【文档说明】山西省芮城县2020届高三下学期3月月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.859 MB，由小赞的店铺上传

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高三文数模拟试题一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合2|60Axxx=−−，集合2|log1Bxx=，则AB=（）A.()2,3−B.(),

3−C.()2,2−D.()0,2【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合A，B，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由260xx−−即()()320xx−+解得23x−，则()2,3A=−，由2log1x

解得02x，则()0,2B=，∴()0,2AB=，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题．2.已知复数()2aizaRi+=+是纯虚数，则a的值为（）A.12−B.12C.2−D.2【答案】A【解析】【分析

】根据复数除法运算化简z，根据纯虚数定义求得a.【详解】()()()()221222255aiiaiaaziiii+−++−===+++−Q是纯虚数2105205aa+=−，解得：12a=−本题正确选项：A【点睛】本题考查纯虚数的定义，关

键是利用复数的除法运算进行化简，属于基础题.3.已知等差数列na的前n项和为nS，若5222aa−=，则15S=（）A.28B.30C.56D.60【答案】B【解析】【分析】将已知条件化为1,ad的

形式，可得到8a；根据中项的性质可得15815Sa=，代入求得结果.【详解】设等差数列na公差为d由5222aa−=得：()()1112472adadad+−+=+=82a=1581515230Sa===本题正确选项：B【点睛】本题考查等差数列性质的

应用，关键是能够将已知条件转变为首项和公差的关系，进而求得数列中的项.4.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x，3()3fxxx=+，则32(2)af=,31(log)27bf=，(2)cf=的大小关系为（）A.abcB.acbC.bac

D.bca【答案】C【解析】【分析】利用导数判断3()3fxxx=+在[0,)+上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】函数()fx是定义在R上的偶函数，31(log)(3)(3)27bfff==−=，32022

223=，当0x，'2()330fxx=+恒成立，∴3()3fxxx=+在[0,)+上单调递增，3231(log)(2)(2)27fff，即bac.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思

想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.5.函数()21ln12fxxx=−−的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由()()fxfx−=得到()fx为偶函数，所以当0x时，()21ln12fxxx=−−，

求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为()()()21ln12fxxxfx−=−−−−=，所以()fx为偶函数,则当0x时，()21ln12fxxx=−−.此时211()xfxxxx=−=−，当1x时，()0fx当01x时，()0

fx.所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增.在0x上，当1x=时函数()fx有最小值11(1)1122f=−=−−..由()fx为偶函数，根据选项的图像C符合.故选：C【点睛】本题考查根

据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.6.已知点F是抛物线22(0)ypxp=（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为3的直线l过焦点F且与抛物线在第

一象限交于点A，当2AF=时，抛物线方程为（）A.2yx=B.22yx=C.24yx=D.28yx=【答案】B【解析】【详解】过点A作ABx⊥轴于点B，则RtABF中，060,2AFBAF==，所以1cos1,sin32BFAFAFBAFABAFAFB=====，所以点A的坐标

为0(,3)x，得02012(3)2pxpx=+=，解得1p=，所以所求抛物线的方程为22yx=，故选B.7.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶

状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.332π−B.634π−C.33πD.63π【答案】B【解析】【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率

.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为22221113sin62364Srrrr=−=−弓形．∴所求的概率为P=24SS弓形圆222132464634rrr−

==−．故选B．【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.8.已知函数()()sinfxAx=+（π0,0,2A）的部分图象如图所示，且()()0faxfax++−=，则a的最小值为（）A.π12B.π6C.π3D.

5π12【答案】A【解析】【分析】a是函数()fx的零点，根据五点法求出图中零点及y轴左边第一个零点可得．【详解】由题意3114126T=−，T=，∴函数()fx在y轴右边的第一个零点为56412+=，在y轴左边第一

个零点是6412−=−，∴a的最小值是12．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()fxAx=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．9.我国古代数学著作《九章算

术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（）A.45B.60C.75D.100【答案】B

【解析】【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意12315234S=，60S=．故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．10.在△ABC中，角A，B

，C的对边分别为a，b，c，若2acb－＝cosCcosB，b＝4，则△ABC的面积的最大值为（）A.43B.23C.33D.3【答案】A【解析】【分析】由已知式子和正弦定理可得3B=，再由余弦定理可得16ac，由三角形的面积公式可得所求．【详解】

∵在△ABC中2acb－＝coscosCB，∴()2coscosacBbC−=，由正弦定理得()2sinsincossincosACBBC−=，∴()2sincossincossincossinsinABCBBCBCA=+=+=．又sin0A，∴1cos2B=，∵0B

，∴3B=．在△ABC中，由余弦定理得22222b162cos2acacBacacacacac==+−=+−−=…，∴16ac，当且仅当ac=时等号成立．∴△ABC的面积13sin4324SacBac==.故选A．【点睛】解三角形

的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数

，利用函数思想求最值.11.已知1F、2F是双曲线C：22221xyab−=(00)ab，的左、右焦点，若直线3yx=与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为2OF（O为坐标原点）的

中点，则该双曲线离心率为（）A.2B.3C.21+D.31+【答案】D【解析】由题意得，连接12,PFPF，则2POF为等边三角形，所以12OPOFOF==,则12PFF为直角三角形，且21,3PFcPFc==，又因为122PFPFa−=，所以32cca−=，所以3

1==+cea，故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式

，转化为,ac的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．12.已知函数()22,0,,0xxxfxex=若()()()1212fxfxxx=，则12xx+的最大值为（）A.22−B.2ln22−C

.3ln22−D.ln21−【答案】C【解析】【分析】根据()fx在每一段上的单调性可知120xx，利用换元的方式可将问题转化为求解()()ln12tgttt=−的最大值的问题，通过导数求解出()gt最大值即可.【详解】设12xx当0x时，()22fxx=

，()fx单调递减，不存在120xx，使得()()12fxfx=当0x时，()xfxe=，()fx单调递增，不存在120xx，使得()()12fxfx=120xx令2212xxet==，1t，则12tx

=−，2lnxt=12ln2txxt+=−设()()ln12tgttt=−，则()124244tgtttt−=−=令()0gt=，解得：8t=当)1,8t时，()0gt；当()8,t+时，()0gt则()gt在)1,8上单调递增，在()8,+上单调递

减()()max8ln843ln22gtg==−=−本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够通过换元的方式构造出新的函数，需要注意的是换元后新的自变量的取值范围.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.）13.已知向

量,ab的夹角为4，且()1,0a=，2b=，则2ab+=__________．【答案】10【解析】【分析】利用数量积定义求解出ab，利用()222abab+=+求解出结果.【详解】2cos12142abab===()222224444210abab

aabb+=+=++=++=【点睛】本题考查向量的模的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题.14.某中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将800名学生从1到800进行编号，在1至16号

中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从41至56号中应取的数是__________．【答案】54【解析】【分析】抽50名学生，就把800名学生平均分成50组，求出每组人数，这就是编号的间隔数．【详解】8001650=，61622,221638,381654

+=+=+=．故答案为：54.【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题．15.已知4sin65+=，5,36，则cos的值为______．【答案】43310−【解析】【分析】根据角的范围，先求出cos6+的值，然后用角变换66=+−

可求解.【详解】由5,36，+,26所以2cos1s653in6+=−−+=−coscos=coscos+sinsin666666=+−++

3341433525210−=−+=故答案为：43310−【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题.16.已知三棱锥PABC−中，PA⊥底面ABC，4AC=，3BC=，5AB=，3PA=

，则该三棱锥的内切球的体积为__________．【答案】3281【解析】【详解】设三棱锥PABC−的内切球的半径为r，由题意得，PA⊥底面ABC，且4,3,5,3ACBCABPA====，则222ACBCAB+=，所以底面ABC为直角三角形，三棱锥PABC−的表面积为11

1143435353272222S=+++=，且三棱锥的体积为11433632V==，由表面积与内切球半径的乘积的13等于三棱锥的体积，即1963Srr==，解得23r=，所以内切球的体积为3314

4232()33381Vr===.点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及利用几何体的体积分割求解内切球的半径，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱

的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体

的球心.三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的

课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表

：A类B类C类男生x53女生y33（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计P（K≥k0）0.500.400.250.150.100.

050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）4x=，2y=；（2）见解析，没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关【解析】【分析】（1

）分层抽样是按样本容量的比例确定的，因此由男生12002，女生800人知抽取样本中男生有12人，女生有8人，由此可得,xy；（2）由（1）可得列联表，根据公式计算出2K后可得结论．【详解】解（1）设抽取的20人中，男，女生人数分别为1n，2n，则1201200122000==n，22080

082000==n，所以12534=−−=x，8332=−−=y；（2）列联表如下：男生女生总计不参加课外阅读426参加课外阅读8614总计128202K的观测值220(4628)100.1592.70612814663−==k，所以没有90%的把握认为

“参加阅读与否”与性别有关【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验．掌握分层抽样和独立性检验的概念是解题基础．18.已知等差数列{}na的前n项和为nS，公差0d，12a=，且124,,aaa成等比数列

.（1）求数列{}na的通项公式及前n项和nS；（2）记1211nnnbSa−=+，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）2,(1)nnanSnn==+；（2）11212nnTn=−−+【解析】【分析】（1）根据等比中项得2214aaa=，再将等差数列通项公式代入求得公差，利用等差数列通

项公式与前n项和公式，可求得答案；（2）由（1）得111+12nnbnn=−+，再利用裂项相消法和等比数列前n项和公式，即可求得答案.【详解】（1）124,,aaa成等比数列，2214aaa=，12a

=，2(2)2(23)dd+=+，解得2d=或0d=(舍去)，2(1)22nann=+−=，(22)(1)2nnnSnn+==+（2）由（1）得1111=(1)1nSnnnn=−++，112111222nnna−−==，111+12

nnbnn=−+，11(1)1111122(1)()()+1223112nnTnn−=−+−++−+−11111+1=21212nnnn=−−−−++【点睛】本题考查等比中项性质、等比数列前n项和、裂项相消

求和、等差数列通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19.如图，在三棱锥PABC−中，PBAC⊥，1ABAC==，22PB=，6PC=，45PBA=o.（1）求证：平面PAB⊥平面PAC；（2）,EF分别是棱,PBBC的中点，G为棱PC上的点

，求三棱锥AEFG−的体积.【答案】（1）详见解析；（2）112.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出PA，根据勾股定理可得ACPA⊥，利用线面垂直的判定定理可证得AC⊥平面PAB，根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）根据平行关系可知14EFGPBCSS=

，则可得14AEFGAPBCVV−−=，利用体积桥得APBCCPABVV−−=，从而可求解出CPABV−，从而求得结果.【详解】（1）证明：在PAB中，由余弦定理得：2222cosPAPBABPBABPBA=+−解得

：5PA=222ACPAPC+=ACPA⊥又ACPB⊥，PAPBP=AC⊥平面PAB又AC平面PAC平面PAB⊥平面PAC（2）11sin22sin45122PABSPBABPBA===11111333CPABPABVSAC−===,EF分

别是棱,PBBC的中点//EFPC14EFGPBCSS=1114412AEFGAPBCCPABVVV−−−===【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题.解决本题中三棱锥体积求解的关键是能够根据平行关系得到锥体体积

之间的比例关系，从而可将问题转化为易求的三棱锥体积的求解问题.20.已知函数21()ln()2fxaxxaR=+.（1）若函数()fx在点(1,(1))f处的切线方程为4230−−=xy，求实数a的值；（2）当0a时，证明函数()()(1)gx

fxax=−+恰有一个零点.【答案】(1)1a=；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求得'()afxxx=+，得到'(1)12fa=+=，即求解a的值；（2）由题意得()gx的解析式，求得∴()(1)'()xaxgxx−−=，分01a，1a=，1a三种分

类讨论，即可得到实数a的值.试题解析：（1）()'afxxx=+.由切线的斜率为2得()'112fa=+=.∴1a=.（2）()21ln2gxaxx=+()1ax−+，0x，∴()'agxxx=+()()()11xaxax−−−+=.1.当01a时，由()'0gx得0xa或1

x，()'0gx得1ax，∴()gx在()0,a上递增，在(),1a上递减，在()1,+上递增.又()21ln2gaaaa=+()11ln12aaaaa−+=−−0，()()22ln220gaaa+=+，∴当01a时函数()gx恰有一个零点.2.当1a=时，()'

0gx恒成立，()gx在()0,+上递增.又()11202g=−，()4ln40g=，所以当1a=时函数()gx恰有一个零点.3.当1a时，由()'0gx得01x或xa，()'0gx得1xa，∴()gx在()

0,1上递增，在()1,a上递减，在(),a+上递增.又()1102ga=−−，()()22ln220gaaa+=+，∴当1a时函数()gx恰有一个零点.综上，当0a时，函数()()()1gxfxax=−+恰有一个零点.点睛：

本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几

何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)考查数形结合思想的应用.21.已知动点P是△PMN的顶点，M（﹣2，0），N（2，0），直线PM，

PN的斜率之积为﹣34．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设四边形ABCD的顶点都在曲线E上，且AB∥CD，直线AB，CD分别过点（﹣1，0），（1，0），求四边形ABCD的面积为2427时，直线AB的方程．【答案】（1）22143xy+=（x≠±2）；（2）x±y+1＝0．【解析】【分析】（1）

设点P(x，y)，直接把已知条件用坐标表示并化简即可；（2）设直线AB的方程为x＝my﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线与椭圆相交弦长公式（应用韦达定理计算）求出弦长，交求出原点到直线AB距离，表示出

OAB面积，由对称性知四边形ABCD的面积是OAB面积的4倍，从而可以求出m．【详解】解：（1）设点P(x，y)，∵直线PM与PN的斜率之积为﹣34，即22yyxx+−＝224yx−＝﹣34，化简得22143xy+=（x≠±2），∴动点P的轨迹E的方程为22143xy+=(x≠

±2)；（2）设直线AB的方程为x＝my﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由221143xmyxy=−+=得(3m2+4)y2﹣6my﹣9＝0，则，y1+y2＝2634mm+，122934yym−=+，|y1﹣y2|＝()212124yyyy+−＝2212134m

m++，∴|AB|＝2121myy−+＝()2212134mm++，又原点O到直线AB的距离d＝211m+，∴S△ABO＝()22121m123m4++×211m+＝226134mm++，由图形的对称性可知，SABCD＝4S△ABO，∴S

ABCD＝2224134mm++＝2427，化简得18m4﹣m2﹣17＝0，解得m2＝1，即m＝±1，∴直线AB的方程为x＝±y﹣1，即x±y+1＝0．【点睛】本题考查直接法求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题的面积问题．解题

时采取设而不求思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理计算弦长．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线1;2Cx

=−，圆()()222:121Cxy−+−=,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C，2C的极坐标方程；（2）若直线3C的极坐标方程为()4R=，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积．【答案

】(1)cos2=−,22cos4sin40−−+=；(2)12．【解析】试题分析：（1）将cos,sinxy==代入12,CC的直角坐标方程，化简得cos2=−，22cos4sin40−

−+=；（2）将4=代入22cos4sin40−−+=，得23240−+=得1222,2==，所以2MN=，进而求得面积为12.试题解析：（1）因为cos,sinxy==，所以1

C的极坐标方程为cos2=−，2C的极坐标方程为22cos4sin40−−+=（2）将4=代入22cos4sin40−−+=得23240−+=得1222,2==，所以2

MN=因为2C的半径为1，则2CMN的面积为1121sin4522=考点：坐标系与参数方程.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22fxxax=++−（其中aR）.（1）当1a=−时，求不等式()6fx的解集；（2

）若关于x的不等式2()32fxax−−恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）{|13}xxx−或.（2）4[1,]3−.【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；

方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式2()32fxax−−即关于x的不等式22223xaxa++−恒成立，利用绝对值不等式，得243aa+，进而求解实数a的取

值范围.试题解析：（1）当1a=−时，函数()212fxxx=−+−，则不等式为2126xx−+−，①当2x时，原不等式为2126xx−+−，解得：3x；②当122x时，原不等式为2126xx−+−，解得：5x.此时不等式无解；③当12x时，原不等式

为1226xx−+−，解得：1x−，原不等式的解集为{|13}xxx−或.方法二：当1a=−时，函数()212fxxx=−+−33,211,22133,2xxxxxx−=+−+，画出函数()fx的图象，如图：

结合图象可得原不等式的解集为{|13}xxx−或.（2）不等式()232fxax−−即为22xax++−232ax−−，即关于x的不等式22223xaxa++−恒成立.而222xax++−224xax=++−()()2

24xax+−−4a=+，所以243aa+，解得243aa+或243aa+−，解得413a−或a.所以a的取值范围是41,3−.