【文档说明】【精准解析】山西省太原市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题.doc，共(23)页，2.015 MB，由小赞的店铺上传

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2019～2020学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1

.设集合0,12A=，，1Bxyx==−，则下列图中阴影部分所表示的集合为（）A.1B.0C.1,2D.0,1【答案】B【解析】集合B表示函数1yx=−的定义域，故11Bxyxxx==−=.故图中阴影部分所表示的集合为0,1,2{|1}0RACBxx

==，故选B.2.若复数213zi=+，则z=（）A.12B.32C.1D.2【答案】C【解析】试题分析：因为()()()21321322131313iziiii−===−++−所以，2213122z=+−=故选C.考点：复数的概念与运算.3.命题

“若ab，则acbc++”的否命题是（）A.若acbc++，则abB.若ab，则acbc++C.若acbc++，则abD.若ab，则acbc++【答案】B【解析】【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【详解】命题“若ab，则acbc+

+”的否命题是“若ab，则acbc++”故选B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．4.tan105=（）A.23+B.23−+C.23−D.23−−【答案】D【解析】【分析】根据4505610=+，然后利用两

角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果.【详解】由4505610=+，所以()45tantan1tan60456045tan6005tan1tan−+==+则()()()()131313tan1051131313+++==−

−+所以tan10523=−−故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，关键在于将非特殊角转化为特殊角，识记公式，细心计算，属基础题.5.已知等比数列na中，若1324,,2aaa成等差数列，则公比q=（）A.1B.1或2C.2或-1D.-1【答

案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为q，由题设得：2111242aqaaq=+因为10a，所以，220qq−−=解得：2q=或1q=−故选C.考点：等差数列与等比数列.6.某四棱锥的三视图如图所

示，该四棱锥的体积为（）A.3B.2C.3D.9【答案】C【解析】【分析】根据三视图的还原以及直观想象，可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，然后根据长对正，高平齐，宽相等，可知四棱锥的底面边长以及高度结合锥体体积公式，可得结果.【详解】由图可知：几何体是底面

为正方形的四棱锥且底面边长为3，四棱锥的高为1所以该四棱锥的体积为：213133V==故选：C【点睛】本题主要考查三视图的还原，考验空间想象能力以及对常见几何体的三视图的认识，属基础题.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在

《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x的值为2，则输出v的值为（）A.721−B.72C.621−D.62

【答案】A【解析】【分析】采用依次计算，第一次：1,121kv==+，第二次：22,22+1kv==+，…依次类推，直到6k，简单计算，可得结果.【详解】当输入x的值为2时第一次：1,121kv==+第二次：22,22+1k

v==+第三次：323,22+2+1kv==+第四次：4324,22+2+2+1kv==+第五次：54325,22+2+2+2+1kv==+第六次：654326,2+22+2+2+2+1kv==+则当7k=时，7>

6，输出结果.所以()7654321122+22+2+2+2+1=12v−=+−即721v=−故选：A【点睛】本题考查程序框图，对这种问题按部就班，依次计算，掌握该算法的功能，细心计算，属基础题.8.函数()cos(2)2sinsin()fxxx=+

++的最大值是（）A.2B.3C.1D.5【答案】C【解析】【分析】根据()2xx+=++，利用两角和的余弦公式展开化简，可得()cosfxx=，根据余弦函数的性质，可得结果.【详解】()cos(2)cosxx+=++所以()(

)cos(2)coscossinsinxxx+=+−+所以()()()coscossinsinfxxx=+++即()()coscosfxxx=+−=由1cos1x−所以可知max()1fx=故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，重在于对公式的识记，

属基础题.9.已知三个村庄,,ABC所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10ABkmBCkmACkm===.现在ABC内任取一点M建一大型的超市，则M点到三个村庄,,ABC的距离都不小于2km的概率为（）A.3324+B.12C.21324−D.1212−【答案】D【解析

】【分析】采用数形结合，计算ABCS，以及“M点到三个村庄,,ABC的距离都不小于2km”这部分区域的面积S，然后结合几何概型，可得结果.【详解】由题可知：222ABBCAC+=所以该三角形为直角三角形分别以,,ABC作为圆心，作半径为2的圆如图所以则“

M点到三个村庄,,ABC的距离都不小于2km”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABCSABBC===又三角形内角和为，所以2122422ABCSS=−=−设M点到三个村庄,,A

BC的距离都不小于2km的概率为P所以242122412ABCSPS−−===故选：D【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.10.若对任意的实数0,ln0xxxxa−−恒成立，

则实数a的取值范围是（）A.(,1]−−B.(,1]−C.[1,)−+D.[1,)+【答案】A【解析】【分析】构造函数()lnfxxxxa=−−，利用导数研究函数()fx在()0,+单调性，并计算()min0fx，可得结果.【详解】令()lnf

xxxxa=−−，()0,x+则()'lnfxx=，令()'01fxx==若01x时，()'0fx若1x时，()'0fx所以可知函数()fx在()0,1递减，在()1,+递增所以()()min11fxfa==

−−由对任意的实数0,ln0xxxxa−−恒成立所以()min101fxaa=−−−故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.11.在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABCD，ABCD为

正方形，QA//,60PCPBCAQB==，己四棱锥PABCD−与四棱锥QABCD−的外接球的半径分别为12,RR，则12RR=（）A.357B.1057C.359D.1059【答案】B【解析】【分析】假设正方形的边长，然后利用勾股定理计算,PACQ，根据墙角模型以及

直观想象，可知,PACQ分别为四棱锥PABCD−与四棱锥QABCD−的外接球直径，最后计算可得结果.【详解】设正方形的边长为2如图由PC⊥底面ABCD，QA//PC所以QA⊥底面ABCD又60PBCAQB==所以可知2323,3PCQA==根据墙角模型，将四棱锥PABCD−补全是长方体PA为

该长方体的一条体对角线所以四棱锥PABCD−的外接球的直径为PA同理四棱锥QABCD−的外接球的直径为QC22225PAPCBCCD=++=2222213QCQAABAD=++=所以12215223,RRPAQC====所以121057RR=故选：B【点睛】本题考查四棱锥

外接球的问题，熟悉墙角模型，可快速找到外接球的球心，属基础题.12.已知,01,()11,1.xexfxexex=+−„„若方程()fxkxe=+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（）A.(0,]eB.21

,eee−C.11,4ee−−D.211,4ee−−【答案】D【解析】【分析】采用数形结合的方法，作出()fx图像，根据直线ykxe=+过定点()0,e以及两函数图像有3个交点，可

得结果.【详解】由方程()fxkxe=+有且仅有3个实数解等价于函数()fx，ykxe=+图像有3个交点且直线ykxe=+过定点()0,e如图根据图形可知：k0当直线ykxe=+与()11gxex=+−相切时设切点001,1Pxex+−，又()'21gxx

=−，所以()'0201gxx=−在点P处的切线方程：()0200111yxxexx=−−++−又过定点()0,e，代入上式，可得02x=所以()'124kg==−当直线ykxe=+过点1,1Aeee+−时则21110eeeekee+−−−==−所以可知2114eke−−

故选：D【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数2()logfxaxx=+的图象过点11,

22−，则实数a=_________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算，直接代值计算即可..【详解】由题可知：21111()log2222fa=+=−则11122aa−+=−=故答案为：1【点睛】本题考查对数式的运算，属基础题.14.若,xy满足20,40,0,

xyxyy−++−…„…，则2zyx=−的最小值为____________.【答案】8−【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线2yx=在可行域中平移，根据z或含z式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单

计算，可得结果.【详解】如图令0z=，可得目标函数2zyx=−的一条等值线2yx=则将2yx=移至点()4,0A处，目标函数取最小值所以最优解为点()4,0A则min0248z=−=−故答案为：8−【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域

；（2）理解z或含z式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果.15.若01,,,logbababxaybza===，则,,xyz由小到大排列为_______________.【答案】xyz【解析】【分析】根据指数函数、幂函

数、对数函数的单调性以及借助特殊值1进行比较大小，可得结果.【详解】由01ab，且xya=单调递减所以baaa又ayx=在()0,x+递增，所以1aaab所以01baab由logbyx=单调递减，所以loglog1bbab=所以logbababa，即xyz故答

案为：xyz【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，熟悉基本函数的单调性以及借助中间值比较大小，比如中间值常用：0，1，属基础题.16.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以

弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设ADABAC

=+，若2DFAF=，则可以推出+=_________.【答案】1213【解析】【分析】利用建系的方法，假设1AF=，根据120ADB=o，利用余弦定理可得AB长度，然后计算cos,sinDABDAB，可得点D坐标，最后根据点,BC坐标，可得结果

.【详解】设1AF=，则3,1ADBDAF===如图由题可知：120ADB=o，由2222cosABADBDADBDADB=+−所以13AB=，则13ACAB==所以()133913,0,,22BC，()0,0A又39sinsinsin26BDABBA

DBADADB==所以2713cos1sin26BADBAD=−=所以()cos,sinDADADBADBAD即2113339,2626D所以()2113339,13,026,26ADAB==

1339,22AC=又ADABAC=+所以2113139132621333393913262=+===所以1213+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，

充分使用条件，考验分析能力，属难题.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分

（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，

先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1)0.040a=；中位数为82.5.(2)35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在

80到90之间，设综合评分的中位数为x，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a++++=，0.040a=；设综合评分的中位数

为x，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x+++−=，解得82.5x=，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+=，即概率为0.6；所以100个产品中一

等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a、b、c，非一等品2个，记为D、E；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种；

抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD、aE、bD、bE、cD、cE共6种，所以所求的概率为63105P==.【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题18.在AB

C中，,,ABC对应的边为,,abc.已知1cos2aCcb+=.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若4,6bc==，求cosB和()cos2AB+的值.【答案】（Ⅰ）π3A=（Ⅱ）1114−【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根

据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a，代入条件求得3sin7B=，解得2cos7B=，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos2aCcb+=，得1sinsinsinsin2ACCB+=，又由()sinsinB

AC=+，得1sincossinsincoscossin2ACCACAC+=+.由sin0C，得1cos2A=，故π3A=.（Ⅱ）解：在ABC中，由余弦定理及π4,6,3bcA===，有2222cosabcbcA=+−，故27a=.由sinsinbAaB=得3sin7B=，因为ba，故

2cos7B=.因此43sin22sincos7BBB==，21cos22cos17BB=−=.所以()11cos2coscos2sinsin214ABABAB+=−=−.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这

就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列na的前n项和为nS，满足()*2NnnSann=−.（Ⅰ）证明：1na+是等比数列；（Ⅱ）求13521naaaa−++++的

值.【答案】（I）见解析；（II）()2413nn−−【解析】【分析】（I）计算1nS−，根据,nnSa关系，可得121nnaa−=+，然后使用配凑法，可得结果.（II）根据（1）的结果，可得na，然后计算

21na−，利用等比数列的前n和公式，可得结果.【详解】（I）由2nnSan=−①当1n=时，可得111211Saa=−=当2n时，则()1121nnSan−−=−−②则①-②：()12212nnnaaan−=−−则()1121121nn

nnaaaa−−=++=+又112a+=所以数列1na+是以2为首项，2为公比的等比数列（II）由（I）可知：1221nnnnaa+==−所以2121121412nnna−−=−=−记13521nnTaaaa−=++++所以()2144...42nnTn=+++−又

()()241444144...4143nnn−−+++==−所以()()4412411233nnnTnn−−=−=−【点睛】本题考查,nnSa的关系证明等比数列以及等比数列的前n和公式，熟练公式，以及掌握,nnSa之间的关系，属基础题.20.如图，三棱柱111A

BCABC−中，1AA⊥底面ABC，点D是棱11BC的中点，2ABAC==，12BCBB==.（Ⅰ）求证：1AC//平面1ABD；（Ⅱ）求点D到平面1ABC的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）33【解析】【分析】（Ⅰ）连接1AB交1AB于点M，连DM，根据中位线定理可得1A

C//DM，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（Ⅱ）计算11,ABCBDCSS，根据等体积法，11DABCABDCVV−−=，可得结果.【详解】（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC−中连接1AB交1AB于点M，连DM如图由四边形11ABBA为平行四边形，则M为1AB中点又点D是棱11BC

的中点，所以1AC//DM因为1AC平面1ABD，DM平面1ABD所以1AC//平面1ABD（Ⅱ）设点D到平面1ABC的距离为h由1AA⊥底面ABC，ABÌ底面ABC所以1AAAB⊥，由2ABAC==，12BCBB==所以222ABACBC+=，则ACAB⊥由1,ACAA平面11ACCA

，所以AB⊥平面11ACCA1AC平面11ACCA，所以1ABAC⊥()222211226ACACCC=+=+=所以11132ABCSABAC==1111112122BDCSDCCC===连接AD，作ANBC⊥交

BC于点N由三角形ABC为等腰直角三角形，所以1AN=又AN底面ABC，所以1ANAA⊥，又1AA//1CC，所以1ANCC⊥1,CCBC平面11BBCC，1CCBCC=所以AN⊥平面11BBCC由11DABCABDCVV−−=则11

1133ABCBDCShSAN=所以33h=【点睛】本题考查线面平行的判定以及使用等体积法求点到面的距离，识记线面平行的判定，熟练掌握使用等积法解决点到面的距离，细心观察，耐心计算，属中档题.21.已

知函数()elnxfxaxx=−−.（Ⅰ）当1a=−时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()fx在区间(0,1)上存在极值点，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）10exy−−=；（Ⅱ）(0,e1)−【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意

义求解；（Ⅱ）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解.【详解】解：（Ⅰ）当1a=−时，()lnxfxexx=+−，0x.所以()11xfxex=+−，所以()11fe=−，()1fe=，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()()11yeex−−=−，

整理得10.exy−−=（Ⅱ）因为()lnxfxeaxx=−−，0x.所以()1xxaxexafxexx−−=−−=，依题意，()fx在区间()0,1上存在变号零点.因为0x，设()xgxxexa=−−，所以()gx在区间()0,1上存在变号

零点.因为()()11xgxex=+−，所以，当()0,1x时，1xe，11x+，所以()11xex+，即()0gx，所以()gx在区间()0,1上为单调递增函数，依题意，()()00,10,gg即0,10.aea−−−解得01ae

−.所以，若()fx在区间()0,1上存在极值点，a的取值范围是()0,1e−.【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求

切线倾斜角的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,52xtyt==+（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2

40+=.（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(0,5)A，直线l与曲线C相交于点,MN，求11||||AMAN+的值.【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为：250xy−+=，曲线C的直角坐标方程为：22

40xy−+=；（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l的普通方程，根据cos,sinxy==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l参数方程的标准形式，然后联立曲线C的方程，可得关于参数t的一元二次方程，根据t的几何意义，可得结果.【详解

】（Ⅰ）由,52xtyt==+（t为参数），所以52yx=+则直线l的普通方程为：250xy−+=由2cos240+=，所以()222coss40in+−=又cos,sinxy==，所以2240xy−+=则曲线C的直角坐标方程为：2240xy

−+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：5,52555xtyt==+（t为参数）将该方程代入曲线C的直角坐标方程化简可得：232050tt++=设点,MN所对应的参数分别为12,tt所以1212205,33tttt+=−=

，则120,0tt所以1212111111||||AMANtttt+=+=−+则1212114||||ttAMANtt++=−=【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程

参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题23.已知f（x）＝﹣x+|2x+1|，不等式f（x）＜2的解集是M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x

＜1}；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分12−，x12−＜去绝对值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．【详解】（Ⅰ）当12−时，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．由f（x）＜2，得x＜1，所以12−x＜1．当x12−＜时，f（

x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣11x2−＜＜综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）因为a，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1所以|ab|+1﹣（|a|+|b

|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0故|ab|+1＞|a|+|b|．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了作差法证明不等式，准确计算是关键，属于中档题．