【文档说明】专题1-1 空间向量与立体几何12类选填小题专练（原卷版）.docx，共(19)页，2.092 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-1空间向量与立体几何12类选填小题专练知识点梳理题型一通过基底表示目标向量题型二空间向量的基底题型三空间向量共面问题题型四空间向量平行或垂直题型五投影问题题型六夹角问题题型七空间向量数量积题型八利用空间向量求模长题型九立体图形中的极化恒等式题型十点到平面距离问题题型十一

利用空间向量求最值与范围题型十二综合性问题知识点梳理一、空间向量的基本定理1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2．基底：我们把

{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．二、共面向量1．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥

b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb2．直线l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一

点，则∃λ∈R使得OP＝λa.定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．3．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有AP―→＝xAB―→＋yAC―→或OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOC―→(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示

出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．4．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)MP―→＝xMA―→＋yM

B―→；(2)对空间任一点O，OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→；(3)对空间任一点O，OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOM―→(x＋y＋z＝1)；(4)PM―→∥AB―→(或PA―→∥MB―→或PB―→∥AM―→)．三、投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将

向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．(3)向量a在平面β上的投影如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂

线，垂足分别为A′，B′，则向量A′B′――→(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．四、夹角问题1.两异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v||u||v|.注意

：两异面直线所成角的范围是0，π2，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．2.直线和平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝|u·n||u||n|.注意：(1)直线与平面所成的角，可以转化

为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．(2)线面角的范围为0，π2.(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．3.两个平面的夹角（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？区别：二面角的范围是[0

，π]，而两个平面的夹角的范围是0，π2.（2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？提示两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

n1·n2|n1||n2|＝|n1·n2||n1||n2|.注意：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题．(2)两平面的夹角的范围是0，π2.(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．五、极化恒等式在三角形ABC

中（M为BC的中点），则22ABACAMBM=−证明（基底法）：因为2BCBM=，ABCM所以()()22ABACAMMBAMMCAMBM=++=−题型一通过基底表示目标向量1．在四面体OABC−中，设,,

OAaOBbOCc===，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=（）A．111244abc++B．111232abc+−C．111344abc++D．111344abc−+2．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是

DF的中点，若DAa=，DBb=，DCc=，则A．1144abc−+B．1122abc−+C．1144abc++D．1122abc++3．如图，已知空间四边形OABC，,MN分别是,OABC的中点，且OAa=，OBb=，OCc=，用,,abc表示向量MN为（）A．11122

2abc++B．111222abc−+C．111222abc−++D．111222abc−+−4．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且13NENM=，用向量,,OAOBOC表示OE为（）A．16OEOAOBOC=++B．11

1333OEOAOBOC=++C．111663OEOAOBOC=++D．111633OEOAOBOC=++5．在正四面体APBC−中，过点A作平面PBC的垂线，垂足为Q点，点M满足34AMAQ=，则PM=（）A．

131444PAPBPC−+B．111444PAPBPC++C．131444PAPBPC++D．113444PAPBPC−+6．如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中

点，若1AC=，则1122ABBCBD++=______．题型二空间向量的基底7．给出下列命题:①若,,abc可以作为空间的一组基，d与c共线，0d，则,,abd也可作为空间的一组基；②已知向量//ab

，则,ab与任何向量都不能构成空间的一组基；③,,,ABMN是空间四点，若,,BABMBN不能构成空间的一组基，那么,,,ABMN共面；④已知,,abc是空间的一组基，若mac=+，则,,abm也

是空间的一组基.其中真命题的个数是（）.A．1B．2C．3D．48．设xab=+，ybc=+，zca=+，且{},,abc是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（）A．{,,}xyzB．{,,}xyaC．{,,}bczD．{,,}abx9．已知,,abc是不共面的三

个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（）A．3,,2aabab−+B．2,2,2bbaba−+C．,2,abbc−D．,,cacac+−10．已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则一定有（）A．OA，OB，OC共线B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．OAOB+与OC共线D．O，A，B，C四点共面11．已知,,abc是空间的一个基底，则下列说法错误．．的是（）A．若xyz++=0abc，则0xyz===B．,,abc两两共面，但,,abc不共面C．一定存在x，y，使得axbyc=+D．,,2abbcca+−+一定能构成空间的一个基底12．

已知向量,,abc是空间的一个基底，向量,,ababc+−是空间的另一个基底，一向量p在基底,,abc下的坐标为()1,2,3−，则向量p在基底,,ababc+−下的坐标为（）A．13,,322−B．31,,322

−C．133,,22−D．13,,322−−13．已知()2,1,3a=−，()1,4,2b=−−，()7,5,c=r，若,,abc不能构成空间的一个基底，则实数的

值为（）A．0B．357C．9D．657题型三空间向量共面问题14．下列条件能使点M与点,,ABC一定共面的是（）A．OMOAOBOC=−−B．OMOAOBOC=++C．12OMOAOBOC=−−+D．3OMOAOBOC=−−+15．（多选）下列各组向量中共面的有（）A．a=

（1，2，3），b=（3，0，2），c=（4，2，5）B．a=（1，2，-1），b=（0，2，-4），c=（0，-1，2）C．a=（1，1，0），b=（1，0，1），c=（0，1，-1）D．a=（1，1，1），b=（1，1，0），c=（1，0，1）16．已知(2,1,3),(1,4,2),(

1,3,)abc=−=−−=，若,,abc三向量共面，则实数等于（）A．4B．3C．2D．117．已知,,abc是空间的一组基底，其中23ABab=−，ACac=−，2ADbc=+.若A，B，C

，D四点共面，则λ=（）A．34−B．34C．43D．43−18．已知,,ABC三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若21256OMOAOBOC=++，则,,,ABCM四点共面的充要条件是（）A．1360=B．1

760=C．1760=−D．1360=−19．已知A，B，C，D四点在平面内，且任意三点都不共线，点P在外，且满足30APBPCPzDP+−+=，则z=（）A．0B．1C．2D．320．已知,,ABC三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由1153OPOAOBOC=

++确定的一点P与,,ABC三点共面，则等于（）A．23−B．23C．715D．715−21．设向量,,OAOBOC不共面，空间一点P满足OPxOAyOBzOC=++，则,,,ABCP四点共面的一组数对(),,xyz是（）A．111,

,432B．111,,436−C．131,,442−D．121,,332−题型四空间向量平行或垂直22．已知m，n是实数，若点(2,5,1)A−−，(1,4,2),(3,3,)BCmn−−−+−在同一直线上，则mn+的值为

（）A．10−B．7−C．3−D．1023．如图，在棱长为6的正方体1111ABCDABCD−中，O是底面正方形ABCD的中心，点M在1DD上，点N在11AB上，若ONAM⊥，则DM=（）A．1B．2C．4D．3题型五投影问题24．已知4a=，e为空间单位

向量，,120ae=，则a在e方向上投影的模为_______．25．已知直线l的方向向量为()=1,0,1ar，点()1,2,1A−在l上，则点()3,1,1P到l的距离为（）A．22B．1C．3D．226

．四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为A．DAB．BCC．BDD．AP题型六夹角问题27．已知向量()()1,2,3,2,4,6,14abc==−−

−=，若()7abc+=，则a与c的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°28．若(2,1,4),(1,,2)abt=−=−−，若a与b的夹角是锐角，则t的值的取值范围为__________.29．已知()6,3,3a=，(2

,,1)bt=−−．若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____．30．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥SABC−中，SA⊥平面ABC，90ABC=，SAABBC==，则直线AB与SC夹角的余弦值是（）A．13B．23C．33D．6331．如

图，在直三棱柱111ABCABC-中，1AAACBC==，且ACBC⊥，已知E为BC的中点，则异面直线1AC与1CE所成角的余弦值为（）A．155B．105C．31010D．101032．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，

111114AAABAC===，点E是棱1CC上一点，且113CECE=，则异面直线1AB与AE所成角的余弦值为________.33．在如图所示的正方体1111ABCDABCD−中，E是11CD的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为________

___.34．正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别为1AA，AB，1CC的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A．33B．3010C．336D．2535．在两条异面直线a，b上分别取点1A，E

和点A，F，使1AAa⊥，且1AAb⊥.已知12AE=，3AF=，5EF=，16AA=，则两条异面直线a，b所成的角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π636．已知在大小为3的二面角l−−中，A，B，ACl⊥于点C，BDl⊥于点D，且22CDDBAC===，则直线AB与CD所成角

的余弦为（）A．21111B．277C．217D．12题型七空间向量数量积37．设a、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①22aa=；②2abbaa=；③()222abab=；④()2222abaabb−=−+.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3

D．438．设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A．22aa=B．abbaaa=C．()222abab=D．()2222abaabb−=−+39．已知空间中非零向量a，b，且1a=，2b=，60ab=,，则2ab−的值为（）A．1B．2C．2D．440．在棱长为

1的正方体1111ABCDABCD−中，M为1CC上任意一点，则11MABC=（）A．2−B．1−C．1D．241．已知()()1,1,0,2,,atbtt=−=，则ba−的最小值是（）A．1B．5C．3D．242．设正四面体ABCD−的棱长为

2，E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为（）A．1B．3C．2D．443．平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60，求1ACBD的值是____

______．44．已知()0,0,0O，()1,2,3A，()2,1,2B，()1,1,2P，点Q在直线OP上运动，当QAQB取最小值时，点Q的坐标是______题型八利用空间向量求模长45．已知三棱柱111ABCABC-的侧棱

长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，1160AABAAC==，若1BC和1BC相交于点M.则AM=（）A．3B．2C．5D．646．平行六面体ABCDABCD−中，4,3,5,90ABADAABAD====，60BAADAA==，则AC

的长为（）A．10B．85C．61D．7047．平行六面体111ABCDABCD−中，2ABAD==，13AA=，90BAD=，1160BAADAA==，则向量1ACuuur的模长1AC=uuur__________.48．已知

空间向量,,PAPBPC的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为60.点G为ABC的重心，若PGxPAyPBzPC=++，,,xyzR，则PG=___________.题型九立体图形中的极化恒等式49．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则

PMPN的取值范围为（）A．0,4B．0,2C．1,4D．1,250．如图，半径为1的球O是圆柱12OO的内切球，线段AB是球O的一条直径，点P是圆柱12OO表面上的动点，则PAPB的

取值范围为（）A．[0,1]B．[0,3]C．[0,2]D．[1,2]51．已知EF是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则MEMF的最小值为.52．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，球O是正方体的内切球，MN是球O的直

径，点G是正方体表面上的一个动点，则GMGN的取值范围为（）A．0,8B．[0,8)C．0,4D．[0,4)53．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，球O是正方体的内切球，点G是内切球O表面上的一个动点，则GBGC的取值范围为（）A．0,4B．222

,0−C．4,222+D．222,222−+54．正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为.题型十点到平面距离问题55．PABCD−是正四棱锥，1111AB

CDABCD−是正方体，其中2AB=，6PA=，则1B到平面PAD的距离为56．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则点D到平面ABC的距离为______．题型十一利用空间向量求最值与范围57．如图所示，在正方体1

111ABCDABCD−中，点P是底面1111DCBA内（含边界）的一点，且//AP平面1DBC，则异面直线AP与BD所成角的取值范围为____________58．正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，若动点P在线

段1BD上运动，则DCAP的取值范围是___________．59．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，动点M在线段1AC上，异面直线1AD和BM所成的角为，则的取值范围是.（用区间表示）60．在正方体1

111ABCDABCD−中，3AB=，点E是线段AB上靠近点A的三等分点，在三角形1ABD内有一动点P（包括边界），则PAPE+的最小值是（）A．2B．22C．3D．33题型十二综合性问题61．（多选）如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥底面,

,,ABCDSAABACBD=交于点O，M是棱SD上的动点，则（）A．三棱锥SACM−体积的最大值为43B．存在点M，使OM∥平面SBCC．点M到平面ABCD的距离与点M到平面SAB的距离之和为定值D．存在点M，使直线OM与AB所成的角为3062

．（多选）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，O为面11AABB的中心，E、F分别为BC和11DC的中点，则（）A．1BD⊥平面1AEFB．平面1ACD与平面1AEF相交C．点О到直线1AE的

距离为26D．点O到平面1AEF的距离为2463．（多选）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为棱111,ADAA的中点，G为面对角线1BC上一个动点，则（）A．三棱锥1AEFG−的体积为定值B．线段1BC上存在点G，使平面E

FG//平面1BDCC．当134CGCB=时，直线EG与平面ABCD所成角的正弦值为26D．三棱锥1AEFG−的外接球半径的最大值为32264．（多选）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是边长为2的正方形，1CCt

=，点Q是棱1CC的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）A．存在点P使得1//AP平面11BCCBB．当2t=时，存在点P使得直线1AP与平面ABCD所成的角为π6C．当2t=时，满足1APPQ⊥的点P有且仅有两个