【文档说明】湖南省2021届高三上学期9月份百校联考数学试卷含答案.docx，共(15)页，782.977 KB，由小赞的店铺上传

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湖南省2021届高三上学期9月份百校联考数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：小题内容为集合与常用逻辑用语，函数与导

数（50分），三角函数（30分），大题内容为新高考范围．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sin1000a=，则cos10=（）

A．a−B．21a−−C．aD．21a−2．设集合2Axxx=∣，260Bxxx=+−∣，则AB=（）A．(0,1)B．(2,0)(1,3)−C．(3,1)−D．(3,0)(1,2)−3．下列四个数中，最大的是（）A．0.1log6B．2log9C．3log12D．4log15

4．若01b，则“3ab”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数2()sincosfxxxxx=−在[,]−上的图象大致为（）A．B．C．D．6．设集合24Ayyxxa==−+∣

，2sin2sinByyxx==−+∣，若ABA=，则a的取值围是（）A．(,5]−B．[1,)+C．(,1]−D．[5,)+7．某艺术展览馆在开馆时间段（9:00-16:00）的参观人数（单位:千）随时间t（单位:时）的变化近似满足函数关系1

1()sin5(0,916)36ftAtAt=−+，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）A．7千B．8千C．9千D．1万8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是30210千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是24610

千克．下列各数中与mM最接近的是（）（参考数据：lg30.4771，lg60.7782）A．5.51910−B．5.52110−C．5.52310−D．5.52510−二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分

选对的得3分，有选错的得0分．）9．若tan2tan54xx−+=，则tanx的值可能为（）A．63−B．62−C．63D．6210．设命题:(0,)pa+，3()1fxxax=−+在(1,)+上是增函数，则（）A

．p为真命题B．p为(0,)a+，3()1fxxax=−+在(1,)+上是减函数C．p为假命题D．p为(0,)a+，3()1fxxax=−+在(1,)+上不是增函数11．已知函数22()2222fxxxxx=−++++，则（）A．

()fx的极值点不止一个B．()fx的最小值为22C．()fx的图象关于y轴对称D．()fx在(,0]−上单调递减12．已知函数()fx的导函数为()fx，若()()2()fxxfxfxx−对(0,)x+恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A

．(2)(1)2ffB．(2)(1)2ffC．(2)1(1)42ff+D．(2)1(1)42ff+第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数453,0(),0xxfxxax−

=+且(1)(1)ff−=，则曲线()yfx=在点(2,(2))f−−处的切线方程为________．14．已知曲线sin6yx=+关于直线1x=对称，则||的最小值为________．15．不等式1345xx++的解集为________

．16．关于函数()cos22|cos|fxxx=−有如下四个命题：①()fx的最小值为32−；②()fx在2,3上单调递增；③()fx的最小正周期为；④方程()2fx=−在(0,)内的各根之和为2．其中所有真命题的序号是________．四、解答题：本大題共6小题，共

70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①112nnaa+=−，②116nnaa+−=−，③18nnaan+=+−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的nS存在最大值，则求出最大值；若问题中的nS不存在最大值，请说明理由．问题

：设nS是数列na的前n项和，且14a=，________，求na的通项公式，并判断nS是否存在最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）2020年3月受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习．

为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2:1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意．（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上

教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计60（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．附：参考公式及临界值表22()()()()()nadbcKab

cdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.63519．（12分）在ABC中，cos4cosAC=，321sin14C=．（

1）求B；（2）若ABC的周长为57+，求ABC的面积20．（12分）如图，已知ACBC⊥，DB⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，过点D且垂直于DB的平面a与面BCD的交线为l，1ACBD==，3BC=，2AE=．（1）证明：l⊥平面AEC；（2）设点

P是l上任意一点，求平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值．21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为坐标轴，且C经过点(4,6)A．（1）求A到C的焦点的距离；（2）若C的对称轴为x轴，过(9,0)的直线l

与C交于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点．22．（12分）已知函数211()22xfxxeax=−++．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围．高三数学试卷参考答案1．

A【解析】本题考查三角函数的诱导公式，考查运算求解能力．因为()()sin1000sin360380sin80=−=−sin80cos10a=−=−=，所以cos10a=−．2．D【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力．因为(,0)(1,)

A=−+，(3,2)B=−，所以(3,0)(1,2)AB=−．3．B【解析】本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养．因为0.1log60，2log93，32log123，41log152，所以最大的是2log9．4．B【解析】本题考查充分、必要条件

的判定，考查推理论证能力．因为01b，所以3bb，故“3ab”是“ab”的必要不充分条件．5．A【解析】本题考查函数图象的识别，考查逻辑推理的核心素养与数形结合的数学思想．因为2()sincos()fxxxxxfx−=−+=−，所以()fx为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C与D

．因为306126f=−，所以排除B，故选A．6．C【解析】本题考查集合的并集与二次函数的值域，考查运算求解能力．因为224(2)44yxxaxaa=−+=−+−−，所以[4,)Aa=−+．因为22sin2sin

(sin1)1[3,1]yxxx=−+=−−+−，所以[3,1]B=−．因为ABA=，所以BA，则43a−−，即1a．7．C【解析】本题考査三角函数模型的应用，考查数学运算与数学建模的核心素养．下午两点整即14t=，当14

t=时，()7ft=．∵17sin576A+=，∴4A=，∵当916t时，1177,3662t−，∴当115362t−=时，()ft取得最大值，且最大值为459+=．8

．C【解析】本题考查对数运算的应用（估算数量级），考查化归与转化的数学思想与数据处理能力．因为6310mM−=，所以6lglg3lg100.477165.52295.523mM−=+−=−−，故5.52310mM−．9．BD【解析】本题考查

三角恒等变换，考查运算求解能力．设tanxt=，因为22222212(1)1tan2tan541111tttttxxtttt+−++−+=−===−−−−，所以232t=，故6tan2xt==．

10．AD【解析】本题考查特称命题的否定与导数的应用，考查推理论证能力．因为“是增函数”的否定为“不是增函数”，所以p为(0,)a+，3()1fxxax=−+在(1,)+上不是增函数．当1a=时，2()310fxx=−对(1,)x+恒成立，故p

为真命题．11．BCD【解析】本题考查函数的综合，考查化归与转化及数学抽象的核心素养．因为()2222224()2422(2)2424fxxxxxx=+++−=+++，()0fx，所以24()2424fxxx=+++，则当0x时，()fx单调递增，当0x时，()fx单

调递减，所以min()(0)22fxf==，且()fx只有一个极值点．因为()()fxfx−=，所以()fx是偶函数，其图象关于y轴对称．12．BD【解析】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力．设2()()fxxgxx

−=，()()fxhxx=，(0,)x+，则243()12[()]()2()()fxxxfxxxfxfxxgxxx−−−−+==，2()()()xfxfxhxx−=．因为()()2()fxxfxfxx−对(0,)x+

恒成立，所以()0gx，()0hx，所以()gx在(0,)+上单调递减，()hx在(0,)+上单调递增，则(1)(2)gg，(1)(2)hh，即22(1)1(2)212ff−−，(1)(

2)12ff，即(2)1(2)(1)422fff+．13．3247yx=−−（或32470xy++=）【解析】本题考查导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力．因为(1)1(1)2faf−=

+==，所以1a=．因为当0x时，3()4fxx=，所以(2)32f−=−．又(2)17f−=，所以所求切线方程为1732(2)yx−=−+，即3247yx=−−．14．3【解析】本题考查三角函数图象的

对称性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．因为曲线sin6yx=+关于直线1x=对称，所以()62kkZ+=+，所以()3kkZ=+，故||的最小值为3．15．(1,1)−【解析】本题考查基本初等函数的图象，

考查数形结合的思想与直观想象的核心素养．在同一直角坐标系中，作出函数13xy+=，45yx=+的图象，这两个图象的交点为(1,1)−，(1,9)，故由图可知不等式1345xx++的解集为(1,1)−．16．①②③④【解析】本题考查三角函数的性质与复合函

数问题，考查逻辑推理的核心素养．2213()2cos12|cos|2|cos|22fxxxx=−−=−−，当1|cos|2x=时，()fx取得最小值，且最小值为32−，当2,3x时

，|cos|yx=单调递增，且1|cos|,12x，则()fx在2,3上单调递增．因为函数cos2yx=与2|cos|yx=的最小正周期均为，所以()fx的最小正周期为．因为213

()2|cos()|22fxx−=−−−2132|cos|()22xfx=−−=，所以()fx的图象关于直线2x=对称，由()2fx=−，得13221(21)|cos|22x−−==，

则方程()2fx=−在(0,)内有四个根，且各根之和为422=．故所有真命题的序号是①②③④．17．解：选①因为112nnaa+=−，14a=，所以na是首项为4，公比为12−的等比数列，所以1311422nnna−−=−=−．当n为奇数时，141

281113212nnnS−−==++，因为81132n+随着n的增加而减少，所以此时nS的最大值为14S=．当n为偶数时，81132nnS=−，且81814323nnS

=−．综上，nS存在最大值，且最大值为4．选②因为116nnaa+−=−，14a=，所以na是首项为4，公差为16−的等差数列，所以11254(1)666nann=+−−=−+．由125066n−+，得25n，所以nS存在最大

值，且最大值为25S（或24S），因为25252412545026S=+−=，所以nS的最大值为50．选③因为18nnaan+=+−，所以18nnaan+−=−，所以217aa−=−，

326aa−=−，…19nnaan−−=−，则121321nnnaaaaaaaa−−=−+−++−2(79)(1)171622nnnn−+−−−+==，又14a=，所以217242nnna−+=．当16n时，0na，故nS不存在最大值．18．解：（1）由题意可知抽取60名

学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：满意不满意合计男生103040女生81220合计184260因为2260(1012308)101.4292.706184240207K−==，所以没有90%的把

握认为“对线上教学是否满意与性别有关”．（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10XB，3337()C1010kkkPXk−==，0,1,2,3k=，随机变量X的分布列为X0123P34

31000441100018910002710003931010EX==．19．解：（1）因为321sin14C=，所以27cos1sin14CC=−=．若7cos014C=−，则cos4cos0AC=，从而A，C均为钝角，这不可能，故7cos14C=，27cos7A=，

21sin7A=．所以coscos()coscossinsinBACACAC=−+=−+7272132111477142=−+=，因为0B，所以3B=．（2）由（1）知213321sin:sin:sin::2:7:37214ABC==，由正弦定理得::2:

7:3BCACAB=．设3ABk=，则7ACk=，2BCk=，则ABC的周长为(57)57k+=+，解得1k=，从而2BC=，3AB=，故ABC的面积133sin22SABBCB==．20．（1）证明：因为BD⊥，BD⊥平面ABC，所以∥平面ABC

，又平面BCDl=，平面ABC平面BCDBC=，所以BCl∥．因为EA⊥平面ABC，所以BCAE⊥．又BCAC⊥，AEEAA=，所以BC⊥平面AEC，从而l⊥平面AEC．（2）解：作CFAE∥，以C为原点，建立如图所示的

空间直角坐标系Cxyz−，则()0,1,0A，(0,0,0)C，(3,0,1)D，(0,1,2)E．设(,0,1)Pa，平面PAE、平面ACD的法向量分别为()111,,mxyz=，()222,,nxyz=，则(,1,1

)APa=−，(0,0,2)AE=，(0,1,0)AC=−，(3,0,1)CD=．因为m⊥平面PAE，所以1111020axyzz−+==，令11x=，得1ya=，10z=，即(1,,0)ma=．同

理222030yxz−=+=，令21x=，得20y=，23z=−，即(1,0,3)n=−．因为211|cos,|221mna=+，当且仅当0a=时取等号，所以平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值为60°．21．（1）解：当C的对称轴为x轴时，设C的方

程为22(0)ypxp=，将点A的坐标代入方程得2624p=，即2p=，此时A到C的焦点的距离为25424p+=．当C的对称轴为y轴时，设C的方程为22(0)xpyp=，将点A的坐标代入方程得2426p=，即43p=，此时A到C的焦点的距离为20623p+=．（2）证明：由（1）可

知，当C的对称轴为x轴时，C的方程为29yx=．直线l斜率显然不为0，可设直线l的方程为9xmy=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，线段MN的中点为()00,Gxy．由299yxxmy==+，得29810ymy−−=，则129yym+=，1281yy=−，所

以120922yymy+==，212091822xxmx++==，且()()()22221212||14914MNmyyyymm=++−=++．以线段MN为直径的圆的方程为()()22200||2MNxxyy−+−=

，即()2229290xmxymy−++−=，即22189()0xxymmxy−+−+=，令0mxy+=，则22180xxy−+=，因为mR，所以圆22189()0xxymmxy−+−+=仅过定点()0,0从而以线段MN为直径的圆过定点．22．解：（1）()1()

22xfxxea=++．当0a时，令()0fx，得1,2x−−；令()0fx，得1,2x−+．故()fx在1,2−−上单调递减，在1

,2−+上单调递增．当0a时，令()0fx=，得112x=−，2ln(2)xa=−．①当1ln(2)2a−=−，即2eae=−时，()0fx，()fx在R上单调递增．②当1ln(2)2a−−，即02eae−时，()fx在1ln(2),2a−−

上单调递减，在(),ln(2)a−−，1,2−+上单调递增．③当1ln(2)2a−−，即2eae−时，()fx在1,ln(2)2a−−上单调递减，在1,2−−，()ln(2),a−+

上单调递增．（2）当0a时，由（1）可知()fx只有一个极小值点12x=−，且102efe−=−，102fa=．（方法一）取32b−，且ln2ab，则2bae，2221133()22222afbbababababb−++=+=+

，因为32b−，所以2302bb+，则()0fb，此时()fx有两个零点．（方法二）当x→−时，102xxe−→，212ax+→+，从而()fx→+，因此()fx有两个零点．当0a=时，1()2x

fxxe=−，此时()fx有一个零点，不符合题意．当0a时，若12x，则恒有()0fx．当02eae−时，()fx在1,2+上单调递增，此时()fx在R上不可能有两个零点；当2eae

−时，若1ln(2)2a−，同理可知()fx在R上不可能有两个零点；若1ln(2)2a−，()fx在1,2+上先减后增，此时()fx在R上也不可能有两个零点．综上，a的取值范围是(0,)+．