【文档说明】专题2.3苏州卷（压轴9道+变式45道）-【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练（原卷版）.docx，共(24)页，511.143 KB，由管理员店铺上传

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【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练专题2.3苏州卷（压轴9道+变式45道）说明：本专辑精选了2021年苏州卷失分较多和难度较大的题目9道，分别是第9题平行四边形的性质问题、第10题动点函数图象问题、第17题特殊四边形的有关计算问题、第18题有关图形变换

的综合计算问题、第24题反比例函数的图形与性质问题、第25题圆有关综合计算与证明问题、第26题二次函数综合问题、第27题函数应用综合问题、第28题相似与几何性质综合问题，每道题精讲精析，配有变式练习各5道，苏州模拟变式训练题共45道.

【压轴一】平行四边形的性质【真题再现】（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC=√6，则B′D的长是（）A．1B．√2C．√3D．√

62【变式训练】【变式1.1】（2021•苏州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（）A．3B．4C．92D．5【变式1

.2】（2021•江都区二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的

最大值与最小值的差为（）A．1B．√3−1C．√32D．2−√3【变式1.3】（2021•苏州模拟）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）A．12B．15C．18D．21【变式1.4】（2021春•苏州期末）

如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点F、G，再分别以点FG为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥DE，AE＝5，DE＝3，则▱ABCD的面积为（）A．15B．20C．2

8D．32【变式1.5】（2021•常熟市模拟）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5B．103C．256D．25

3【压轴二】动点函数图象问题【真题再现】（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为

半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式训练】【变式2.1】（2021•苏州二模）用一段长为20m的篱笆

围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式2.2】（2020•姑苏区一模）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F

运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．52B．2C．√5D．2√5【变式2.3】（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线

l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【变式2.4】（2020秋•苏州期末）在数轴上，点A表示﹣2，点B表示4．P，Q为数轴上两点，点P从点A出

发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q到达原点O后，立即以原来的速度返回，当点Q回到点B时，点P与点Q同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，点P与点Q之间的距离为y个单位长度，则下列图象中表示y与x

的函数关系的是（）A．B．C．D．【变式2.5】（2021•姑苏区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6√2，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的

中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为52．【压轴三】特殊四边形的有关计算【真题再现】（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=√5，则对角线BD的长为2√5.（结果保

留根号）【变式训练】【变式3.1】（2021•工业园区一模）如图，是小明家客厅地面铺设的瓷砖图案，其中四边形ABCD是正方形，阴影部分是四个全等的菱形，且点A、E、F在同一条直线上．已知菱形较短的对角线长为20cm，则正方形ABCD的面积为（2400+1600√2）cm2．【变

式3.2】（2021•苏州一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是2√2．【变式3.3】（2021春•苏州期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，

作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为2√5．【变式3.4】（2021春•姑苏区期末）如图，菱形ABCD的边长为√3，∠ABC＝60°，点M是CD边上任意一点（可以与点C或点D重合），分别过点A、C、D作射线BM的垂线，垂足分

别是E、F、G，设AE+CF+DG＝m，则m的取值范围是√3≤𝑚≤3．【变式3.5】（2021春•高新区校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时

，DE的长为2或18．【压轴四】有关图形变换的综合计算【真题再现】（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转

得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝245．【变式训练】【变式4.1】（2021•工业园区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕BC的中点D旋转得△EF

G，连接CE，则CE的最大值为2+√13．【变式4.2】（2021•苏州二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+P

N+MN的最小值是245．【变式4.3】（2021•姑苏区一模）如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，P是AD上一动点，连接BP，则BP+12AP的最小值是√32．【变式4.4】（20

21•姑苏区校级二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为5．【变式4.5】（2021春•苏州期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图

案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD边沿CF折叠，D点的对应点为D'，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B′处折痕与AB边交于E．若正方形边长为√3，连接EF，则△AEF的面积＝2−√3．【压轴五】反比例函数的图形

与性质【真题再现】（2021•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）的图

象经过点B，求k的值．【变式训练】【变式5.1】（2021•姑苏区一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=4𝑥在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，点B坐标为（5，n）．（1）求n的值和点C的坐

标；（2）若D是AB的中点，求OD的长．【变式5.2】（2021•昆山市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝3

，AB＝4．若双曲线y=𝑘𝑥（k≠0）交边AB于点E，交边AC于中点D．（1）若OB＝2，求k；（2）若AE=38AB，求直线AC的解析式．【变式5.3】（2021•姑苏区校级二模）如图直线y1＝﹣x+4，y2=34

x+b都与双曲线y=𝑘𝑥交于点A（1，3），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞𝑘𝑥的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是（−23，0）或（53，0）

．【变式5.4】（2021•苏州模拟）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y=𝑘𝑥在第一象限的图象经过点D，交BC于E．（1）当点E的坐标为（3，n）时，求n和k的值；（2

）若点E是BC的中点，求OD的长．【变式5.5】（2021•苏州模拟）已知，如图1，直线l与反比例函数y=𝑘𝑥（k＞0）位于第一象限的图象相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于E、F．（1）试判断AE与BF

的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将直线l绕点A顺时针旋转，使其与反比例函数y=𝑘𝑥的另一支图象相交，设交点为B．试判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由．【压轴六】圆有关综合计算与证明【真题再现】（2021•苏州

）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【变式训练】【变式6.1】（2021•姑苏区校级二模）如图，以线段AB为直径的⊙O交△ABC边BC于点D，

连接AD，作∠ADB平分线DE交AB于点F，交⊙O于点E，连接AE，作AG⊥DE于点G，连接OG，∠CAD＝∠E．（1）求证：AC为⊙O切线；（2）求证：OG⊥AD；（3）若tanC＝2，△OFG的面积为S，求△DAE的面积（

用S的代数式表示）．【变式6.2】（2021•苏州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B＝28°，求𝐴𝐷̂的度数；（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分

的面积；（3）若AC=√3，求AD•AB的值．【变式6.3】（2021•姑苏区一模）如图①，周长为12的矩形ABCD内接于⊙O，设AB的长为x．（1）当x＝2时，⊙O的半径为√5；（2）如图②，D是弧AC的中点，设阴影部分的面

积为S，求S的值；（3）如图③，连接AC并延长，试问在AC的延长线上是否存在一点E，连接DE，使得DE与⊙O相切，且CE=12AC，若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．【变式6.4】（2021•工业园区校级模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最

美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若BC＝2OC，求DE长；（3）当∠A

从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【变式6.5】（2021•苏州模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD＝2∠CAB

；（2）连接AD，若sin∠BAD=35，且BF＝2，求⊙O的半径．【压轴七】二次函数综合问题【真题再现】（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点

（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值

等于125时，求m的值．【变式训练】【变式7.1】（2021•姑苏区校级二模）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）点B（3，0）和点C（0，2），连接AC，线段AB上有一动点P，过点P作AC的平行线交直线BC

于点D，交抛物线于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段DE的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线EF交BC于点F，连接PC，若以点C、D、P为顶点的三角形和△EFD是相似三角形，求此时

点P坐标．【变式7.2】（2021•苏州二模）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这

两个函数互为“N”函数．（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分

别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．【变式7.3】（2021•工业园区校级模拟）立志成为数学

家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：如图1，点M，N在线段AB上，点M在点N的左侧，若线段AM，MN，NB满足AM2+NB2＝MN2，则称点M、N是线段AB的钻石分割点．（1）【类比探究】如图2，D、E是AC、BC上两点，且DE∥A

B，M、N是AB边的钻石分割点，连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的钻石分割点．（2）【知识迁移】如图3，点P（a，b）是反比例函数𝑦=8𝑥（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+4与坐标

轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的钻石分割点．（3）【拓展应用】如图4，已知一次函数y＝﹣2x+6与坐标轴交于A、B两点，与二次函数y

＝x2﹣4x+m交于C、D两点，若C、D是线段AB的钻石分割点，求m的值．【变式7.4】（2021•工业园区校级模拟）已知抛物线W：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且关于

直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线W的解析式和顶点坐标；（2）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【变式7.5】（2021•高新区一模）如图，在平面直角坐标系xO

y中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝8．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设BC的中点为M，连接OM．①探究：在点A移动的过程

中，∠MOA的度数是否会发生变化？若发生变化，请求出∠MOA度数的取值范围；若不发生变化，请求出∠MOA的度数；②当OM取最大值时，设过点D、C、M三点的抛物线与直线AB交于点N，请求出点N的坐标．【压轴八】函数应用综合问题【真题再现】（2021•苏州）如图①，甲、乙都是高

为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．（1

）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2

小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，

其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：①求a的值；②求图③中线段PN所在直线的解析式．【变式训练】【变式8.1】（2021•高新区一模）某商场代理销售一种货物，四月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如

图中折线所示．请你根据图象及这种货物的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到4月8日，该商店销售这种货物一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录4月1日库存1000kg

，成本价10元/kg，售价12元/kg（除了促销期间降价，其他时间售价保持不变）4月8日从4月1日至今，一共售出200kg4月9、10日这两天以成本价促销，之后售价恢复到12元/kg4月11补充进货200kg，进价10.5元/kg日4月30日12

00kg水果全部售完，一共获利1500元【变式8.2】（2021•苏州一模）苏州市体育中考项目中学生可以选择篮球运球和排球垫球两个项目，学校为了给九年级学生加强平时的练习，体育组向苏州政府采购网上申请添置一批中考专用的同一型号的篮球与排球，政

府采购网上接到申请后马上进货，已知每个排球的进价是每个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．（1）问每个篮球、排球的进价各是多少元？（2）若政府采购网计划添置篮球和排球共10

0个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，每个篮球的售价定为100元，每个排球的售价定为90元，如果政府采购网将添置的篮球、排球全部销售给学校，请问该政府采购网购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？【变式8.3】（2021•姑苏区一模）小明从甲地匀速步行前往乙地，同时小

红从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系如图中折线所示．（1）小明与小红出发30min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达乙地．①求小明和小红的步行速度；②求出点C的坐标，并解释点C的实际意义．【变式8.4】（2021•苏州模拟

）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向分别以不同的速度匀速跑步1200米，先到终点的人在原地休息已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．设甲的速度为V1米/秒

，乙的速度为V2米/秒．（1）𝑉1𝑉2=56，a＝75；（2）求图中线段BC所在直线的表达式．【变式8.5】（2021•苏州二模）苏州轨道交通1号线是苏州市第一条建成运营的地铁线路，于2012年4月28日开通运营，现有甲列车从1号线站台A开往站台B，

途经站台C，乙列车从站台C开往站台A，甲、乙两列车的平均速度相同，两列车距离站台C的路程y（km）与行驶时间t（min）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲、乙两列车的平均速度是0.5km/min，图中m＝16；（2）直接写出甲列车出发几分钟后，两列车距离站台C的路程和为5k

m．【压轴九】相似与几何性质综合问题【真题再现】（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝

PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．（1）四边形EBHP的面积＝四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；（3）设四边形PP1QP2的面

积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求𝑆1𝑆2的值．【变式训练】【变式9.1】（2021•姑苏区校级二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝6，BC＝8，点M、N分别在线段AC、BC上，将△

ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是点C′．（1）当M、N分别是边AC、BC的中点时，求出CC′的长度；（2）若CN＝2，点C′到线段AB的最短距离是85；（3）如图2，当点C′在落在边AB上时，①点C′运动的路程长度是4；②当AM=3611时，求出CN的长度．【变式9.2】（

2021•苏州模拟）已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（

1）如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【变式9.3】（2021•姑苏区一模）定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，

则称点P为△ABC的“理想点”．（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=√2，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．【变式9.4】（2021•

姑苏区一模）定义：如果三角形的三个内角中有一个角是另一个角的两倍，那么这样的三角形称为“智慧三角形”．（1）【理解】若△ABC是“智慧三角形”，∠A＝120°，则∠B的度数是40°或20°；（2）【证明】如图1，在△A

BC中，AB＝AC，若AB2＝BD•BC．求证：△ACD是“智慧三角形”；（3）【运用】如图2，△ABC是“智慧三角形”，∠C＝2∠B，若BC＝11，AC＝5，求AB的长．【变式9.5】（2021•苏州模拟）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐴

𝐶，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为√5−12．（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为（10√5−10）cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点

B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB

与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．