【文档说明】专题9-2 轨迹八类求法-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(原卷版).docx，共(10)页，846.373 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题9-2轨迹八类求法目录一、热点题型归纳.................................................................................................

.....................................................1【题型一】直接法求轨迹................................................

................................................................................1【题型二】相关点代入法求轨迹......................

..............................................................................................2【题型三】定义法求轨迹........................

........................................................................................................2【

题型四】交轨法求轨迹................................................................................................................................

3【题型五】参数求轨迹................................................................................................................

....................4【题型六】立体几何中的轨迹............................................................................

............................................4【题型七】向量与求轨迹............................................................................

....................................................6【题型八】新高考：复数中求轨迹.......................................................................

..........................................7二、最新模考题组练..........................................................................................

........................................................8一般情况下，求轨迹题，多在解析几何大题第一问，小题不太多。本专题例题所选大题，大多把第二问隐去。第二问放到

下一个专题中归纳细讲。【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点(3,0)A−，(3,0)B，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值13，点M的轨迹是（）A．()22109xyy−=B．()22109yxy−=C．()22103

xyy−=D．()22103yxy−=【提分秘籍】可以直接列出等量关系式解题步骤：1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和

三角形顶点等约束条件【变式演练】1.若两定点A，B的距离为3，动点M满足2MAMB=，则M点的轨迹围成区域的面积为（）A．B．2C．3D．42.已知点(0,1)F，直线:1ly=−，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQ

FFPPQ=，则动点P的轨迹C的方程为（）A．24xy=B．23yx=C．22xy=D．24yx=3.已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN→·MP→＝6|NP→|.(1)求动点P的轨迹C的方程；【题

型二】相关点代入法【典例分析】已知△ABC的顶点(30)(10)BC−，，，，顶点A在抛物线2yx=上运动，求ABC△的重心G的轨迹方程．【提分秘籍】一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。1、求

谁设谁，设所求点坐标为（x，y）2、所依赖的点称之为“参数点”，设为x,)iiy（i=1,2..)（或00a,b)x,y)（，（等3、“参数点”满足某个（些）方程，可供代入4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反

解参数值。5、代入方程，消去参数值【变式演练】1.已知抛物线24Cyx=：的焦点为F.(1)点AP、满足2APFA=−.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;2.已知圆()2221:0Cxyrr+=与直线013:522lyx=+相切，点A为圆1C上一动

点，ANx⊥轴于点N，且动点M满足()2222OMAMON+=−，设动点M的轨迹为曲线C.（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；3.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方

程．【题型三】定义法【典例分析】已知动圆M过定点(4,0)P−，且与圆2280Cxyx+−=：相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【提分秘籍】若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．1.椭圆，双曲线，抛物线的定义2.一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆3.两个圆内外切情况下，

较多与圆锥曲线定义有关【变式演练】1、已知两个定圆O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，求动圆圆心M的轨迹方程，2、已知点0,

41F，直线41:−=xl，点B是直线l上动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）A、双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆3.已知点(),Pxy满足条件()()2222114xyxy+++−+=.（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；【题型四】交轨法

【典例分析】如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;【提分秘籍】交轨法，即轨迹交点法。1.所求点满足条件方程12.所求点满足条件方程23.动点是两轨迹方程，则满

足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去参数得到轨迹的普通方程4.参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.【变式演练】1.已知MN是椭圆12222=+byax中垂直

于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。2.由圆外一定点abQ（，）向圆222xyr+=做割线，交圆周于A、B两点，求弦AB中点的轨迹【题型五】参数法【典例分析】0C22221(0xyabab+=22211:Cxyt+=1bta12,AA0C1C0C1

AA2AB如图3所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程。【提分秘籍】解题步骤：1引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标,xy；2.消去参数，

得到关于,xy的方程，即为所求轨迹方程。【变式演练】1.已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．2.在平面直角坐标

系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；3.设M是椭圆22:1124xyC+=上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，

QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．【题型六】立体几何中的轨迹本方法可参考立体几何专题对应的轨迹题型和方法总结【典例分析】已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线

11AD的距离与点P到点M的距离的平方差为2a，则点P的轨迹所在曲线为（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【提分秘籍】立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入1.建系，利用空间坐标系求出方程。2.通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨

迹转化为平面轨迹求解。2yx=AOBO⊥AOB【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E是棱1CC的中点，F是侧面11BBCC上的动点，并且1//AF平面1AED，则动点F的轨迹是（）A．圆B．椭

圆C．抛物线D．线段2.在棱长为6的正方体1111ABCDABCD−中，点M是线段BC的中点，P是正方体11DCCD（包括边界）上运动，且满足APDMPC=，则P点的轨迹周长为________.3.如图，正方体ABCDABCD−中，M为BC边的中点，

点P在底面ABCD和侧面CDDC上运动并且使MACPAC=，那么点P的轨迹是（）A．两段圆弧B．两段椭圆弧C．两段双曲线弧D．两段抛物线弧【题型七】向量与轨迹【典例分析】已知O，A，B为平面上三点，若2O

AOB==，2OAOB=uuruuur，动点P和实数，满足OPOAOB=+，12，24，则动点P轨迹的测度是__________.（注：当动点的轨迹是曲线时，其测度指其长度；当动点的轨迹是平面区域时，其测度指该区域面积.）【提分秘籍】向

量背景下求轨迹1.向量几何意义2.向量坐标运算或者数量积运算【变式演练】1.已知E为平面内一定点且1OE=，平面内的动点P满足：存在实数1，使()112OPOE+−=，若点P的轨迹为平面图形S，则S的面积为___________.2.如图，B是AC

的中点，2BEOB=，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且(),OPxOAyOBxyR=+，则下列结论正确的是（）A．当P在C点时，1x=−，2y=B．当0x=时，2,3yC．若xy+为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．当P是线段C

E的中点时，12x=−，52y=3.已知O是ABC所在平面内一点，以下说法正确的是（）A．若动点P满足()sinsinABABACACOPOARCB=++，则P点的轨迹一定通过ABC的重心．B．若点O满足,AO

ABAOACCOCACOCBABACCACB==，则点O是ABC的垂心．C．若O为ABC的外心，且OAOBOCOM++=，则M是ABC的内心．D．若()()0OAOBABOBOCBC+=+=，则点O为ABC的外心【题型八】复数中的轨迹（新高考）【典例分析】已

知复平面内A点对应的复数为2i+，B点对应的复数为1i−，()()2i,zxyxyR=+−．若1z=，在z的轨迹上任取一点C，求ABC的面积取值范围．【提分秘籍】复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求1、利用复数的模运算转化2、利用复

数的几何意义【变式演练】1.若复数z满足1i3z−+=，则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）A．3B．9C．6πD．9π2.已知复数z满足ii2zz++−=，则z的轨迹为（）A．线段B．直线C．椭圆D．椭圆的一部分3.设非零复数0Z

是复平面上一定点，1Z为复平面上的动点，其轨迹方程101ZZZ−=，Z为复平面上另一个动点满足11ZZ=−，则Z在复平面上的轨迹形状是（）A．双曲线B．圆C．一条直线D．抛物线1．（上海市徐汇区2020-2021学年上学期期末）设n是定直线l的法向量，定点A在直线l上，定点B在

直线l外，P为一动点，若点P满足||||||PAnPBn=，则动点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线2.（安徽省黄山市2020-2021年上学期）已知O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足,

(0,)||||ABACOPOAABAC=+++，则动点P的轨迹一定通过ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心3.（山东省潍坊市2021-2022学年上学期高中学科核心素养测评）已知两定点1,02P−，(

)1,02Qmm−，动点M与P､Q的距离之比MQMP=（0且1），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为224xy+=，则m+的值为（）A．8−B．4−C．0D．44.（福建省福州高级中学2021-20

22学年上学期期中）已知椭圆22221xyab+=（a>b>0）的两个焦点分别为F1，F2，设Р为椭圆上一动点，角12FPF的外角平分线所在直线为l，过点F2做l的垂线，垂足为S，当点Р在椭圆上运动时，点S的轨迹所围成的图形的面积为：（）A．a2B．4a2C．2a'D．24a5.

（2021·湖南省郴州市9月月考）试运用类似上面的解法解下列问题：求函数1sin2cosxyx+=−的值域．6.（新疆克拉玛依市2022届高三第三次模拟检测数学（理）试题）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，

B距离之比为常数（0且1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1226ABADAA===，点E在棱AB上，2BEAE=，动点P满足3BPPE=.

若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体1111ABCDABCD−内部运动，F为棱11CD的中点，M为CP的中点，则点M到平面1BCF的距离的最小值为___________.7.（四川省绵阳市绵阳第一中学2021-2022学年上学期期中数学试题

）满足()22233113xyxy++++=的点(),Pxy的轨迹是（）A．圆B．双曲线C．直线D．抛物线8.（北京科技大学附属中学2020-2021学年上学期）已知定点()1,0A−、()10B,，P是动点且直线PA、PB的斜率之积为()0，则动点P的轨迹可能是

（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分9.(福建省泉州科技中学2022届高三上学期期中考试数学试题)如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)−，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23−.（1）求P的轨迹方程；（2）设点

P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求△MON的面积.10.(福建省莆田第二中学2021-2022学年12月阶段性检测数学试题)在平面直角坐标系中，动圆E经过点1,02，且与直线1:02mx+=相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.（

1）求动圆E圆心的轨迹C的方程；（2）直线:1lykx=+与曲线C交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过O点（O为坐标原点），求直线l的方程.