【文档说明】必刷提高题9.4 乘法公式（解析版）七年级数学下册同步必刷题闯关练（苏科版）.docx，共(17)页，169.807 KB，由管理员店铺上传

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12019-2020学年七年级数学下册同步闯关练（苏科版）第9章《整式乘法与因式分解》9.4乘法公式知识点1：完全平方公式【例1】（2019秋•安居区期末）若（2x﹣y）2+M=4x2+y2，则整式M为（）A．﹣4xyB．2xyC．﹣2xyD．4xy【解析】因为（2x﹣

y）2+M=4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy=4x2+y2，所以M=4xy，故选：D．【变式1-1】（2019秋•仁怀市期末）若x+y=﹣2，x2+y2=10，则xy=（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【解析】∵x+y=﹣2，x2+y2=10，∴（x+y）2=x2+2xy+y2，∴2x

y=（x+y）2﹣（x2+y2），=（﹣2）2﹣10=4﹣10=﹣6，∴xy=﹣3．故选：A．【变式1-2】（2019秋•德州期末）若x2+y2=8，xy=2，则（x﹣y）2=．【解析】∵x2+y2=8，xy=2，∴（x﹣y）2=x2+y2﹣4xy=8﹣4=4．故答案为：4．【变式1-3】（2

020•浙江自主招生）若实数a满足a3+a2﹣3a+2=﹣﹣，则a+=2【解析】∵实数a满足a3+a2﹣3a+2=﹣﹣，∴a3+a2﹣3a+2﹣++=0，∴a3++a2++2﹣3（a+）=0，（a+）（a2﹣1+）+（a+）2﹣3（a+）=0，（a+）（a2﹣1++

a+﹣3）=0，∴（a+）[（a+）2+（a+）﹣6]=0，∴（a+）（a++3）（a+﹣2）=0，而a+≠0，∴a++3=0，或a+﹣2=0，∴a+=﹣3或2．故答案为：﹣3或2．【变式1-4】（2019春•资阳期中）已知（a+b）2=5，（a﹣b

）2=3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【解析】（1）∵（a+b）2=5，（a﹣b）2=3，∴a2+2ab+b2=5，a2﹣2ab+b2=3，∴2（a2+b2）=8，解得：a2+b2=4；（2）∵a2+b2=4，∴4+2ab=5，解得：ab=，∴

6ab=3．【变式1-5】（2019春•长丰县期中）已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值．【解析】∵a+b=3，∴（a+b）2=9，3即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9﹣2ab=9﹣2×2=5．故答案为：5．知识点2：完全平方公式的几何背景【例2

】（2019秋•开鲁县期末）如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知图案的面积为25，小正方形的面积为9，若用x，y长示小长方形的两边长（x＞y），请观察图案，以下关系式中不正确的是（）A

．4xy+9=25B．x+y=5C．x﹣y=3D．x2+y2=16【解析】大正方形的面积=4个小长方形面积+1个小正方形面积，∴4xy+9=25；大正方形的边长为5，∴5=x+y；小正方形的边长为3，∴x﹣y=3；故选：D．【变式2-1】（2019秋•郾城区期末）如图，一块

直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩余阴影部分面积为（）A．B．C．D．【解析】根据题意得：S阴影=（）2π﹣（）2π﹣（）2π=．4故选：C．【变式2-2】（2019秋•海伦市期

末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．【解析】设正方形A，B的边长分别为a，b．由题意由②得到ab=6，∴（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=1+24=25，∵a+b＞

0，∴a+b=5，故答案为5．【变式2-3】（2019秋•临颍县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b=10，ab=20，则四边形ABCD的面积为．【解析】根据题意可得，四边形ABCD的面积=（a2+b2）﹣﹣b（a+b）=（a2+b2﹣ab）=（a2+b2+2ab﹣3ab）=[（

a+b）2﹣3ab]；代入a+b=10，ab=20，可得：5四边形ABCD的面积=（10×10﹣20×3）÷2=20．故答案为：20．【变式2-4】（2019秋•日照期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块

小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请和两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1：方法2：（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）根据（2

）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b=3，ab=﹣2，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣=1，求：a+的值．【解析】（1）方法1：（m+n）2﹣4mn，方法2：（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2

；（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；（3）（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=32+4×（﹣2）=1；②∵（a+）2=（a﹣）2+4×a×=12+8=9，∴a+=±3．知识点3：完全平方式【例3】（2019秋•永春县期末）将4张长为a、宽为b（a≥b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长

为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m﹣3n=0，则a、b满足（）A．a=b或a=3bB．a=b或a=4bC．a=b或a=5bD．a=b或a=6b．6【解析】m=b（a+b）×2+ab×2+（a

﹣b）2=a2+2b2，n=（a+b）2﹣m=（a+b）2﹣（a2+2b2）=2ab﹣b2，∵m﹣3n=0，∴a2+2b2=3（2ab﹣b2），整理，得a2﹣6ab+5b2=0，∴（a﹣b）（a﹣5b）=0，∴a=b或a=5b．故选：C．【变式3-1】（2019秋•息县期末）若x2

+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6【解析】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1=±5，解得：m=4或m=﹣6，故选：A．【变式3-2】（2019秋•北京期末）若4x2+kxy+9y2是一个完全平

方式，则k的值为．【解析】∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，∴k=±12，故答案为：±12【变式3-3】（2019春•市南区校级期末）若多项式a2+2ka+1是一个完全平方式，则k的值是．【解析】∵a2

+2ka+1是一个完全平方式，∴2ka=±2a•1，解得：k=±1，故答案是：±1．【变式3-4】（2016秋•宛城区期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A

是完全平方式，例如：a4=（a2）2、4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2．（1）下列各式中完全平方式的编号有；①a6；②a2﹣ab+b2；③4a2+2ab+b2；④x2+4xy+4y2；⑤a2+a+；⑥x2﹣6x﹣9．（2）若x2+4xy+my2和

x2﹣nxy+y2都是完全平方式，求（m﹣）2的值；7（3）多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的单项式）【解析】（1）①a6=（a3）2；③4a2+2ab+b2=（2a+b）2；④x2+4xy+

4y2=（x+2y）2；⑤a2+a+=（a+）2，是完全平方式；②a2﹣ab+b2，⑥x2﹣6x﹣9，不是完全平方式各式中完全平方式的编号有①③④⑤；故答案为：①③④⑤；（2）∵x2+4xy+my2和x2﹣nx

y+y2都是完全平方式，∴x2+4xy+my2=（x+y）2，x2﹣nxy+y2=（x±y）2，∴m=4，n=±1，当n=1时，原式=9；当n=﹣1时，原式=25；（3）单项式可以为﹣1，﹣9x2，6x，﹣6x或x4．知识点4：平方差公式【例4】（2020•雁塔区校级二模）下

列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．a﹣2=﹣C．（a+2）（a﹣2）=a2+4D．（a2+1）0=1【解析】A、原式=a5，不符合题意；B、原式=，不符合题意；C、原式=a2﹣4，不符合题意；D、原式=1

，符合题意，故选：D．【变式4-1】（2020•历下区一模）下列运算正确的是（）A．x2+x=x3B．（﹣2x2）3=8x6C．（x﹣y）（x+y）=x2﹣y2D．（x+1）（x﹣2）=x2﹣2x﹣2【解析】A、x2与

x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、（﹣2x2）3=﹣8x6，故此选项不符合题意；C、（x﹣y）（x+y）=x2﹣y2，故此选项符合题意；8D、原式=x2﹣x﹣2，故此选项不符合题意，故选：C．【变式4-2】（2020•遵化市二模）阅读下

文，寻找规律，并填空：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=

．【解析】（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；故答案为：1﹣xn+1．【变式4-3】（2019秋•克东县期末）请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…猜想（1﹣x）（1+x

+x2+…+xn）的结果是（n为大于2的正整数）【解析】（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，…猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1，故答案为：1﹣xn+1【变式4-4】（2019秋•平山县期末）用简便方法计算：（1）1002﹣20

0×99+992（2）2018×2020﹣20192【解析】（1）1002﹣200×99+992=1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2=[100﹣（100﹣1）]2=12=1；（2）2018×2020﹣20192=（2019﹣1）（2019+1）﹣20192=2

0192﹣1﹣20192=﹣1．知识点5：平方差公式的几何背景【例5】（2019秋•婺城区期末）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（）9A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．2a（a+b）=2a2+2abD．（a﹣

b）2=a2﹣2ab+b2【解析】图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中的面积为：（a+b）（a﹣b），则（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2故选：A．【变式5-1】（2019秋•德城区期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形

（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）

【解析】由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：A．【变式5-2】（2018•大兴区一模）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形并沿图

中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为．【解析】图1的面积a2﹣b2，图2的面积（a+b）（a﹣b）由图形得面积相等，得10a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【变式5-

3】（2017•孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为．【解析】===，故答案为：．【变式5-4】（2018春•临清市期末）从边长为a的正方形中剪掉一

个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C、a2+ab=a（a+

b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解析】（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），11则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案

是B；（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）=××××××…××××=×=．知识点6：整式的除法【例6】（201

9秋•海淀区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．B．1C．D．a+b【解析】左边场地面积=a2+b2+2ab，∵左边场

地的面积与右边场地的面积相等，∴宽=（a2+b2+2ab）÷2（a+b）=（a+b）2÷2（a+b）=，故选：C．【变式6-1】（2019春•荣成市期中）①（﹣3x）4÷（﹣3x）3=﹣3x②6a6÷2a2=3a3③a8b6÷（a3b3）2=a2b④8xn+2y4÷（﹣2xy2）

2=2xn；其中错误的运算个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①（﹣3x）4÷（﹣3x）3=﹣3x，原计算正确；②6a6÷2a2=3a4，原计算错误③a8b6÷（a3b3）2=a8b6÷a6b6=a2b2，原计算错误；④8xn+2y4

÷（﹣2xy2）2=8xn+2y4÷（4x2y4）=2xn，原计算正确；12故选：B．【变式6-2】（2019春•建宁县期中）一个长方形的面积为a3﹣2a2+a，宽为a，则长方形的长为．【解析】长方形的长为（a3﹣2a2+a）÷a=a2﹣2a+1，故答案为：a2﹣2a+1．【变式6-3】（2018

秋•樊城区期末）观察下列式：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1．①（x7﹣1）÷（x﹣

1）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1；②根据①的结果，则1+2+22+23+24+25+26+27=．【解析】（1）由已知得（x7﹣1）÷（x﹣1）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1，故答案为x6+

x5+x4+x3+x2+1；（2）∵（28﹣1）÷（2﹣1）=27+26+25+24+23+22+2+1，∴28﹣1=27+26+25+24+23+22+2+1，故答案为28﹣1．【变式6-4】（2017春•宝丰县期中）已知一个多项式除以多项式a2+4

a﹣3，所得商式是2a+1，余式为2a+8，求这个多项式．【解析】（a2+4a﹣3）（2a+1）+（2a+8）=2a3+8a2﹣6a+a2+4a﹣3+2a+8=2a3+9a2+5．知识点7：整式的混合运算【例7】（2020•

淮北一模）下列运算正确的是（）A．2x2+x2=3x4B．x3y•（﹣3x2）=﹣3x5yC．（2x3﹣x2﹣x）÷（﹣x）=﹣2x2+xD．（x﹣y）2=x2﹣y2【解析】A、原式=3x2，不符合题

意；B、原式=﹣3x5y，符合题意；C、原式=﹣2x2+x+1，不符合题意；13D、原式=x2﹣2xy+y2，不符合题意，故选：B．【变式7-1】（2020•陕西模拟）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）（﹣

a﹣b）=a2﹣b2B．2a3+3a3=5a5C．6x3y2÷3x=2x2y2D．（﹣2x2）3=﹣6x3y6【解析】（a﹣b）（﹣a﹣b）=b2﹣a2，故选项A错误；2a3+3a3=5a3，故选项B错误；6

x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确；（﹣2x2）3=﹣8x6，故选项D错误；故选：C．【变式7-2】（2019秋•南浔区期末）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD=10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正

方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1=3b时，AB=．【解析】S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+

（AB﹣b）（AD﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b

）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB），∵S2﹣S1=3b，AD=10，∴b（10﹣AB）=3b，∴AB=7．故答案为：7．【变式7-3】（2019春•鹿城区校级月考）将如图1的长为a，宽为2（a＞2）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方

形ABCD内，未披覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．左上角与右下角的阴影14部分的面积差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式S始终保持不变，则a=．【解析】左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=6，右下角阴影部

分的长为PC，宽为a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=8+PC，∴AE+a=8+PC，即AE﹣PC=8﹣a，∴阴影部分面积之差S=AE•AF﹣PC•CG=6AE﹣aPC=6（PC+8﹣a）﹣aPC=（6﹣a）PC+48﹣6a

，则6﹣a=0，即a=6．故答案为：6．【变式7-4】（2019春•市北区期中）观察：已知x≠1．（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=；应用：根据你的猜想请你计算下

列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=；②2+22+23+24+…+2n=；拓广：①（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=；②判断22010+22009+22008+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．【解析】猜想：（1﹣x）（1

+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=﹣63；15②2+22+23+24+…+2n=（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n）=2n+1﹣2；拓广：①（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=x100﹣

1；②个位上数字为2，理由为：∵22010+22009+22008+…+22+2+1=﹣（1﹣2）（22010+22009+22008+…+22+2+1）=﹣1+22011，∵21=2，22=4，23

=8，24=16，…，其结果以2，4，8，6循环，∴2011÷4=502…3，则22011个位上数字为8，即﹣1+22011个位上数字为7．知识点8：整式的混合运算—化简求值【例8】（2019秋•滦南县

期末）若代数式[2x3（2x+1）]÷（2x2）与x（1﹣6x）的值互为相反数，则x的值（）A．0B．C．4D．【解析】∵[2x3（2x+1）]÷（2x2）与x（1﹣6x）的值互为相反数，∴[2x3（2x+1）]÷（2x2）+x（1﹣6x）=0，则（4x4+2x3）

÷2x2+x﹣6x2=0，故2x2+x+x﹣6x2=0，即﹣4x2+2x=0，则x1=0（不合题意舍去），x2=．故选：B．【变式8-1】（2019春•正定县期中）若ab=4，a﹣b=6，则（a+1）（b﹣1）的结果是（

）A．5B．﹣3C．3D．﹣5【解析】∵ab=4，a﹣b=6，∴原式=ab﹣（a﹣b）﹣1=4﹣6﹣1=﹣3，故选：B．【变式8-2】（2019春•资阳区校级期中）若x2+4x﹣4=0，则2（x﹣2）2﹣4（x+1）（x﹣1）的值为．【解析】∵x2+4x﹣4=0

，∴x2+4x=4，16∴2（x﹣2）2﹣4（x+1）（x﹣1）=2x2﹣8x+8﹣4x2+4=﹣2x2﹣8x+12=﹣2（x2+4x）+12=﹣2×4+12=4，故答案为：4．【变式8-3】（2019春•昌平区校级月考）已知x2﹣2x=2，则（x﹣1）（3x

+1）﹣（x+1）2﹣3的值为．【解析】∵x2﹣2x=2，∴（x﹣1）（3x+1）﹣（x+1）2﹣3=3x2﹣2x﹣1﹣x2﹣2x﹣1﹣3=2x2﹣4x﹣5=2（x2﹣2x）﹣5=2×2﹣5=4﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．【变式8-4】（2019春•顺义区期末）先化简，再求值：[4（a+b）（

a﹣2b）﹣（2a+b）2]÷（﹣2b），其中a=，b=﹣2．【解析】原式=（4a2﹣4ab﹣8b2﹣4a2﹣4ab﹣b2）÷（﹣2b）=（﹣8ab﹣9b2）÷（﹣2b）=4a+b，当a=，b=﹣2时，原式=2﹣9=﹣7．【变式8-5】（2019春•新

华区校级期中）（1）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2，其中a=﹣3，b=．（2）已知ab=﹣3，a+b=2．求下列各式的值：①a2+b2；②a3b+2a2b2+ab3；③a﹣b．【解析】（1）2

b2+（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2，17=2b2+a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2=ab﹣b2，当a=﹣3，b=，原式=﹣；（2）①∵ab=﹣3，a+b=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10；②∵ab=﹣3，a+b=2，∴a3

b+2a2b2+ab3=ab（a+b）2=﹣3×22=﹣12；③∵ab=﹣3，a+b=2，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=22﹣4×（﹣3）=16，∴a﹣b==±4．