.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

18.李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课三年来学生考试成绩分布：成绩)40,50)50,60)60,70)70,80)80,9090,100人数1050100250

15040（1）求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数.附：1.1671.08.【答案】（1））平均成绩75，标准差10.8

，（2）中位数为75.6【解析】【分析】（1）根据表中数据计算即可（2）由已知数据可知，前4组频率依次为：160，560，1060，2560，然后得出中位数位于区间)70,80，然后算出即可.【详解】（1）平均成绩104550551006525075150854095756

00x+++++==，标准差()()()()2222210754550755510075652507575=−+−+−+−()()221507585407595/600+−+−()22222

213052010102501510420/60=+++++190094002510093625710010060606++++===所以10.8=.（2）由已知数据可知，前4组频率依次为：160，560，1060，2560，由15101606

0602++，1510251606060602+++，可知，中位数位于区间)70,80，设中位数为x，则()151025117060606060102x+++−=，解之得75.6x=，故中位数为75.6【点睛】本题考查的是平均数、标准差和中位数的算法，计算能力是

解答本题的关键.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ACCA是边长为4的菱形，且1π3AAC=，面11ACCA⊥面ABC，1AABC⊥，4BC=.（1）求证：BC⊥面11ACCA；（2）求1B到平面1ABC的距离.【答案】（1）证

明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）在菱形11ACCA中，过1A作1AHAC⊥于点H，首先证明1AH⊥平面ABC，然后得到1AHBC⊥即可（2）因为11//BC平面1ABC，所以1B到面1ABC的距

离与1C到面1ABC的距离相等，然后证明1CM⊥平面1ACB，然后求出1CM的长度即可【详解】（1）证明：在菱形11ACCA中，过1A作1AHAC⊥于点H，因为平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面=ABCAC，1AH平面11ACCA所以1AH

⊥平面ABC，则1AHBC⊥，因为1AABC⊥，111AHAAA=，所以BC⊥平面11ACCA.（2）因为11//BC平面1ABC，所以1B到面1ABC的距离与1C到面1ABC的距离相等.在菱形11ACCA中，连1AC

，设11ACACM=，则11CMAC⊥，由（1）可知BC⊥平面11ACCA，BC面1ACB，所以平面1ACB⊥平面11ACCA，面1ACB面111ACCAAC=，而11CMAC⊥，所以1CM⊥平面1ACB，所以1CM即为1C到面1ACB的距离，在菱形11ACCA中，4AC=，1π3AA

C=，所以111232CMAMAC===，故1B到面1ABC的距离为23.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和点到平面距离的求法，考查了学生的空间想象能力.20.已知()11,0F−，()21,0F为椭圆()2222:10xyabab

+=的左右焦点，过2F的直线交椭圆于A，B两点，1FAB的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知()()000,0Pxyy是直线:4lx=上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点(),0MMx，(),0NNx，则1111MNxx+−−是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请

说明理由.【答案】（1）22143xy+=（2）是定值；定值为23【解析】【分析】（1）由条件得出1c=，48a=即可（2）设直线AB的方程为1xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，()04,Py，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122634tyyt−+=+，122

934yyt−=+，然后算出101014,0xyyMyy−−，202014,0xyyNyy−−，然后算出112=113MNxx+−−即可【详解】（1）依题意1c=，由椭圆的定义可得1FAB

的周长为48a=，即2a=，所以223bac=−=，故椭圆的方程为22143xy+=.（2）设直线AB的方程为1xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，()04,Py，由221143xtyxy=++=得()22346

90tyty++−=，显然，则122634tyyt−+=+，122934yyt−=+，直线()1001:44yyPAyyxx−−=−−，令0y=得101014xyyxyy−=−，即101014,0xyyMyy−−，同理20201

4,0xyyNyy−−，()()01110101011010101011334311Myxyytyxyyytyyxyyyyyyyy−−−−−−=−===−−−−，同理：()200231Nytyxyy−−=−，于是：()120010201201211112113

3MNyyyyyyyxxtyyytyyy+−−+=+=−−−−−2000026112234229333334tttyytytyt−+=−=−=−−−+所以112113MNxx+=−−为定值.【点睛】涉及椭圆的

弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数()sin1xfxex=−−，()1sinxgxexxx=−−−.（1）证明：不等式()0fx在(

)1,0-恒成立；（2）证明：()gx在π1,2−存在两个极值点，附：10.367e，sin10.841，cos10.540.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）()cosxfxex=−，首先利用导数证明当10x−时，总有(

)0fx¢<，然后可得()()00fxf=（2）分π02x和10x−两种情况讨论，每种情况都要用导数求出()gx的单调性.【详解】（1）()cosxfxex=−，设()cosxhxex=−，易得()s

inxhxex=+在()1,0-上为增函数，又()()11sin10he−−=+−，()010h=，∴存在唯一()01,0x−，使得()00hx=，∴在01xx−时，()0hx，()fx¢为减函数，()()11cos10fxfe−−=−

，在()0,0x时，()0hx，()fx¢为增函数，()()00fxf=，因此10x−时，总有()0fx¢<，()fx为减函数.∴()()00fxf=，从而原不等式得证.（2）()1sinxgxexxx=−−−，则()sincos1xgxexxx=−−−，在π0

2x时，令()()sincos1xmxgxexxx==−−−，则()sin2cosxmxexxx=+−在π0,2上递增.又()010m=−，π2ππ022me=+.∴存在唯一1π0,2x，使()0mx=.在()10,xx时，(

)0mx，()mx为减函数，即()gx为减函数，在1π,2xx时，()0mx，()mx为增函数，即()gx为增函数，而()00g=，()()100gxg=.又π2π202ge

=−，存在唯一的21π,2xx使得()20gx=，∴在20xx时，()0gx¢<，()gx为减函数，在2π2xx时，()0gx¢>，()gx为增函数，故2x为()gx

一个极小值点.另一方面，在10x−时，由()()sin1cosxgxexxx=−−+−，而cos0xx−，∴()sin1xgxex−−，由（1）可知sin10xex−−，∴()0gx¢>在()1,0-上恒成立，又()0gx¢<在()20,x上恒成立，∴0x=是(

)gx的极大值点，从而得证.【点睛】本题考查的是利用导数证明不等式，利用导数研究函数的单调性，属于难题，考查了学生的分析问题、解决问题的能力.（二）选考题：请考生从第22、23题中任选一题做答.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2cossinxtyt=+=（t参数，为常数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin12=.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若AP

Q面积为66，求tan的值.【答案】（1）244yx=+（2）3tan3=【解析】【分析】（1）由2sin12=得1cos12−=，然后得到222xyx+=+即可（2）将直线的参数方程化为()2ykx=−

，tank=，然后联立直线与曲线C的方程消元可得24120yyk−−=，然后算出12yy−，然后由APQ的面积即可得出答案.【详解】（1）由2sin12=得1cos12−=，所以cos2−=，即222xyx+=+，所以244

yx=+.（2）由2cossinxtyt=+=，消去参数t得到tan2ykx==−，所以()2ykx=−，tank=，244yx=+与x轴交点为()1,0A−，由()2442yxykx=+=−，得24120yyk−−=，记1tk=，则24120yty−

−=，()2212441243yytt−=+=+，APQ面积221211343636622SAMyytt=−=+=+=，所以3t=，即33k=，所以3tan3=.【点睛】涉及曲线的弦长、中点、

距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.[选修4-5：不等式选讲]23.已知正数a，b，c满足1abc++=.求证：（1）14ab；（2）31112abcabc++−−−.【答案】（1）证明见解析；（

2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据正数加法的性质，结合基本不等式进行证明即可；（2）运用分析法，结合已知等式的变形、三个正数的均值不等式进行证明即可.【详解】（1）因为a，b，c为正数，且1abc++=

，所以1ab+，21224abababab++，故14ab.（2）分析法：要证：31112abcabc++−−−，只需要证：111331112abc−+++−−−，即要证：11191112abc++−−−，即要证：()()()1111

119111abcabc−+−+−++−−−，①而()()()()()()31113111abcabc−+−+−−−−，②31111113111111abcabc++−−−−−−，③将②③两式相乘，即得待证的①式.以上每步均可逆，所以原不等式得证.【点睛】

本题考查了已知等式证明不等式问题，考查了基本不等式的应用，考查了用分析法证明不等式，正确的代数式和等式的变形是证明的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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