【文档说明】湖北省沙市中学2022-2023学年高二上学期第一次月考 数学试题 含答案.docx，共(13)页，1002.765 KB，由envi的店铺上传

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2022—2023学年度上学期2021级第一次月考数学试卷考试时间：2022年9月22日一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己

目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居民，他们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（）A.7.5B.8C.8.5D.92．已知i是虚数单位，则复数2020202122izi−=+对

应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知)3,2(=OA，),3(yOB−=，若OBOA⊥，则AB等于（）A.2B.26C.25D.21554．已知m，n是不重合的直线，,,是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若,⊥⊥

，则∥B.,,,mnmn∥∥，则∥C.若,m⊥⊥，则//mD.,,=∥mmn，则mn∥5．在△ABC中，若2acosB＝c，则该三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等

边三角形D.不能确定6．在E区域−病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报

簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数3x；②平均数3x，且标准差2s；③平均数3x，且极差2m；④众数等于1，且极差4m．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（）A．①②B．①③C．

③④D．②④7．在等腰梯形ABCD中，//ABCD，24ABCD==，5ADBC==，E为CD的中点，F为线段BC上的点，则EFBF的最小值是（）A．0B．95−C．45−D．18．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1

C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若AP→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，且10＜＜＜＜zyx.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A．1B.12C.13D.16二、多选题(本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要

求的.)9．下列命题中正确的是（）A．已知平面向量(1,1)a=，(2,2)b=−，则ab+与b共线B．已知平面向量a，b满足2b=，a在b上的投影向量为12b，则ab的值为2C．已知复数z满足1z=，则1zz=D．已知复数1z，2z满足1212zzzz+=−，则120zz=10．

给出下列命题，其中正确的是（）A．任意向量a，b，c满足()()abcbca=B．在空间直角坐标系中，点()2,4,3P−关于坐标平面yOz的对称点是()2,4,3−−−C．若,,abc是空间的一个基底，则

,,abbcca+++也是空间的一个基底D．若ABCD−为正四面体，G为BCD△的重心，则3AGABACAD=++uuuruuuruuuruuur11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（）.A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游

戏，则玩一局甲不输的概率是13B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如835=+，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C．抛掷一枚骰子1次,事件A=“向上的点数是1,2”,事件B=“向上的点数是1,3”

,则事件A与事件B不是相互独立事件D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1212．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC−−，如图所示，点E，F分别为线段BC，A

D的中点，则（）A．EFBC⊥B．四面体ABCD−的表面积为423+C．四面体ABCD−的外接球的体积为82π3D．过EF且与BD平行的平面截四面体ABCD−所得截面的面积为2三、填空题（本题共4小题，每小题5分

，共20分.）13．已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（﹣1，0，2），则a在b方向上的投影向量为________．14．从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个不同的数字，则两个数字的和为偶数的概率为___．15．已

知复数12,zz满足1211zz==，，若1212izz+=+（i为虚数单位），则12zz−=___.16．在正三棱柱123ABCABC−中，11ABAA==，点P满足1BPmBCnBB=+，其中1,[0,1]mn=，则三角形1ABP周长最小值

是___________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准x，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价

收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图.（1）求直方图中a的值：（2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数：（3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？18．在ABC中,内角,,ABC所对的边分别为,,abc,且满足(coscos)2(cosc

os)baBbAcbCcB+=+．（1）求ba的值；（2）已知3,cABC=的面积为32，求a的值．19．如图，在多面体ABCDE中，AEB为等边三角形，,,//ABBCBCAD⊥22=CE22,ABB

CAD===.（1）求证:平面DEC⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值.20．为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都

胜出，则视为该选手赢得比赛．现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响．（1）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人

赢得比赛的概率．21．如图，在三棱锥ABCP−中，ABCPC平面⊥.（1）若BCABPBCD⊥⊥,,求证：PACD⊥；（2）若FE,分别在棱PAAC,上，且AFPFECAE3,==，问在棱PB上是否存在一点D，使得BEFCD平面//.

若存在，则求出DBPD的值；若不存在.请说明理由.22．如图所示，某镇有一块空地OAB，其中3OA=km，33OB=km，90AOB=.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中M、N都在边AB上，且30MO

N=，挖出的泥土堆放在OAM△地带上形成假山，剩下的OBN△地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN的一周安装防护网．（1）当32AM=km时，求OM长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM△的面积的3倍，试确定AOM∠

的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN的面积最小？最小面积是多少？高二年级数学答案1.C2.D3.B4.D5.A6.【答案】C【详解】①错，举反倒：0，0，0,0，2，6，6；其平均数23x

=，不符合题意;②错，举反倒：0,3,3,3,3,3,6；其平均数3x且927S=,不符合题意;③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即x≥6,则极差大于6,63,xx−−故假设不成立，故一定符合上述指标；④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即x≥6,则极差不小于6

15−=,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.故选：C7.【答案】B【详解】由题意等腰梯形ABCD的高为2242(5)22−−=，如图，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则(0,2)E，(1,2)C，(2,0)B

，设(1,2)(,2)BFtBCttt==−=−(01)t，则(2,2)Ftt−，(2,22)EFtt=−−，2239(2)2(22)565()55EFBFttttttt=−−+−=−=−−，所以35t=时，EFBF取得最小值95−．故选：B．8.D【解析】根据向量加法的几何意义和空间向量

基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1－BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分，即图

中的三棱锥A－A1C1D1内，其体积是13×12×1×1×1＝16.9.BC10.CD【详解】A：因为ab与cb是一个标量，设1abk=，2cbk=，若要12kcka=，则需要向量ac、rr方向相同，但ac，不一定相同，所以(

)()=abcabc不一定成立，故A错误；B：点(2,4,3)−关于坐标平面yOz的对称点为(2,4,3)，故B错误；C：因为{},,abc是空间的一个基底，所以abc，，不共面，假设abbcca+++

，，共面，则存在实数、使得()()abbcca+=+++，即()abbac=++++，所以110==+=，方程组无解，所以abbcca+++，，不共面，所以{}abbcca++，+，也是空间的一个基底，故C正确；D：ABAGGBACAGGCADAGGD=

+=+=+，，，则3ABACADAGGBGCGD++=+++，又G为BCD△的重心，所以0GBGCGD++=，故3ABACADAG++=，故D正确.故选：CD11.【答案】BCD【解析】对于A，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能

出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜）13=，P（乙获胜）13=，故玩一局甲不输的概率是23，故A错误；对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2

与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14

的概率为115，故B正确；对于C，由相互独立事件的定义可知，故C正确；对于D，记三件正品为1A，2A，3A，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为12AA，13AA，1AB，23AA，2AB，3AB，共6种，其中两件都是正品的有12AA，13AA，23AA，共3种，

则所求概率为3162P==，故D正确.故选BCD.12.【答案】BCD【详解】设O是BD的中点，则,,,OAOBOCOD两两相互垂直，二面角ABDC−−为之二面角，OCBDOC⊥⊥平面ABDOCOF⊥，A选项，连接,BFCF，()222221

5,213BFCF=+==+=，2BC=，所以三角形BFC不是等腰三角形，而E是BC的中点，所以EF与BC不垂直，A选项错误.B选项，()()22222AC=+=，所以三角形ABC和三角形ADC是等边三角形，所以四面体ABC

D−的表面积为2232224234+=+，B选项正确.C选项，由于OAOBOCOD===，所以O是四面体ABCD−外接球的球心，外接球的半径为2，体积为()3482233=，C选项正确.D选项，设G是CD中点，H是AB中点，画出图象如下图所示，//,////HFBDEGBDHFEG，

,,,HFEG四点共面.由于//,EGBDBD平面EFGH，EG平面EFGH，所以//BD平面EFGH，112,122EGBDFGAC====，由于,,ODOAODOCOCOAO⊥⊥=，所以OD⊥平面AOC，所以ODAC⊥，而//FGAC，所以FGEG⊥，所以截面面积为212EGFG=

=.D选项正确.故选：BCD13.答案：12,0,55−.14.【答案】3115.【答案】116．25+【详解】根据题意，因为11BPmBCnBBmBCCnC=++=，其中1,[0,1]mn=，所以点P在线段1CC上.如图所示，沿1AA展开正三棱柱111ABCABC−的

侧面，故三角形1ABP周长为22111221225ABAPBPAPBP++=++++=+，当1B、P、A三点共线时，取等号.故答案为：25+.17．（1）0.3a=；（2）众数为2.25吨，平均数为

2.035吨；（3）月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为0.73+0.5×0.3=0.88,所以，x∈(2.5.3)，由题意可得0.73+(x-2.5)×0.3=0.85，解得x=2.9.18．(1)2;(2)1或213【

解析】(1)由正弦定理得：()()sincoscossin2sincossincosbABABcBCCB+=+,()()sin2sinbABcBC+=+，()()sin2sinbCcA−=−,sin2

sinbCcA=，因为A，C是三角形内角，sin0,sin0AC，所以2sinsincbCA=，而由正弦定理得sinsincaCA=，∴2ba=，即2ba=；(2)由第一问可知，b=2a，设AB边上的高为h，则三角形ABC的面积1133,1222

Schhh====，作下图：过点C作AB的垂线，垂足为D，则CD=h，设AD=x，则由勾股定理得到下列方程组：()()22222223xhaxha+=−+=，解得2383150xx−+=，由

公式法得1253,33xx==，3x=，a=1；5321,33xa==19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）24.【详解】(1)取EC中点M,连结,FMDM1////,2ADBCFMADBCMF==，ADMF是平行四边形，//AFDMAF平面DE

C，DM平面DEC,//AF平面DEC.222EBCBECCBBE+=⊥，又,CBABABBEBCB⊥=⊥平面ABEAF平面ABEAFCB⊥，又ABE为等边三角形，F为边EB的中点，AFBE⊥CBBEBAF=⊥平面EBC又//AFDMDM⊥平面EBC，AF平面

DEC平面DEC⊥平面EBC．(2)取BC中点N,连结DN，//DNAB所以直线AB与平面DEC所成角即为直线DN与平面DEC所成角,过N作NHEC⊥,垂足为H,连接DH.平面DEC平面EBCEC=,NH平面EBC，NHEC⊥N

H⊥平面DEC.DH为斜线DN在面DEC内的射影，HDN为直线DN与平面DEC所成角，在RtDNH中，2,22HNDN==2sin4HNHDNDN==直线AB与平面DEC所成角的正弦值为24.20.解：（Ⅰ）设事件A表示“甲赢得比赛”，事件B表示“乙

赢得比赛”，P（A）＝＝，P（B）＝＝，，∴甲、乙二人中选派一人参加比赛，甲赢得比赛的概率更大．（Ⅱ）甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的对立事件是两个人都没有赢得比赛，∴甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率为：P＝1

﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣＝．21.【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，平面，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴.（2）存在，且2=DBPD，理由如下：如图，作的中点，连接，，由得，又∵，∴，平面，平面，∴平面，又∵，分别为，的中点，∴，平面，平面

，∴平面，∵，平面，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.22．(1)332；(2)15；(3)15AOM=，227(23)km4−﹒【解析】(1)在Rt△OAB中，tan∠OAB＝3，∴∠OAB＝60°，在AOM中，3OA=，32AM=，60OAM

OAB==，由余弦定理得222cosOMOAAMOAAMOAM=+−＝931923=422+−332；(2)设(060)AOM=，∵3OMNOAMSS=△△，∴11sin303sin22ONOMOAOM

=，即63sinON=，在OAN中，由正弦定理得，sinsinONOAAONA=，即63sin3sin60sin(3060)=++，即3363sin2cos=，即1sin22=，由02120，得230=，

∴15=，即15AOM=；(3)设(060)AOM=，由(2)知332cosON=，又在AOM∠中，由sin60sin(60)OMOA=+，得332sin(60)OM=+，∴113333127s

in30222sin(60)2cos28sin(260)43OMNSOMON===+++△，∴当且仅当26090+=，即15=时，OMN的面积取最小值为227(23)km4−﹒获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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