【文档说明】山西省晋中市名校2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.306 MB，由小赞的店铺上传

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山西省高二下学期3月联合考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效

.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册､选择性必修第二册第四章占30%，选择性必修第二册第五章､选择性必修第三册第六章占70%.一､选择题：本题共

8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校食堂餐后有三种水果可供学生挑选，每名学生只能挑选其中一种，甲、乙、丙三人每人任意挑选一种水果，则不同的选择有（）A.3种B.6种C.9种D.27种【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法计数原理求

解即可.【详解】不同的选择有33327=种.故选：D.2.已知()21f¢=，则0(22)(2)limxfxfx→−−=（）A.1B.2C.1−D.2−【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可得答案.【详解】00(22)(

2)(22)(2)lim2lim2(2)22xxfxffxffxx→→−−−−=−=−=−−.故选：D3.小明所在高校开设了篮球､足球､太极拳等12门体育选修课，每名学生需在大一和大二年级分别选择不重复的一门选修课学习，则小明的体育选修课不同的选择有（）A.66种B.96种C.13

2种D.144种【答案】C【解析】【分析】直接用排列的定义列式计算即可.【详解】不同的选择有212A132=种．故选：C．4.已知某质点的位移x（单位：m）与时间t（单位：s）的关系式是232xtt=+，则质点在2s时的瞬时速度为（）A.14m

/sB.16m/sC.7m/sD.8m/s【答案】A【解析】【分析】根据导数的物理意义，该质点的瞬时速度为质点关于位移的导数，求导代入2t=即可．【详解】根据导数的物理意义，对运动方程232xtt=+求导得62xt=+，令2t=，得2|62214tx=+=

=，即质点在2s时的瞬时速度14m/s，故选：A．5.函数()fx的图象如图所示，设()fx的导函数为()fx，则()()0fxfx的解集为（）A.()1,6B.()1,4C.()(),16,−+D.()()1

,46,+【答案】D【解析】【分析】根据导函数与原函数之间的关系，结合图象即可求解.【详解】由图象可得当4x时，()0fx¢>，当4x时，()0fx.结合图象可得：当14x时，()()0,0fxfx，即

()()0fxfx；当6x时，()()0,0fxfx，即()()0fxfx；所以()()0fxfx的解集为()()1,46,+.故选：D6.某正方体形木块的六个面分别标有数字1~6，用红､黄､蓝､白4种颜色给这六个面涂色（不一定每种颜色都用上），相邻

两个面所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案有（）A.48种B.72种C.96种D.144种【答案】C【解析】【分析】根据分步计数原理分步进行涂色即可求解.【详解】先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，再涂区域3，有2种

选择.若区域4的颜色和区域2的颜色不同，此时区域4,5,6只有一种选择；若区域4的颜色和区域2的颜色相同，剩下的区域有3种选择.故不同的涂色方案有()4321396+=种.故选：C.7.已知过点(),0Aa作曲

线lnyxx=的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为（）A.()0,+B.()1,+C.1,e+D.()e,+【答案】B【解析】【分析】设切点为()00,xy，利用导数求出切线斜率，结合斜率公式可得出00ln1xax=+，可知关于0x的方程00ln1xa

x=+有两个不等的实根，令()ln1xfxx=+，利用导数分析函数()fx的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.【详解】设切点为()00,xy，对函数lnyxx=求导得ln1yx=+，的所以，切线斜率为000000lnln1yxxkxxaxa=+==−−，整理得0

0ln1xax=+，关于0x的方程00ln1xax=+有两个不等的实根.令函数()ln1xfxx=+，由题意可得0ln10xx+，解得0x且1ex，所以，函数()fx的定义域为110ee

+,,，且()()2ln1lnxfxx=+，当10,ex时，()0fx，()0fx；当11ex时，()0fx，()0fx；当1x时，()0fx，()0fx¢>，所以()f

x在10,e上单调递减，在1,1e上单调递减，在)1,+上单调递增.()()11fxf==极小值.作出函数ya=与函数()fx的图象如下图所示：由图可知，当1a时，直线ya=与函数()fx的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是()1,+.故选：

B.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨

论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.8.2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别

负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能负责语言服务工作，则不同的选法共有（）A.248种B.252种C.256种D.288种【答案】B【解析】【分析】先选能担任语言服务的人员，再选能担任人员引

导、应急救助工作的人员，最后根据分步计算原理即可得答案.【详解】先从甲、乙之外的6人中选取1人负责语言服务工作，再从剩下的7人中选取2人负责人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1267CA252=种.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为11AB,AD的中点，则（）A.BFCE⊥B.DF//平面1BCEC.BF⊥平面1BCED.直线DF与直线CE所成角余弦

值为25【答案】AD【解析】的【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据0CEBF=得到A正确；B选项，求出平面1BCE的法向量，由10mDF=−得到B错误；C选项，根据10BCBF，得到直线BF与直线1BC不垂直；D选项，利用空间向

量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设2AB=，则()()()()()()10,0,0,2,1,0,1,0,2,2,2,0,2,2,2,0,2,0DEFBBC.()()()()12,1,0,

1,2,2,1,0,2,2,0,2CEBFDFBC=−=−−==−−.A选项，因为220CEBF=−+=，所以BFCE⊥，A正确.B选项，设平面1BCE的法向量为(),,mxyz=，则()()()()1,,2,0,2220,,2,1,020mBC

xyzxzmCExyzxy=−−=−−==−=−=，令1x=得，2,1yz==−，故()1,2,1m=−，因为()(),1,2,112101,02DmF−==−=−，所以DF与m不垂直，则直线DF与平面1BCE不平行，B错误.C选项，若BF⊥平面1BCE，则1BFBC

⊥.因为10204BCBF=+−，所以直线BF与直线1BC不垂直，矛盾，C错误.D选项，()()2,1,01,0,22cos,54114CEDFCEDFCEDF−===++，D正确.故选：AD的10.已知1021001210(21)xaaxaxax−=++++，则（）

A.01a=B.120a=−C.12100aaa+++=D.1013913aaa+++=−【答案】ABC【解析】【分析】令0x=可判断选项A；由二项式的通项可求出1a而可判断选项B；令1x=，=1x−可判断选项C，D

.【详解】令0x=，可得01a=，A正确.()19210C2(1)20Txx=−=−，所以120a=−，B正确令1x=，可得201101aaaa=++++①，则12100aaa+++=，C正确.令=1x−，可得10012103aaaa=−+−+②，①－②可得1013913222aaa−=++

+，所以10139132aaa−+++=，D错误.故选：ABC.11.若函数()21lnfxxax=−−有两个零点，则a的值可以是（）A.1−B.1C.2D.3【答案】BD【解析】【分析】利用导数将a分情况进行讨论，当0a或2a=,02a或2a时，得

出函数()fx的单调性，并得出零点的个数，得出结果.【详解】()()20=−afxxxx.当0a时，()()0,fxfx在()0,+上单调递增.易知()fx有且仅有一个零点1x=.当02a时，()0fx=有唯一解012ax=.易知在

()00,x上，()()0,fxfx单调递减，且()()12010,ee0aafxff−−==，即()fx在()00,x上有一个零点，在()0,x+上，.()()0,fxfx单调递增.结合()

001,0xfx，可得()fx在()0,x+上有一个零点1x=.故()fx在()()000,,,xx+上各有一个零点.当2a=时，令()0fx=，得1x=，易知在()0,1上，()()0,fxfx单调递减，在()1,+上，()()0,fxfx单调递增.故()fx的最小

值为()()10,ffx=仅有一个零点.当2a时，()0fx=有唯一解012ax=.易知在()00,x上，()()0,fxfx单调递减，且()10f=，所以()fx在()00,x上有一个零点1x=.在()0,x+上，()()0,fxfx单调递增，且()()010

fxf=，()()2222ee1(1)120=−−+−−=aafaaaa，所以()fx在()0,x+上有一个零点.故()fx在()()000,,,xx+上各有一个零点.综上，当0a或2a=时，()fx仅有一个零点；当02a

或2a时，()fx有两个零点.故选：BD.【点睛】方法点睛：借助导数的知识来求函数零点的个数问题，函数中含有参变量，随着参数的变化，函数的单调区间、极值等都在发生变化.因此解决此类问题时必不可少的要求画出函数的趋势图象，然后根据趋势图象找出符合零点问题的条件即可，这里需要说明一

下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数；二是参数影响函数的极值或最值.通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数.12.意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列:1,1,2,3,5,8,13,na，其被称为斐波

那契数列，满足12111,nnnaaaaa+−===+.某同学提出类似的数列:1,3,4,7,11,18,nb，满足12111,3,nnnbbbbb+−===+.下列结论正确的是（）A.2461001011bbbbb++++=−B.2101991005bbb−=C.设nb的前n项和为100

98,1nSbS−=D.22221231001001012bbbbbb++++=−【答案】AD【解析】【分析】A选项：24610031537510199bbbbbbbbbbbb++++=−+−+−++−，裂项相消；B选项：根据递推公式推导出211nnnbbb+−−是以-5为首项，-1为

公比的等比数列.2211101991005(1),5,nnnnbbbbbb+−−=−−−=−C选项：9812398Sbbbb==++++()2123982bbbbbb+++++−配凑；D选项：222222222123100122310023310022bbbbbbbbbb

bbb++++=++++−=+++−2234410010010122,bbbbbb=+++−==−【详解】A项：2461003153751019910111011bbbbbbbbbbbbbbb++++=−+−+−++−=−=−故A正确.B

选项：因为()()222221111111nnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbbb+++++++−−=+−=−−=−，22213122111,5nnnnnnbbbbbbbbb+++−−=−−=−−，所以211nnnbbb+−−是以-5为首项，-

1为公比的等比数列.2211101991005(1),5,nnnnbbbbbb+−−=−−−=−故B错误.C选项：()()10098100123981002123982bSbbbbbbbbbbbb−=−++++=−+++++−()()10032398100

439833bbbbbbbbb=−++++−=−+++−()10010033bb==−−=，故C错误.D选项：222222222123100122310023310022bbbbbbbbbbbbb++++=++++

−=+++−2234410010010122,bbbbbb=+++−==−D正确.故选AD.【点睛】9812398Sbbbb==++++()2123982bbbbbb+++++−配凑；222222222123100122310023310022bbbbbbbbbbbbb+++

+=++++−=+++−将数列配凑和转化是本题的难点和解题关键点.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知函数()()sin20fxxf=+，则()0f=__________.【答

案】2【解析】【分析】求导，求出()02f=，得到解析式，代入0x=，求出答案.【详解】因为()2cos2fxx=，故()02cos02f==所以()sin22fxx=+，故()0sin022f=+=.故答案为：214.甲､乙､丙等6个人站成一排

，若要求甲、乙均站在丙的左边，则不同的排法有__________（用数字作答）种.【答案】240【解析】【分析】丙所在位置进行分类讨论即可求解.【详解】情形1：丙在最右端，则有55A120=种；情形2：丙在第五位，则有1434AA72=种；情形3：

丙在第四位，则有2333AA36=种；情形4：丙在第三位，则有3232AA12=种；故甲，乙均站在丙的左边共有240种，故答案为：240.15.已知球O的半径为6，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为__________

.【答案】163π【解析】【分析】设圆M的半径为r，圆锥的高为h，则2236rh+=，圆锥的体积()21π363Vhh=−，利用导数求得圆锥的体积的最大值.【详解】设圆M的半径为r，圆锥的高为h，则2236rh+=.圆锥的体积()2211ππ3633Vrhhh==−，令函数()()21π363

fhhh=−，则()()()221π363π123fhhh=−=−.当()0,23h时，()()0,fhfh单调递增；当)23,6h时，()()0,fhfh单调递减.所以()()23163πfhf=，故圆锥的体积的最大值为163π.故答案为：163π.16.已知

O是坐标原点，F是双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点N，且MNNF=，则双曲线E的离心率为______．【答案】1313+【解析】【分析

】根据等边三角形性质、余弦定理以可解得2132NFc=，进而根据双曲线的定义可求得13122ac−=，即可得到其离心率.【详解】根据双曲线的对称性，不妨假设M在第二象限，作出如下图形，设双曲线E的右焦点为2F

，连接2NF.因为OMF是等边三角形，所以||||MFOFc==，60OFM=．又||||MNNF=，所以||2cNF=．在2FNF△中，由余弦定理知2222222||2||cosNFNFFFNFFFNFF=+−()22

213222cos60224ccccc=+−=，则2132NFc=.根据双曲线的定义有21312||2aNFNFc−=−=，则41313131ca+==−．故答案为：1313+.四､解答题：本题共6小题，共70分.17.已知公差大于0的等差数列na的前n项和为nS

，2543aaa+=+，且3a，6a，62a成等比数列.（1）求na的通项公式及nS;（2）设数列3nS的前n项和为nT，求数列nT中整数的个数.【答案】（1）nan=，()12nnnS+=.（2）3个.【解析】【

分析】（1）由条件转化成基本量即可求解;（2）裂项求出nT的表达式，再寻找使得nT是整数的n的个数即可.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，则0d，所以由条件可得:()()()11121114335225adad

adadadad+++=+++=++，解得111ad==，所以nan=，()()1122nnaannnS++==.【小问2详解】数列3nS的通项公式为:()366611nSnnnn==−++，所以

66666666122311nTnnn=−+−++−=−++……，要使得nT为整数，只需1n+是6的约数即可，故数列nT中整数为:1253,4,5TTT===;故数列nT中的整数共3个.18.已知函数()()32fxaxbxa=+R在2x=处取得极小值－4．

（1）求()1f−的值；（2）求()fx在区间1,4−上的最大值．【答案】（1）－4（2）16【解析】【分析】（1）利用极值的定义列方程求解,ab，进而得()1f−的值；（2）利用导数讨论函数在1,4−的单调性，结合极值和区间端点处的函数

值即可求最值．【小问1详解】()232fxaxbx=+.依题意可得(2)1240(2)844fabfab=+==+=−，解得1,3ab==−，所以()()323,14fxxxf=−−=−.【小问2详解】()()23632,1,4fxxxxxx

=−=−−.当()0,2x时，()0fx，当()()1,02,4x−时，()0fx¢>，所以()fx在0,2上单调递减，在()1,0−和(2,4上单调递增.则()fx的极大值为()00f=，又()416f=，故()fx在区间1,4−上的最大值为16.19.如图，四棱

锥PABCD−的底面为矩形，2,3,10ADABPAPD====，平面PAD⊥平面ABCD，O是AD的中点，E是PB上一点，且//AE平面POC.（1）求PEPB的值；（2）求直线CE与平面POC所成角的正弦值.【答案】（1）12（2）3015【解析】【分析】（1

）设平面AOE与直线PC相交于点F，根据线面平行的判定定理和性质，证得四边形AEFO为平行四边形，进而得到PEPB的值；（2）利用面面垂直的性质，证得PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面POC的一个法向量(3,1,0)m=

，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：设平面AOE与直线PC相交于点F，连接,EFOF，因为//AE平面POC，AE平面AEFO，平面AEFO平面POCFO=，所以//AEFO，又因为//AOBC，

BC平面PBC，AO平面PBC，所以//AO平面PBC，又由平面AEFO平面PBCEF=，所以////AOEFBC，所以四边形AEFO为平行四边形，所以12EFAOBC==，所以,EF分别为,PBPC的中点，所以

12PEPB=.【小问2详解】解：由四棱锥PABCD−的底面为矩形，且10PAPD==，因为O为AD的中点，所以POAD⊥，又因为平面PAD⊥平面ABCD，PO平面PAD，且平面PAD平面ABCDAD=，所以PO⊥平面ABCD

，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，因为四棱锥PABCD−的底面为矩形，且2,3ADAB==且10PAPD==，则133(0,0,0),(1,3,0),(0,0,3),(,,)222OCPE−，可得(1,3,0OC=−)，(0,0,3OP=

)，333,,222CE=−，设平面POC的法向量为(,,)mxyz=，则3030mOCxymOPz=−+===，令1y=，可得3,0xz==，所以(3,1,0)m=，设直线CE与平面POC

所成的角为，则330sin1533102mCEmCE===.20.已知函数()3lnfxxxx=+.（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()1fx对任意的xm恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）430xy−−=（2）)1,+【解析】【分析】

（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可；（2）构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】()()()2ln31,14,11fxxxff=++==.则曲线()yfx

=在点()()1,1f处的切线方程为()141yx−=−，即430xy−−=.【小问2详解】()1fx，即21ln0xxx+−.令()21lnhxxxx=+−，由条件可知，()0hx对任意xm恒成立.因为()21120hxxxx=++，

所以()hx在()0,+上单调递增.因为()10h=，所以当1x时，()0hx，所以m1.的故实数m的取值范围为)1,+.21.如图，A，B，C，D是抛物线E：24yx=上的四个点（A，B在x轴上方，C，D在x轴下方），已知直线A

C与BD的斜率分别为63−和2，且直线AC与BD相交于点P．（1）若点A的横坐标为6，则当ADC△的面积取得最大值时，求点D的坐标．（2）试问PAPCPBPD是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）3,62−（2）是定值，定值为2【解析】【分析】（1

）首先求出直线AC方程，由于AC的长度为定值，故点D离直线AC距离越远，ADC△的面积越大，设与直线AC平行的直线为63yxm=−+，根据直线与抛物线相切求出m，进而取出D点坐标.（2）首先设()00,

Pxy，设直线BD为()002yyxx−=−，然后将直线与曲线联立，利用韦达定理求得2BDyy+=，0024BDyyyx=−．同理求得26ACyy+=−，00264ACyyyx=−−，然后根据弦长公式分别求得PA，PC，PB

，PD，然后代入PAPCPBPD中即可证明其为定值.【小问1详解】由题可知，点A的坐标为()6,26，直线AC的方程为6463yx=−+，则AC的长度为定值．将直线AC平移到与抛物线E相切，切点为D，此时ADC△的面积取

得最大值．设切线的方程为63yxm=−+，联立方程组24,6,3yxyxm==−+消去x整理得226260yym+−=．()2Δ264260m=+=，解得62m=−，将62m=−代入226260yym+−=，解得6y=−，32x=，故点D的坐标为3,62−．【小问2详解

】设()00,Pxy，则直线BD的方程为()002yyxx−=−，联立方程组()2004,2,yxyyxx=−=−消去x整理得2002240yyyx−+−=，则2BDyy+=，0024BDyyyx=−．同理可得，26ACyy+=−，00264ACyyyx=−−．0021101

263AAPAyyyy=+−=−−，0021101263CCPCyyyy=+−=−−，00215122BBPByyyy=+−=−，00215122DDPDyyyy=+−=−，所以()()()()()()()220000

0022000000242224ACACACBDBDBDyxyyyyyyyyyyPAPCPBPDyyyyyyyyyyyx−−++−−====−−−++−．故PAPCPBPD是定值，且该定值为2．【点睛】方法点睛：对于圆锥

曲线中的弦长公式我们并不陌生，弦长()2212121214ABkxxxxxx=+−=+−，其中在圆锥曲线中，任意两点间的距离我用都可以仿照弦长公式进行求解，假设()11,Mxy，()22,Nxy，即211MNMNkxx=+−，用此方法求两点间距离时

，方便我们利用韦达定理.22.已知函数()lnfxxax=−.（1）讨论()fx的单调性；（2）若函数()()2gxfxx=−有两个零点()1212,xxxx，求a的取值范围，并证明121xx.【答案】（1）见解析（2）(),1−−，证明

见解析【解析】【分析】（1）对()fx求导，分0a和0a讨论导函数的正负，即可得出()fx的单调性；（2）对()gx求导，得到()gx的单调性，要使函数()()2gxfxx=−有两个零点，令()ln(0)xhxaxxx=−−，即()max()110hxha=

=−−，即可求出a的取值范围；要证121xx，即证()121hxhx，通过构造函数法令()11lnxxxxxx=+−+，对()x求导，得出()x的单调性即可证明.【小问1详解】()1axfxx=−.当0a

时，()0fx在()0,+上恒成立，所以()fx在()0,+上单调递增.当0a时，若10,xa，则()0fx¢>，若1,xa+，则()0fx，所以()fx在10,a上单调递增，在1,

a+上单调递减.【小问2详解】令()()20gxfxx=−=，得ln0xaxx−−=.令()ln(0)xhxaxxx=−−，则()221lnxxhxx−−=.设函数()21lnsxxx=−−，则()120sxxx=−−，所以()

sx在()0,+上单调递减.因为()10s=，所以当()0,1x时，()0sx；当()1,x+时，()0sx.所以()hx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，则()max()11hxha==−−，当x趋近于0时，()hx趋近于负无穷.当x趋近于

正无穷时，()hx趋近于负无穷，因为()gx有两个零点12,xx，所以10a−−，解得1a−.故a的取值范围为(),1−−.因为12xx，所以122101,01xxx.要证121xx，只需证121xx.由于()hx在()0,1上单调递增，故只需证()1

21hxhx.由()()120hxhx==，得()()2212222222222221lnln11111ln1xxhxhhxhxaaxxxxxxxxxx−=−=−−−−−=+−+

令()11lnxxxxxx=+−+，则()211lnxxx=−.当1x时，()0x，所以()x在()1,+上单调递增.()()10x=，即2222211ln0xxxxx

+−+，所以()121hxhx，即证得121xx.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com