【文档说明】甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(12)页，359.322 KB，由管理员店铺上传

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兰州一中2021-2022-2学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．单选题（共8小题，每小题5分）

1．已知向量a,b，且AB=a+2b，BC=−5a+6b，CD=7a−2b，则一定共线的三点是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D2.已知sin−

sin=1，cos−cos=−22，，(0,)，则−=（）A.−3B.−32C．D．36333.下列命题中是真命题的有（）A.一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B.有A、B、C三种个体按3：1：

2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.

4.已知向量a，b满足a=4,b=(1,22)，且(a+2b)⊥(3a−b)．则向量a与向量b的夹角是（）A．B．C．2D．563365.从2，3，5，7这四个数中任取三个数组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率

为（）A.13B.23C.34D.566．2cos20−cos40=（）2sin40A.32B.12C．D．137.已知i,j为互相垂直的单位向量，a=−i+2j,b=3i−(−4)j，且a与a−b

的夹角为锐角，则的取值范围为（）3A．(0,+)B．(0,10)(10,+)C．(−,0)D．(−,−2)(−2,0)8.函数f(x)=sinx+cosx(0)在区间,上单调递减,则实数的取值范围是（）A．1,1B．0,12C．1,5D．(0

,12224二．多选题（共4小题，每小题5分，有漏选得3分，有错选得0分）9．已知事件A,B，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则（）A．如果BA，那么P(AB)=0.

4,P(AB)=0.3B.如果A与B互斥，那么P(AB)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.7，P(AB)=0.12D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.42,P(AB)=0.1810.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000

人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（）A．从高中生中抽取了440人B．每名学生被抽到的概率为1150C．估计该地

区中小学生总体的平均近视率为53%D.估计高中学生的近视人数约为4400011.下列命题中是真命题的有（）A.存在，，使tan(−)=tan−tanB.在ABC中，若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形C.在ABC中，“AB”是“si

nAsinB”的充要条件D.在ABC中，若cosA=5，cosB=3则cosC的值为631356512.在ABC中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（）A.若ABC，则sinAsinBsinCB.若a=4

0，b=20，B=25，则满足条件的ABC有且仅有一个C.若a=bcosC，则ABC是直角三角形D.若ABC为锐角三角形，且cos2A−3sinA+2=0.若b+c=6，则ABC外接圆面积的最小值为9363第Ⅱ

卷（非选择题）三．填空题（共4小题，每小题5分）13.已知数据x,x,x,,x的方差为8，则数据1x+5,1x+5,1x+5,,1x+5的方123n差为.2122232n14．已知sin+=2，则cos2−2=.3π15

.关于x的方程3sinxcosx+cos2x=k+1在x0,2上有两个解，则实数k的取值范围为．16.设|AB|=20，若平面上点P满足，对于任

意tR，有|AP−tAB|5，则PAPB的最小值为．四、解答题17．（10分）如图，在ABC中，AD=1AB=1，AC=2，BAC=60，点E是CD的中点，3记AB=a，AC=b．(1)用a,b表示CD,AE

；(2)求AED的余弦值．18．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在21男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为3，乙

校获胜的概率为3，在女生排球比赛中，每12局甲校获胜的概率为3，乙校获胜的概率为3，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．(1)求恰好比赛3局，比赛结束的概率；(2)求甲校以3:1获胜的概率．19．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行

相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数3学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如

图所示的频率分布直方图．(1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和中位数（保留两位小数）；(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交

流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．20．已知函数f(x)=−1+23sinxcosx+2cos2x．(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)当x−7

,5时，求函数f(x)的值域．121221.如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处−1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以20海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃

窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．22.已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(2a−b)cosC=ccosB(1)求角C；(2)若a=2,b=3,CD为角C的平线，求CD的长；(3)若acosB+bcosA=4，求

锐角ABC面积的取值范围.3高一期中考试数学答案参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACACCABC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDACACD三．填空题（共4小题）13．2.114.9−．115.0,2．16．-75．四．解答题（共

6小题）17．【答案】(1)13CDba=−+，AE1126ba=+.(2)217【解析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得3ABa==，2ACb==，且cos603abab

==，由(1)得，13CDba=−+，AE1126ba=+，所以，可以分别求出,,CDAEAD，然后，直接利用余弦定理即可求出AED的余弦值(1)因为E是CD的中点，113ADAB==，所以，13ADAB=，CD

CAAD=+1133ACABba=−+=−+.111()226AEACADACAB=+=+1126ba=+.(2)在ADC中，113ADAB==，2AC=，60BAC=，所以，3ABa==，2ACb==，且cos603abab==，所以，211()33CDbaba=−

+=−+12943393=+−=，21111111117()493126264366422AEbaba=+=+=++=++=，E是CD的中点，所以，32DE=.因此，在ADE中，32DE=，72AE=，1AD=，利用余弦定

理得，2227c731os21442212AEDEADAEDAEDE+−+−===.18.【答案】(1)29(2)427【解析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比

赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：恰好比赛3局，比赛结束的情况有：甲校获胜，概率为1221433327P==，乙校获胜，概率为2112233327P==，恰好比赛3局，比

赛结束的概率1242227279PPP=+=+=．(2)解：甲校以3:1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，概率为：23221833381P==；②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，概率为1

4221114C333381P==，甲校以3:1获胜的概率34844818127PPP=+=+=．19.【答案】(1)0.04a=;20；(2)77.25分,76.67分(3)35【解析】（1）根据频率之和为

1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.(1)由题意得：5(0

.010.020.060.07)1a++++=，解得0.04a=；这100人中测试成绩在[80，85）的人数为1000.04520=（人）；(2)平均数为：(67.50.0172.50.0777.50.0682.50.0487.50.02)577.25

++++=（分），设中位数为m,且7580m，则0.050.35(75)0.060.5m++−=，解得76.67m，故第50%分数位76.67分；(3)第三组频率为50.060.3=，第四组频率为50.040.2=，第五组频率为50.020.1=，故从第三、四、

五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为123,AAA，,第四组抽取的人为12BB，,第五组抽取的人为1C,则抽取2人的所有情况如下：121311121123212221313231121121,,,,,,,,,,,

AAAAABABACAAABABACABABACBBBCBC，，，共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有111221223132121121,,,,,,,,ABABABABABABBBBCBC共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率

为93155P==.20.【【答案】(1)单调减区间是2,63kk++，kZ(2)22−,【解析】（1）先对函数化简变形得()2sin26fxx=+，由3222262kxk+++，kZ可求出函数的减区间，（2）由7

5,1212x−，得2,6x+−，再利用正弦函数的性质可求出函数的值域(1)()2123sincos2cosfxxxx=−++，cos23sin2xx=+，2sin26x=+，令3222262kxk+++，k

Z，解得263kxk++，kZ，所以函数的单调减区间是2,63kk++，kZ；(2由75,1212x−，得2,6x+−，所以1sin216x−+，所以22sin226x−+，所以函数的值域

为22−,21．【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要620小时.【解析】在ABC中，由余弦定理求得BC，由正弦定理求得ABC，在BCD△中，由正弦定理求得∠BCD，得BD，由速度公式可得时间．【详解】

设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则203CDt=海里，BD=20t海里．在ABC中，由余弦定理，有222222cos(31)22(31)BCABACABACA=+−=−+−−1262−=则6=BC.又sinsinBCACBACABC=，2s

in1202sin26ABC==，∴∠ABC=45°，故B点在C点的正东方向上．∴∠CBD=90°+30°=120°，在BCD△中，由正弦定理得，sinsinBDCDBCDCBD=，sin20sin120

1sin2203BDCBDtBCDCDt===，∴∠BCD=30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在BCD△中，∠CBD=120，∠DCB=30°，∴∠CDB=30，6BDCB==.206BDt==，解得620t=，故缉私船应沿北偏东60°的方向

行驶，才能最快截获走私船，大约需要620小时．22．【答案】(1)3(2)635(3)83,433(1)解：由()2coscosabCcB−=及正弦定理得()2sinsincossincosABCCB−=所以()2sincossinsinACBCA=

+=∴sin0A，∴1cos2C=∵0C，∴3C=(2)解：设CDx=由+=ACDBCDABCSSS得111113326222222xx+=.解得635x=，即角平分线CD的长度为635(3)解：设ABC外接圆半径为R，由coscos4aB

bA+=2sincos2sincos4RABRBA+=，即2sin4RC=，即42sinsincRCC==，∴4c=所以ABC的面积13sin24SabCab==∵4sinsin32baBA==，∴83sin3aA=，83sin3bB=∴1632sinsin33SAA=−

16322sinsincoscossin333AAA=−16331sincossin322AAA=+216331sincossin322AAA=+16

3311sin2cos23444AA=−+8343sin2363A=−+∵02A，02B，23AB+=，∴2032A−，∴62A，∴52666A−，∴1sin2126A−，∴83,433

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