【文档说明】小题压轴题专练35—双曲线2—2022届高三数学一轮复习.docx，共(15)页，1.456 MB，由管理员店铺上传

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小题压轴题专练35—双曲线2一．单选题1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过2F且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，1FQ与y轴的交点为R，1FQPR⊥，则C

的离心率为()A．2B．3C．2D．52．已知1F，2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab−=的左右焦点，且2122||bFFa=，点P为双曲线右支上一点，I为△12PFF的内心，若1212IPFIPFIFFSSS=+成立，则下列结论不正确的是()A．512−=B．

离心率152e+=C．当2PFx⊥轴时，1230PFF=D．点I的横坐标为定值a3．设直线l与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=交于A，B两点，若M是线段AB的中点，直线l与直线(OMO

是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线C的离心率为()A．2B．3C．2D．34．过双曲线2222:1(0)xyCbaab−=的焦点1F作以焦点2F为圆心的圆的一条切线，切点为M，△12FFM的面积为232c，其中c为半焦距，线段1MF恰好被双曲线C

的一条渐近线平分，则双曲线C的离心率为()A．4B．2C．233D．2或2335．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点2F发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点1F．某双曲线方程为22221yxab−=，1F，2F为其下、上焦点，若从下焦

点1F发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（点A、1F、B三点共线），满足90ABC=，5tan12BAD=−，则该双曲线的离心率为()A．10B．102C．29D．2936．已知1F，2F分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点，A，B是C

右支上的两点，且直线AB经过点2F，若22||2||AFBF=，以12FF为直径的圆经过点B，则C的离心率为()A．173B．2C．5D．152+7．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F

，直线0xc−=与双曲线C的一个交点为点P，与双曲线C的一条渐近线交于点Q，O为坐标原点，若21233OPOFOQ=+，则双曲线C的离心率为()A．2B．355C．5D．38．已知双曲线2222:1(0)4xyCaaa−=−，点M是该双曲线右

支上的一点．点1F，2F分别为左、右焦点，直线1MF与y轴交于点P，2MPF的内切圆在边2PF上的切点为Q，若||3PQ=，则C的离心率为()A．533B．3C．3D．233二．多选题9．设1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦

点，过1F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若12FHHP=，且2||5PF=，则下列说法正确的是()A．2F到直线l的距离为aB．双曲线的离心率为132C．△12PFF的外接圆半径为513

2D．△12PFF的面积为1810．已知双曲线222:1(0)xCyaa−=的左、右焦点分别为1F，2F，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆22(2)1xy−+=与双曲线C的渐近线相切，则()A．双曲线C的离心率233e=B．当点P异于顶点时，△

12PFF的内切圆的圆心总在直线23x=−上C．||||PAPB为定值D．||AB的最小值为3211．已知双曲线22:14yCx−=，则()A．双曲线C的离心率等于半焦距的长B．双曲线2214xy−=与双曲线C有相同的渐

近线C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2D．直线(,)ykxbkbR=+与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，212．已知椭圆221:14xCy+=过双曲线22222:1(,0)xyCabab−=的焦点，1C的焦点恰为2C的顶点，1C与2C的交点按逆

时针方向分别为A，B，C，D，O为坐标原点，则()A．2C的离心率为233B．1C的右焦点到2C的一条渐近线的距离为3C．点A到2C的两顶点的距离之和等于4D．四边形ABCD的面积为867三．填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x

yCabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，过2F作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点．且Q为2PF的中点．若等腰三角形12PFF的底边2PF的长等于C的半焦距，则该双曲线C的离心率为．14．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F

，过2F的直线:125240lxy−−=与双曲线的右支交于A、B两点，若1AFB的角平分线为420xy−+=，则△1AFB的内切圆的标准方程为．15．已知双曲线22:1164xyC−=的左、右焦点分别是1F，2F，直线l过坐标原点O且与双曲线C交于点M，N．若12||||MNFF=，则

四边形12MFNF的面积为．16．圆锥曲线的光学性质（如图①所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，如图②，一个光学装置由有公共焦点1F，2F的椭圆C与双曲线C构成，一光线从左焦点1F发出，依次经过C与C的反射，又回到点1F，历时m秒；若将装置中的C去

掉，则该光线从点1F发出，经过C两次反射后又回到点1F历时n秒，若C与C的离心率之比为14，则nm=．小题压轴题专练35—双曲线2答案1．解：由双曲线的对称性，不妨设P在x轴上方，因为PQ过2F且垂直于x轴，

故2(,)bPca，2(,)bQca−，所以直线1FQ的方程为：2()bayxccc=+−−，整理得2222bbyxaca=−−，则2(0,)2bRa−，因为1FQPR⊥，故2222()12bbbaacac+

−=−，所以232bac=，即223()2caac−=，由cea=，化简整理得：23230ee−−=，解得3e=，所以C的离心率为3，故选：B．2．解：2122||bFFa=，2222222bcacaa−==，整理得210ee−−=，1e，152e+=

，故B正确；设△12PFF的内切圆半径为r，由双曲线的定义得12||||2PFPFa−=，12||2FFc=，111||2IPFSPFr=，221||2IPFSPFr=，12122IFFScrcr==，1212

IPFIPFIFFSSS=+，1211||||22PFrPFrcr=+，即12||||2(1)PFPFc−=−，故12||||115122152PFPFacce−−=====+，故A正确；当2PFx⊥轴时，22121||||2bPFFFa==，此时21212||1tan|

|2PFPFFFF==，1230PFF，故C错误；设内切圆与1PF、2PF、12FF的切点分别为M，N，T，可得||||PMPN=．11||||FMFT=，22||||FNFT=．由121212

||||||||||||2PFPFFMFNFTFTa−=−=−=，1212||||||2FFFTFTc=+=，可得2||FTca=−，可得T的坐标为(,0)a，即I的横坐标为a，故D正确．故选：C．3．解：设1(Ax，1)y，2(Bx，2

)y，M是线段AB的中点，12(2xxM+，12)2yy+，把1(Ax，1)y，2(Bx，2)y分别代入双曲线2222:1xyCab−=，得22112222222211xyabxyab−=−=，2212121212()()()()

0bxxxxayyyy+−−+−=，直线l的斜率2121212()()bxxkayy+=+，12(2xxM+，12)2yy+，(0,0)O，OM的斜率1212OMyykxx+=+，l与OM的斜率的乘积等于2，2212122

21212()2()bxxyybayyxxa++==++，2222aca=−，此双曲线的离心率3cea==．故选：D．4．解：由题意可得12MFMF⊥，设1MFt=，则222|4MFct=−，由△12FFM的面积为232c，可得22213422tctc−=，解得rc

=或3tc=，线段1MF恰好被双曲线C的一条渐近线平分，由三角形的中位线定理可得1MF垂直于渐近线0bxay+=，可得1F到渐近线的距离为22bcdbab−==+，其中c为半焦距，线段1MF恰好被双曲线C的一条渐近线平分，所以2bc=或23bc=，所以离心率233e=或2e=．又因为ba，所

以2231()23bea=+．故选：B．5．解：设2||BFn=，由sin5tancos12DABDABDAB==−，22sincos1DABDAB+=，可得5sin13DAB=，即15sin13BAF=，在

直角三角形2ABF中，可得213||5AFn=，12||5ABn=，由双曲线的定义可得113||25AFna=−，则112131||(2)2555BFnnaan=−−=−，由双曲线的定义可得21||||2BFBFa−=，即1

(2)25nana−−=，解得103na=，在直角三角形12AFF中，2||BFn=，11||25BFan=−，12||2FFc=，则2221(2)(2)5annc−+=，103na=，即22299ca=，可得293e=，故选：D．6．解：设2||BFm=，22||2||2A

FBFm==，12FF为直径的圆经过点B，1290FBF=，12||||2AFAFa−=，12||||2BFBFa−=，1||22AFam=+，1||2BFam=+，在△1AFB，△12FFB中，运用勾股定理可得，2222224(2)(2)9(22)cma

mammam=++++=+，解得173ca=，故离心率171733aceaa===．故选：A．7．解：由21233OPOFOQ=+，知P，Q，2F三点共线，且P在Q和2F的中间，不妨设P，Q均在第一象限，把xc=代入双曲线

方程，有22221cyab−=，得2bya=，则2(,)bPca，把xc=代入双曲线的渐近线byxa=，有bcya=，则(,)bcQca，21233OPOFOQ=+，(c，21)(3bca=，20)(,)3bcca+，即223bbcaa=，化简得23bc=，2253acb

c=−=，离心率33555cea===．故选：B．8．解：由双曲线的方程知，24c=，2c=，设内切圆与1MF，2MF分别相切于点A，B，||BMx=，2||BFy=，由内切圆的性质知，||||MAMBx==，22||||QFBFy==，由对称性知，122|||||

|||3PFPFPQQFy==+=+，11||||||||23MFMAAPPFxy=++=++，由双曲线的定义知，12||||23()232MFMFxyxya−=++−+==，3a=，离心率22333cea===．故选

：D．9．解：由题意得1||FHb=，||OHa=，如图过2F向1FP作垂线，垂足为Q，因为12FHHP=，所以1FHHQ=，即H是1FQ的中点，则OH为△12QFF的中位线，2||2FQa=，||HQb=，||PQb=，因此2F到直线l的距

离为2a，故A错误；在2QPF中，22425ba+=，又12||||2PFPFa−=，得到352ba−=，得3b=，2a=，13c=，所以双曲线的离心率132cea==，故B正确；121sinsinaPFFHFOc==，设△12PFF的外接圆半径R，因此212||551322sin213

PFRPFF===，所以5134R=，故C错误，△12PFF的面积1121211||||sin3231822aSFPFFPFFbcabc====．故D正确；故选：BD．10．解：双曲线的渐近线的1y

xa=，圆与渐近线相切，所以20211a=+，所以3a=，2c=，所以233e=，A正确．设，△12PFF内切圆与x轴相切与点M，则122FMFMa−=，故M的横坐标a，，记内心为N，则NM垂直于x轴，所以内切圆的方程为3xa==，B错误．设0(Px，0)y为双曲线上任一点，则它到

两渐近线的距离0023(3)1yxPA+=+，0023(3)1yxPB−=+，220034yxPAPB−=，C正确．过0(Px，0)y与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标．00333()yxyyxx=−−=−得交点0

0003331:(,)4444Axyxy−−+，同理得00003331(,)4444Bxyxy++，所以22200039334442AByxx=+=−…，D正确故选：ACD．11．解：双曲线22:14yCx−=的

焦点在x轴上，且1a=，2b=，5c=，渐近线方程为2yx=．对于A，双曲线C的离心率为5ca=，故A正确；对于B，双曲线2214xy−=的渐近线方程为12yx=，与双曲线C的渐近线不相同，故B错误；对于C，双曲线C的焦点到渐近线

的距离为2db==，故C正确；对于D，直线ykxb=+与双曲线C的公共点个数可能为0，1，2，故D正确．故选：ACD．12．解：对于A选项：椭圆221:14xCy+=的左右顶点分别为(2,0)−，(2,0)

，左右焦点分别为(3,0)−，(3,0)，由题意可知22222:1(,0)xyCabab−=的焦点(2,0)−，(2,0)，左、右顶点分别为(3,0)−，(3,0)，所以，3a=，2c=，1b=，所以双曲线的方程222:13x

Cy−=，因此2C的离心率为233cea==，故A正确；对于B选项：所以双曲线的渐近线方程为33yx=，即30xy=，因此，1C的右焦点(3,0)到直线30xy+=的距离为32d=，故B错误；对于C选项：由椭圆的定义可知，点A到2C的

两顶点的距离之和等于4，故C正确；对于D选项：联立22221413xyxy+=−=，得2224717xy==，所以，四边形ABCD的面积261864||4777Sxy===，所以四边形ABCD的面积为867，故D正

确，故选：ACD．13．解：连结1QF，由条件知12QFPF⊥，且2||2cQF=．由双曲线定义知1||22cQFa=+，在Rt△12FQF中，222(2)()(2)22ccac++=，即228470aacc+−=，即28470ee

+−=解得C的离心率22157e+=，故答案为：22157+．14．解：如图，设三角形1AFB的内切圆切AB于E，切1AF于G，切1BF于H，则由1212BFBFAFAF−=−，得1212()()BHHFBEEFAGGFAEEF+−+=+−−，22

EFEF−=，即20EF=，也就是E与2F重合．由1AFB的角平分线的方程为420xy−+=，可得1(2,0)F−，则2(2,0)F．设三角形1AFB的内切圆的圆心(,)Cab，则22420|12524|(2

)13ababab−+=−−−+=，解得12a=，58b=．三角形1AFB的内切圆的半径212513(2)2648r=−+=．三角形1AFB内切圆的标准方程为2215169()()2864xy−+−=，故答案为：2215169()()2864xy−+−=．15．解：由

题意如图：双曲线22:1164xyC−=，可知4a=，2b=，25c=，因为12||||MNFF=，所以四边形12MFNF是矩形，设1||MFm=，0m，则2||28MFmam=+=+，所以222(8)(45)mm++=，解得264m=−，四边形

12MFNF的面积为：(264)(264)24168−+=−=．故答案为：8．16．解：设椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，则12121222BFB

FaAFAFa+=−=，两式作差，可得1112||||||22BFAFABaa++=−，光线速度相同，121224aamna−=，由112214ceacea==，可得124aa=，则122212228234168aaaamnaa−−===．则83nm=，故答案为：83．