【文档说明】【精准解析】湖南省常德市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题.doc，共(17)页，2.906 MB，由小赞的店铺上传

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常德市一中2019年下学期高一年级期末考试试卷数学一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合1,0,1U=−，2|,AxxmmU==，则UAð=（）A.0,1B.1,0,1−C.D.

1−【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，再根据补集定义求补集．【详解】由题意2|,AxxmmU=={0,1}=，∴U{1}A=−ð．故选：D.【点睛】本题考查求集合的补集运算，解题关键是先确定集合本身的元素．2.已

知函数()21,222,2xxfxxxx+=−+，则()1ff−=（）A.12−B.2C.4D.11【答案】C【解析】【分析】利用分段函数()yfx=的解析式由内到外逐层计算()1ff−的值.【详解】()21,222,2

xxfxxxx+=−+，()()21123f−=−+=，因此，()()1133432fff−==+=−.故选：C.【点睛】本题考查分段函数值的计算，在计算多层函数值时，遵循由内到外的原则逐层计算，考查计算能力，属于基础题.3.下列函数中，是偶函数且在区间

()0,+上单调递减的是（）A.3yx=−B.21yx=−+C.2xy=D.2log||yx=【答案】B【解析】【分析】先确定奇偶性，再对偶函数确定单调性．【详解】A是奇函数，C中函数既不是奇函数也不是偶函数，BD两个都是偶函数，

B中函数在(0,)+上递减，D中函数在(0,)+上是增函数．故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.以点()1,1A−为圆心且与直线20xy+−=相切的圆的方程为（）A.22(1)(1)1xy−++

=B.22(1)(1)1xy++−=C.22(1)(1)2xy−++=D.22(1)(1)2xy++−=【答案】D【解析】【分析】求出A点到切线的距离即为圆的半径．从而可得圆方程．【详解】由题意11222r−+−=

=，∴圆方程为22(1)(1)2xy++−=．故选：D.【点睛】本题考查圆的标准方程，解题关键是求出圆半径．这可由圆的切线性质求出．5.已知,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，若,mn⊥⊥，且⊥，则下列结论一定正确的是（）A.mn⊥B.//mnC.m

与n相交D.m与n异面【答案】A【解析】试题分析：因为,mn⊥⊥，,mn所在向量分别是,的法向量，m⊥，n⊥，且⊥，所以mn⊥，故选A.考点：1、线面垂直的性质；2、面面垂直的性质.6.如图，四棱锥PABCD−的底面是正方形，侧棱PAAB⊥，PAAD⊥，

则它的五个面中，互相垂直的面共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对【答案】C【解析】【分析】先证明线面垂直，就会有面面垂直．【详解】首先由PAAB⊥，PAAD⊥，可得PA⊥平面ABCD，因此有平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，由,ABADPAAB⊥⊥可得AB

⊥平面PAD，从而有平面PAB⊥平面PAD，由//DCAB，又可得CD⊥平面PAD，从而平面PCD⊥平面PAD，同理平面PCB⊥平面PAB，共5对垂直平面．故选：C.【点睛】本题考查面面垂直的证明，注意面面垂直与线面垂直的相互转化．7.已知幂函数()fxx

=的图象过点1(2,)2，则函数()(2)()gxxfx=−在区间1[,1]2上的最小值是（）A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】C【解析】幂函数()fxx=的图象过点12,2，所以122=，有1=−.所以()1fxx=.()221xgxxx−==−在区间1,12

上单调递增.所以最小值为132g=−.故选C.点睛:本题考查幂函数的图象和性质,属于基础题.幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐

标轴相交，则交点一定是原点．对于函数f(x)＝xα,当0a时,函数在()0,+?单调递减;当0a时,函数在()0,+?单调递增;当0a=时,函数为常函数.8.已知直线1l：(3)(4)10kxky−+−+=与2l：2(3)230kxy−−+=

平行，则k的值是（）.A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2【答案】C【解析】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分

别为y=-1和y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k34k1/32k32−−=−−，可得k=5．综上，k的值是3或5，故选C．9.已知平面////，两条直线l，m分别与平面,,相交于点、、ABC和DEF、、，若6AB=，:2:5DEDF=，则AC=（）A.10B.15

C.18D.21【答案】B【解析】【分析】根据面面平行的性质定理得线线平行，然后由平行线分线段成比例可得．【详解】如图，若AC与DF不平行，则过A作//ANDF交于M，交平面于N，连接,,,,ADEMFN

MBNC，∵//ANDF，所以,ANDF共面，平面ANFDAD=，平面ANFDEM=，平面ANFDFN=，////，∴////ADEMFN，∴DEAMDFAN=，同理相交直线,ANAC确定平面ANC与平面，分

别交于,BMCN，因此//BMCN，∴AMABANAC=，所以ABDEACDF=，即625AC=，15AC=，若//ACDF，上面的M就是B，N就是C，同理可得．故选：B.【点睛】本题考查平面平行的性质定理，掌握

平面平行的性质定理是解题关键．由平面平行得出直线平行，再由平行线性质易得线段比相等．10.已知直线3lyxm：=+与圆22(3)6Cxy+−=：相交于,AB两点，若22AB=，则实数m的值等于()A.7−或1−B.1或7C.1−或7D.7−或1【答案】C【解析】由圆()22:36Cxy+−=

可知，圆心坐标为()0,3，圆半径为6,22,22ABrAB===，由勾股定理可知，圆心到直线:3lyxm=+的距离为362213m−−==+，解得1m=−或7m=.故选C．11.在正四棱锥PABCD−中，2PA=，直线P

A与平面ABCD所成的角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A.90B.60C.45D.30【答案】C【解析】试题分析：连接ACBD，交于点O，连接OEOP，.因为E为PC中点，所以OEPA，所以OEB即为异面直线与所成的角．因为四棱锥CD−为

正四棱锥，所以POABCD⊥平面，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与面ABCD所成的角，即60PAO=，因为2PA=，所以11OAOBOE===，．所以在直角三角形EOB中45OEB=，即面直线与所成的角为45故选C．考点：直线与

平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论．12.设是定义在R上的

偶函数，且(2)(2)fxfx+=−时，当[2,0]x−时，()2()12xfx=−，若()2,6−在区间内关于x的方程()log(2)0(0afxxa−+=且1)a有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）A.(1,14)B.(1,4)C.(1,8)D

.(8,)+【答案】D【解析】【分析】由偶函数得(2)(2)(2)fxfxfx+=−=−，从而可得()fx是周期函数，且周期为4，这样可作出函数()yfx=的图象，再作log(2)ayx=+的图象，只能有1a，它们在()2,6−内有四个交点。由此可得不等关系式log8

1a，从而得解。【详解】∵()fx是偶函数，∴(2)(2)fxfx−=−，∴对于任意的xR，都有()()22fxfx−=+，所以()()()()42222fxfxfxfx+=++=+−=，所以函数()f

x是一个周期函数，且4T=，又因为当20x−，时，()2()12xfx=−，且函数()fx是定义在R上的偶函数，若在区间()2,6−内关于x的方程()()log20afxx−+=恰有4个不同的实数解，则函数()yfx=与()()log21ayxa=+在区间()2,6−上有四个不同的交点，

作函数y=()fx和log(2)ayx=+的图象，只能如下图所示：又()()()2261fff−===，则对于函数()log2ayx=+，由题意可得，当6x=时的函数值小于1，即log81a，由此解得8a，所以

a的范围是()8+，，故选：D.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的分布问题，解题关键是把问题转化为函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解。二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13.若函数2()2(1)2fxxax=+−+在区间1,2−上单调，则实数a的取值范围是___

_______.【答案】(,1][2,)−−+【解析】【分析】()fx是二次函数，只要对称轴不在区间内部，则满足题意．【详解】()fx的对称轴是1xa=−，由题意11a−−或12a−，解得2a或1a−．故答案为

：(,1][2,)−−+．【点睛】本题考查二次函数的单调性，二次函数的单调性取决于对称轴所在位置．主要是二次函数在对称轴的两侧单调性相反．14.如果(2,0),(0,1),(,3)ABCk三点在一条

直线上，则k=______________.【答案】4−【解析】【分析】由ABACkk=可得．【详解】过(2,0),(0,1)AB两点的直线方程为121xy+=，而(2,0),(0,1),(,3)ABCk共线，∴3121

k+=，解得4k=−．故答案为：4−．【点睛】本题考查三点共线，解法很多．如斜率相等（要求斜率存在），向量平行//ACAB，线段长度：ABBCAC+=等等．15.若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是_____．【答案】x﹣y﹣3=0.【解析】圆（

x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为弦AB的中点，PC的斜率为01112+=−−∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程y+1=1×（x﹣2），即x﹣y﹣3=0，故答案为x﹣y﹣3=0．16.已知正三棱锥PABC−的正视图和俯视图如图所示

，则此三棱锥的外接球的表面积为____________.【答案】643【解析】【分析】由三视图观察出原正三棱锥中的尺寸，求得棱长，然后由正三棱锥与外接球关系求半径，得面积．【详解】由三视图知正三棱锥的底面边长为23，斜高为13，如图，

正三棱锥PABC−，23BC=，斜高13PD=，则侧棱长为22133)4PC=+=（）（，设M是底面ABC中心，则,,AMD共线，且2AMMD=，PM是正三棱锥的高，其外接球球心O在PM上．设半径为R．22332323323AMADBC====

，所以22224223PMPAAM=−=−=．在PAM中，222OAAMOM=+，所以2222(23)RR=+−，解得433R=．22436444()33SR===．若O在AM延长线上，则2222(23)RR=++，433R=−，舍去．故答案为：643．【点睛】本题考查求球的表面积，考

查三视图，正三棱锥与外接球的关系．解题关键有两个，一个是由三视图看出正三棱锥中的线段的长度，一个是确定外接球球心位置．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()lg(21)fxx=−的定义域为A，集合{|||}(0)

Bxxaa=（1）若2a=，求AB和AB；（2）若()RRABA=痧，求a的取值范围.【答案】（1）[2,)AB=−+，1(,2]2AB=；（2）1(0,]2．【解析】【分析】（1）求出集合,AB后可求它们的并集和交集；（2）由()RRABA=痧得RBAð

，由集合包含关系可得a的不等关系．【详解】由210x->得12x，∴11{|}(,)22Axx==+，（1）2a=，由2x得22x−，即[2,2]B=−，∴[2,)AB=−+，1(,2]2A

B=．（2）由（1）R1(,]2A=−ð，由()RRABA=痧得RBAð，因为0a，由xa得axa−，即[,]Baa=−，∴12a．∴a的取值范围是1(0,]2．【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，考查集合的包含关系．掌握求对数型复合函数定义域是解题基础．18.已知直线l经过点(

)2,1P−.（1）若直线l平行于直线4310xy++=，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】（1）4350xy++=；（2）12yx=−或10xy++=．【解析】【分析】（1）由平行，可设所求直线

方程为430xym++=，代入已知点坐标可得；（2）分截距为0和截距不为0两种情况，截距不为0时可设直线方程为1xyaa+=．【详解】（1）由题意设直线l方程为430xym++=，∵直线过点(2,1)P−，∴4(2)310m−++=，5m=，所以直线

l方程为4350xy++=．（2）当截距为0时，设方程为ykx=，则12k=−，12k=−，直线方程为12yx=−，当截距不为0时，设直线方程为1xyaa+=，则211aa−+=，1a=−，直线方程为011x

y++=−−，即10xy++=．∴直线l方程为12yx=−或10xy++=．【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线位置关系，在截距相等问题中要注意分类，分截距为0和不为0两种情形．19.如图四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四

个侧面是侧棱长为5的等腰三角形，E为AB的中点，F为PC的中点.（1）证明：//BF平面PDE；（2）求三棱锥EBDF−的体积【答案】（1）见解析；（2）36【解析】【详解】试题分析：（1）第（1）问，把证明//BF平面//PDEBFEG转化成证明.也可以转化成证明

面面平行.（2）第（2）问，利用体积变换求解，18EBDFFBDEPABCDVVV−−−==利用得解.试题解析：（1）∵取PD的中点为G，连GE、GF，∵F为PC的中点，∴1GF//CD2==．∵ABCD为正方形，E为AB的中点，∴1BE//CD2==，∴BE//GF==．∴

四边形BEGF是，∴BF//EG．又∵BFPDE,EGPDE平面平面，故BF//平面PDE．（2）∵F为PC的中点，14BDEABCDSS=正方形，∴18EBDFFBDEPABCDVVV−−−==，∵VABCD

−为正四棱锥，∴P在平面ABCD的射影为AC的中点O，∵5PA=，2AO=，∴3PO=，∴21432333PABCDV−==，∴36EBDFV−=．20.已知定义域为R的函数12()22xxbfx+−+=+是奇函数．（1）求b的值；（2）判断并证明函数()fx的单调性

．【答案】（1）b=1；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用奇函数定义，由()0f=0求b的值；（2）根据单调性的定义，设12xx，作差()()()()211212222121xxxxfxfx−−

=++，判号即可得出()()12fxfx，即可得出结论.【详解】(1）因为()fx是R的奇函数，所以()0f=0，即10122bb−==+,经检验b=1符合题意.（2）由（Ⅰ）知()1121122221xxxfx+−==−+++，设12xx，则()()()()

21121212112221212121xxxxxxfxfx−−=−=++++，因为函数y=2x在R上是增函数且12xx∴2122xx−>0，又()()122121xx++>0∴()()12fxfx−>0即()()12fxfx∴()fx在(),−+上为减函数．【点睛】本题主要考查

函数奇偶性与单调性的综合应用,掌握定义法证明单调性的步骤是关键.21.如图，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，4PAPBPCAC====，O为AC的中点.（1）求证：PO⊥平面ABC；（2）若点

M为棱BC的中点，求点C到平面POM的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）POCA⊥易得，再由勾股定理逆定理证明POOB⊥，即可得线面垂直；（2）由（1）可证明CM⊥平面POM，距离即得．【详解】（1）连接OB

，∵PAPC=，O是AC中点，∴POAC⊥，22224223POPCOC=−=−=，又22,4ABBCAC===，222ABCBAC+=，∴ABBC⊥，所以122OBAC==，而4PB=，所以222PBBOOP=+，∴OBPO⊥，

ACOBO=，,ACOB都包含于平面ABC，∴PO⊥平面ABC；（2）由（1）PO⊥平面ABC，可得POCB⊥，又M是BC中点，∴//OMAB，而ABBC⊥，∴OMCB⊥，OMPOO=，所以CB⊥平面POM，所以CM的长就是C到平面POM的距离.122CMCB==．即C到平面P

OM的距离为2．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求点到平面的距离．掌握线面垂直的判定定理是解题基础．求点平面的距离可通过平面的作垂线段求解，也可通过体积法求解．22.已知以点C2(,)tt（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于

点O和点B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．【答案】（1）证明见解析（2）圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5【解析】【分析】（

1）先求出圆C的方程（x－t）2＋22)yt−（＝t2＋24t，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB的面积为定值；（2）根据212t=t得到t＝2或t＝－2，再对t分类讨论得到圆C的方程．【详解】（1）证明：因为圆

C过原点O，所以OC2＝t2＋24t.设圆C的方程是（x－t）2＋22)yt−（＝t2＋24t，令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，所以S△OAB＝12OA·OB＝12×|2t|×|4t|＝4

，即△OAB的面积为定值．（2）因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN＝－2，所以kOC＝12.所以212t=t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），OC＝5，此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d

＝15<5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝955.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．所以圆C的方程为（x－2）2＋

（y－1）2＝5.【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.