【文档说明】《2023年高考数学第一次模拟考试卷》数学（江苏A卷）（全解全析）.docx，共(23)页，1.825 MB，由envi的店铺上传

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2023年高考数学第一次模拟考试卷数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合()32,1,0,1,2,log11ABxx=−−=−∣，则AB=（）A．2,1,0,1

,2−−B．2,1,0−−C．1,0,1,2−D．1,0−【答案】B【解析】由()3310log11log32113xxxx−−=−−，所以AB=2,1,0−−，故选：B2．已知复数2i1iz−=−，则z的共轭复数z在复平面内对应的点

位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】依题意，(2i)(1i)3i31i(1i)(1i)222z−++===+−+，则31i22z=−所以复数z在复平面内对应的点31(,)2

2−位于第四象限.故选：D3．已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）A．1460B．1472C．1666D．1678【答案】C【解析】有两个等差数列2，6，10，…，198及

2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182，194是两个数列的相同项.共有194211712−+=个，也是等差数列，它们的和为21941716662+=，这个新数列的各项之和为1666.故选：C.4．

文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场，历史上地质宫广场曾被规划为伪满洲国的国都广场．文化广场以新民主大街道路中心线至地质宫广场主楼中央为南北主轴，广场的中央是太阳鸟雕塑塔，在地质宫（现为吉林大学地质博物馆）主楼辉映下显得十分壮

观．现某兴趣小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太阳鸟雕塑最顶端，B为太阳鸟雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点．测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角

仪可测得的角有ACB、ACD、BCD、ADC、BDC，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高度AB的是（）A．m、ACB、BCD、BDCB．m、ACB、BCD、ACDC．m、ACB、ACD、A

DCD．m、ACB、BCD、ADC【答案】B【解析】结合选项可知,mACB是必选条件，求AB的思路是：求得AC或BC中的一条，然后解直角三角形求得AB；或用AB表示,BCBD，利用余弦定理解

方程来求得AB.A选项，根据m、BCD、BDC，可利用正弦定理求得BC，从而求得AB.B选项，m、ACB、BCD、ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB.C选项，根据m、ACD、ADC，利用正弦

定理可求得AC，从而求得AB.D选项，由ACB、BCD借助直角三角形和余弦定理，用AB表示出,,BCBDACAD，，然后结合,mADC在三角形ACD中利用余弦定理列方程，解方程求得AB.所以B选项的条件不能计算出AB.故选：B5．已知函数()fx的部分图像如图，则函数()fx的解析式可能

为（）A．()()eesinxxfxx−=−B．()()eesinxxfxx−=+C．()()eecosxxfxx−=−D．()()eecosxxfxx−=+【答案】B【解析】由于图像关于原点对称，所以()fx为奇函数，对于A：由()()eesinxxf

xx−=−得：()()()()()eesineesinxxxxfxxxfx−−−=−−=−=，()fx为偶函数，故可排除A；对于D：由()()eecosxxfxx−=+得：()()()()()eecoseecosxxxxfxxxfx−−−=+−=+=，

()fx为偶函数，故可排除D；由图知()fx图象不经过点π,02，而对于C：ππ22ππeecos022f−=−=，故可排除C；故选：B6．在平行四边形ABCD中，2AB=，1AD=，60DAB=.对角线AC与BD交于点

O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.设ABa=，ADb=，则下列结论错误的是（）A．13EFAE=B．13AFab=+C．113AF=D．73AFAB=【答案】C【解析】对于A，取OB的中点G，连接CG，则//AECG且AECG=，即//

EFCGDEFDGC，则13EFDEGCDG==1133EFGCAE==，A选项正确；对于B，DEFDGC，则1133DFDEDFDCDCDG===131313abAFADDFADDCADAB=+=

+=+=+，B选项正确；对于C，13AFab=+，2222221121219221cos601393939AFabaabb=+=++=++=则193AF=，C选项错误；对于D，221

117221cos603333AFABabaaab=+=+=+=，D选项正确；故选：C.7．已知正实数a，b，c满足2eeeecaac−−+=+，28log3log6b=+，2log2cc+=，则a，b，c的大小关

系为()A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】B【解析】22eeeeeeeecaacccaa−−−−+=+−=−，故令()eexxfx−=−，则()eeccfc−=−，()eeaafa−=−．易知1eexx

y−=−=−和exy=均为()0,+上的增函数，故()fx在()0,+为增函数．∵2eeaa−−，故由题可知，2eeeeeeccaaaa−−−−=−−，即()()fcfa，则0ca．易知33222log3log6log362b=+=，2log2cc=−，作出函数2logyx=与

函数2yx=−的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c，cb，acb．故选：B．8．若logxaax（0a且1a）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1ee,+B．11,eeC．12e,+D．121,e

【答案】A【解析】当01a时，作出xya=()0x和logayx=()0x的图象，此时两个函数图象有一个交点，则logxaax不可能恒成立；当1a时，当01x时，1xa，log0ax

，不等式logxaax恒成立；当1x时，ln0,ln0xa，∵()lnlneexxaxaa==，∴由logxaax，得lnlnelnxaxa，即()()lnlnlnelnlnexaxxaxxx=，

令()0()euguuu=，则上面的不等式即为：(ln)(ln)gxagx，当0u时，0()(1)euguu+=，()gu单调递增，∴lnlnxax，∴只需lnlnxax在(1,)+上恒成立

，令ln()(1)xfxxx=，21ln()xfxx−=，当ex时，()0fx，()fx单调递减；当1ex时，()0fx，()fx单调递增，max1()(e)efxf==，由题意得1lnea，解得1eea．综上，实数a的取值范围是1ee,+．故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数()()sin0,2fxAx=+的图象如图所

示，则（）A．函数解析式()2sin23fxx=+B．将函数2sin26yx=−的图象向左平移4个单位长度可得函数()fx的图象C．直线1112x=−是函数()fx图象的一条对称轴D．函数()fx在区间,02−上的最大值为2【答案】

ABC【解析】由题图知：函数()fx的最小正周期453612T=−=，则22==，2A=，所以函数()()2sin2fxx=+．将点,212代入解析式中可得22sin6=+，则()262kkZ

+=+，得()23kkZ=+，因为2，所以3=，因此()2sin23fxx=+，故A正确．将函数2sin26yx=−的图像向左平移4个单位长度可得函数()2sin23fxx=+的图像，故B正确.()2sin23fxx=+

，当1112x=−时，()2fx=，故C正确.当,02x−时，23x+2,33−，所以()2,3fx−，即最大值为3，故D错误．故选：ABC．10．某高中校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生征文比赛，经评审，评出一、二

、三等奖作品若干（三等奖作品数是二等奖作品数的2倍），其中高一年级作品分别占25，25，35.现从获奖作品中任取一件，记“取出i等奖作品”为事件()1,2,3iAi=，“取出获奖作品为高一年级”为事件B，若(

)1110PAB=，则（）A．一、二、三等奖的作品数之比为1:1:2B．()3310PAB=C．9()20PB=D．()1815PBA=【答案】ABD【解析】依题意设一等奖x件，二等奖y件，则三等奖2y件，则高一年级获一，二

，三等奖作品数分别为226,,555xyy非高一年级获一，二，三等奖作品数分别为334,,555xyy因为()1215210xPABxyy==++，所以xy=则一、二、三等奖的作品数之比为::2xyy=1:1:2，故A正确；又因为()3635210yPA

Byyy==++，故B正确；226555()221xyyPBxyy++==++，故C错误；又因为()12625545yyPABy+==，且()12324yyPAxyy+==++所以()()()111285

3154PABPBAPA===，故D正确.故选:ABD.11．已知拋物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于()()1122,,,PxyQxy两点，点P在l上的射影为1P，则下列说法正确的是（）A．若125xx+=，则7PQ=B．以PQ为直

径的圆与准线l相切C．设()0,1M，则12PMPP+D．过点()0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【解析】由题意127PQxxp=++=，故A正确；拋物线2:4Cyx=的准线:1lx=−，122PxQx=++，则以PQ为直径的圆的半径1212xxr+=+，

线段PQ的中点坐标为1212,22xxyy++，则线段PQ的中点到准线的距离为1212xxr++=，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；拋物线2:4Cyx=的焦点为()1,0F，12PMPPPMPFMF+=+=，当且仅当,,MPF三

点共线时，取等号，所以12PMPP+，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为0x=，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为1ykx=+，联立214ykxyx=+=，消x得2440kyy−+=，当0k=时，方程得解为1y=，

此时直线与抛物线只有一个交点，当0k时，则16160k=−=，解得1k=，综上所述，过点()0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.故选：ABC.12．如图，在三棱锥ABCD−中，AB⊥平面,,,BCDBCCDBEACE⊥⊥为垂足点，

F为BD中点，则下列结论正确的是（）A．若AC的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值B．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值C．若BD的长为定值，则EF的长也为定值D．若CD的长为定值，则EFCD的值也为定值【答案】BCD【解析】取AD的中点O，∵AB⊥

平面BCDDB，平面BCD，∴ABBD⊥，∴12OBAD=,∵AB⊥平面BCD，DC平面BCD，∴ABCD⊥，∵,,BCCDBCABBBCAB⊥=，平面ABC，∴CD⊥平面ABC，AC平面ABC，∴CDAC⊥，∴12OCAD=，则OCOBOAOD===,∴O为外接球的球心

，AD是直径，该三棱锥外接球的半径为12AD，故B正确；由以上分析可知，22ADACCD=+,当AC的长为定值时,CD长是可变化的，不能推得AD为定值，故AC的长为定值时，则该三棱锥外接球的半径不一定为定值，A错误；由B的分析可知CD⊥平面,ABCBE平面ABC,故CDBE⊥，又BE

AC⊥，,,ACCDCACCD=平面ACD，∴BE⊥平面ACD，DE平面ACD，∴BEED⊥，∴12EFBD=，若BD的长为定值，则EF的长也为定值，故C正确；由以上分析可知CDBE⊥，CDEC⊥，故0CDBE=，0

CDEC=,由于F为BD中点，故11()()22EBEEFCDEDCDECCDCDB=+=++2211112222ECCDCDCDDEBC++=,故CD的长为定值，则EFCD的值也为定值，D正确；故选：BCD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分。13．已知多项式42345012343(3)(2)xxaaxaxaxaxax−+=+++++，则2a的值为______．【答案】40−【解析】依题意42345012343(3)(2)xxaaxaxaxaxax−+=+++

++，含2x的项为()13122222244C23C2327240xxxxxx+−=−=−，所以240a=−.故答案为：40−14．，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①mn⊥，②⊥，③m⊥，④n⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断

作为结论，写出你认为正确的一个命题：______.【答案】若②③④则①或若①③④则②(写出其中正确的一组即可)【解析】如图，若②③④则①，成立；如图，若①③④则②，成立；如图，若①②④则③，不成立；如图，若①②③则④，不成立；

故答案为：若②③④则①或若①③④则②(写出其中正确的一组即可)15．如图，1F，2F分别是双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点，且()17,0F−，过1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B．若2ABF△为等边三角形，则双曲线的方程为______【答

案】2216yx−=【解析】根据双曲线的定义，可得12||||2BFBFa−=，2ABF是等边三角形，即22BFABAF==，又21||||2AFAFa−=，1212||||||||2BFBFAFABBFa−=+−=，即1||2AFa=，21||||24AFAFaa=+=，12BFF△中，1

||6BFa=，2||4BFa=，12||27FF=，1260FBF=，222121212||||||2||||cos60FFBFBFBFBF=+−，即2221283616264282aaaaa=+−=，解得1a=，又7c=，由此可得：6b=，所以双曲线方程为：2

216yx−=.故答案为：2216yx−=.16．在2015年苏州世兵赛期间，某景点用乒兵球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，……堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就

放一个乒兵球．记第n堆的乒兵球总数为()fn．则(6)f=__________，()fn=__________．【答案】56(1)(2)6nnn++【解析】设第n堆从上往下第k()1,Nknk*＃?层的乒乓球数

为()ngk，由已知可得()(1)(2,N)nngkgkkknk−−=，所以()()212nngg-=，()()323nngg-=，，()()1nngkgkk--=，这1k−个式子

相加得到(1)(2)()(1)2nnkkgkg−+−=又(1)1ng=，所以()2()2,N2nkkgkknk+=，又=1k时211(1)12ng+==，所以()2()1,N2nkkgkknk+=，又()()()

()12nnnfngggn=++鬃?，所以()()()()()()()6666666123456fgggggg=+++++，所以()613610152156f=+++++=，因为当2n时，()()()()()()2111()(1)2112112236nkkgkkkkkkkkkkk+

==++−−=++−−+，所以当2n，nN时，()()()()()()()()()11112341233452341211666nfngnnnnnn=+创-创+创-创+鬃???--创+()()()()()()112341

2334523412116nfngnnnnnn轾=+创-创+创-创+鬃???--创+臌，又()11ng=，所以当2n，nN时，()()()126nnnfn++=，又()()1111fg==，12316创=，所以=1n时，()()()126n

nnfn++=，所以当nN时，()()()126nnnfn++=，故答案为：56，(1)(2)6nnn++.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且()14211nnSna+=−+，a1

＝1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设1nnnbaS=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明32nT．【解析】（1）因为()14211nnSna+=−+，所以()()142312nnSnan−=−+.两式相减，得()()

()1421232nnnananan+=−−−，即()()12121nnnana++=−所以当2n时，12121nnanan++=−，在()14211nnSna+=−+中，令1n=，得23a=，所以123211232121232553

121(2)23252731nnnnnnnaaaaannnaannaaaaannn−−−−−−−−===−−−−，又11a=满足，所以21nan=−所以()()()1212322nnaannn−−=−−−=，故数列

{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且21nan=−.（2）()2122nnnSnn−=+=，所以()()()112211==21221222222nnnbnnnnnnnnaS==−−−−−，当1n=时，1111312TaS==，当2n时，111111313124462222

22nTnnn+−+−++−=−−，所以32nT.18．（12分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①、②、③中任选一个作为条件解答下列问题.①向量()cos,1mB=与向量(),2nbca=+平行；②22abbc=+；③πππ1cos2cos22sinco

s242424ABBA−++=++.(1)确定角A和角B之间的关系；(2)若D为线段BC上一点，且满足3BDAD==，若34ab=，求b.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）若选①：因为()cos,1mB=与(

),2nbca=+平行，所以2cosaBbc=+，若选②：222222cos222acbbbccbbcBacaca+−++−+===，所以2cosaBbc=+，由正弦定理得2sincossinsinsinsin()ABBCBAB=+=++，即2sincossinsincoscossinABBA

BAB=++，即sincoscossinsinsin()ABABBAB−==−，因为(),0,πAB，()π,πAB−−，所以()πBAB+−=或BAB=−，则πA=（舍）或2BA=，即2BA=；若选③：依题意得2112sin2cos2sin2sin2222AAAB

−−+−=+π，所以2sin2cos2sin2cos222AAAB+−=，因为()0,πA，所以π0,22A，即sin02A，所以2sin2cos2sin2cos222AAAB+−=，即coscos2

AB=，因为π0,22A，()0,πB，所以2AB=，即2BA=.（2）因为34ab=，由正弦定理得3sin4sinAB=，由2AB=得：3sin24sinBB=，即6sincos4sinBBB=，又()0,πB，sin0B，可得2cos3B=，如图，过D向AB作

垂线，垂足为H，因为2cos3BHBBD==，解得2BH=.因为BDAD=，所以H是AB中点，4cAB==.因为BBAD=，2ABADCADB=+=，所以BADCADB==，方法1：在ACD中，222

2223(3)2cos2233ADACCDbaCADADACb+−+−−===，又34ab=，所以2249343bbb+−−=，即27409bb−=，解得367b=.方法2：易知AD是BAC的角平分

线，因为ABDACDSBDSCD=，即1sin21sin2ABADBADBDCDACADCAD=，所以ABBDACCD=，即433ba=−，得()433ab−=，又34ab=，解得367b=.19．（12分

）如图，在几何体ABCDE中，底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面,//BCEDE平面,ABCADDE⊥.(1)证明；DE⊥平面ACD；(2)若22ACCD==，设M为棱BE的中点，求当几何体ABCDE的体积取最大值时,AM与CD所成角的余弦值

.【解析】（1）过点D作DOAC⊥交AC与点O，∵平面ABC⊥平面ACD，且两平面的交线为AC,DO面ACD，∴DO⊥平面ABC,又//DE平面ABC,∴DODE⊥,又ADDE⊥且,,ADDODADDO

=平面ACD,∴DE⊥平面ACD;（2）过点E作ENBC⊥交BC与点N，连接ON,∵平面ABC⊥平面BCE，且两平面的交线为BC,EN平面BCE，∴EN⊥平面ABC,又//DE平面ABC,∴,DE到平面ABC的距离相等,∴//DOEN且DOEN=，故四边形DONE

为平行四边形，所以//ONDE,DE⊥平面ACD，则ON⊥平面,ACDOC平面ACD，故ONOC⊥,又因为45ACB=,所以,COONDEON==，而底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形,2AC=,故12112ABCS==,故1133ABCDEEABCEACD

ABCACDVVVENSDES−−=+=+111(1)333ENDEDODODE=+=+，又1CD=,222221DODEDOCOCD+=+==，令()01DExx=,令211(1)()(1)33xxfxDODE−+=+=,21()(12)31xfxxx+=−−,所以()fx在1(

0,)2单调递增，在1(,1)2单调递减，即13()24ABCDEVf=，当且仅当12DEx==时取得最大值，如图所示，以点O为原点以,,ONOCOD为,,xyz建立空间直角坐标系，则311313(0,,0),(1,,0),(,0,),(0,,0),(0

,0,)222222ABECD−−31335313(,,),(,,),(0,,)44444422MAMCD−==−,设AM与CD所成角为π,(0,]2，则||37cos37||||AMCDAMCD==，即当几何体ABCDE体积最大时，AM与CD所成角的余弦值为3737.20．（

12分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保

质保量”成为口罩生产线上的重要标语.(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次I的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为11

35P=，2134P=，3133P=.求批次I成品口罩的次品率Ip.(2)已知某批次成品口罩的次品率为()01pp，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为()p，记()p的最大值点为0p，改进生产线后批次J的

口罩的次品率0Jpp=.某医院获得批次I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求0p，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？附：()()()()()22nadbcKabcdac

bd−=++++()2PKk0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【解析】（1）批次Ⅰ成品口罩的次品率为()()()1233433323111113534

3335Ipppp=−−−−=−=．（2）100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率()()991100C1ppp=−．因此()()()()()999898100199110011100pppppp=−−−=−−．令()0p=，得0.01p=．当()0,0.0

1p时，()0p；当()0.01,1p时，()0p．所以()p的最大值点为00.01p=．由（1）可知，30.0935Ip=，J00.01pp==，故批次J口罩的次品率低于批次Ⅰ，故批次J的口罩质量优于批次Ⅰ．由条形图可建立22列联

表如下：核酸检测结果口罩批次合计IJ呈阳性12315呈阴性285785合计4060100()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++()2100125728340601585−=1006

0060020011.76510.8284060158517==．因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．21．（12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=过点()2,0A−．右

焦点为F，纵坐标为32的点M在C上，且AFMF⊥．(1)求C的方程；(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．【解析】（1）设点(),0Fc，其中220cab=−，则3,

2Mc，因为椭圆C过点()2,0A−，则2a=，将点M的坐标代入椭圆C的方程，222941cab+=，所以2294414bb−+=，解得3b=，因此，椭圆C的标准方程为22143xy+=；（2）设点()()0000,2,0Pxyx

y，则002PAykx=+，所以，直线PA的垂线的斜率为002xky+=−，由题可知()1,0F，故直线FQ的方程为()0021xyxy+=−−，在直线FQ的方程中，令2x=−，可得()0032xyy+=，即点()0032

2,xQy+−，所以，直线PQ的方程为()()()()()()020000000003232322222xyxxyyyxxyxyx+−++−−=+=++−+，即()()()()220002000032322232xyxyxyxxy+−+=+

−−++−，因为2200143xy+=，所以2200334xy=−，所以()()()()()2200002020003232243213223144xxxxyxxx−−+++===+−−+−，所以()()()()()()2200000000

323224222xyxyyxxyxyx+−+−=+−=−−+−+，所以，直线PQ过定点()2,0.22．（12分）已知函数()lnmxnfxx+=在()()1,1f处的切线方程为1y=.(1)求实数m和n的值；(2)已知()(),Aafa，()(),Bbfb是函数()fx的图象上两点，且()()

fafb=，求证：()()lnln1abab++.【解析】（1）由()lnmxnfxx+=，得()2lnmmxnfxx−−=.因为函数()fx在()()1,1f处的切线方程为1y=，所以()10fmn=−=，()11fn

==，则1mn==；（2）证明：由（1）可得，()ln1xfxx+=，()2lnxfxx−=，所以当()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；当()1,x+时，()0fx，()fx单

调递减.因为()(),Aafa，()(),Bbfb是函数()fx的图象上两点，且()()fafb=，不妨设0ab，且10ef=，所以11eab.由()()fafb=，得ln1ln1abab++=，即11111ln1lnaa

bb−=−.设11xb=，21xa=.设21xtx=，则1t，所以()()11221ln1lnxxxx−=−，即()111ln1lnlnxttx−=−−，故11lnln1tttxt−−=−.要证()()lnln1a

bab++，只需证11eab+，即证12exx+，即证()11etx+，即证()1ln1ln1tx++，即证()1lnln111ttttt−−++−，即证()()1ln1ln0tttt−+−.令()()()1ln1lnSttttt=−+−，1t，则

()()112ln11lnln111tStttttt−=++−−=+−++，证明不等式()ln1xx+；设()()ln1uxxx=+−，则()1111xuxxx−=−=++，所以当10x−时，()0ux；当0x时，()0ux

，所以()ux在()1,0−上为增函数，在()0,+上为减函数，故()()max00uxu==，所以()ln1xx+成立.由上还不等式可得，当1t时，112ln11ttt++，故()0St恒成立，故()St在()1,+上为减函数，则()()10

StS=，所以()()1ln1ln0tttt−+−成立，即12exx+成立.综上所述，()()lnln1abab++.