【文档说明】2021高考数学（理）集训2　排列、组合与二项式定理 统计与统计案例　概率、随机变量及其分布列 .docx，共(18)页，362.578 KB，由小赞的店铺上传

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专题限时集训(二)排列、组合与二项式定理统计与统计案例概率、随机变量及其分布列1．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随

机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A

．0.5B．0.6C．0.7D．0.8C[由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则其与该校学生人数之比为70÷100＝0.7.故选C．]2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老

年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9B[由题意可知E→F有C24种走法，F→G有C13种走法，由乘法计数原理知，共C24·C13＝18种走法，故选B．]3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名

志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D[由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C

24种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C24×A33＝36种．故选D．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑4i＝1pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1

，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[对于A：E(X)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，所以

D(X)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；同理，对于B：E(X)＝2.5，D(X)＝1.85；对于C：E(X)＝2.5，D(X)＝1.05；对于D：E(X)＝

2.5，D(X)＝1.45.故选B．]5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．14B．π8C．12D．π4B[

设正方形边长为a，则圆的半径为a2，正方形的面积为a2，圆的面积为πa24.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是12·πa24a

2＝π8，故选B．]6．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中

位数B．平均数C．方差D．极差A[中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A．]7．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该

地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入

增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A[设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以

A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28

%＝58%＞50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A．]8．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的

和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．112B．114C．115D．118C[不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,2

9，共10个，从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝3C210＝115，故选C．]9．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”

描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A．516B．1132C．2132D．1116A[由

6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C36＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝2064＝516.故选A．]10．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A

．10B．20C．30D．60C[(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则(x2＋x)3的通项为Ck3(x2)3－kxk＝Ck3x6－k，令6－k＝5，则k＝1，∴(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C25

C13＝30.故选C．]11．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7B

．0.6C．0.4D．0.3B[由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的人数X概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，即(1－p)2＜p

2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.]12．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．0

.98[由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝39.2，其中高铁个数为10＋20＋10＝40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240＝0.98.]13．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，

则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)16[根据题意，没有女生入选有C34＝4种选法，从6名学生中任意选3人有C36＝20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20－4＝16种．]14．(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为3

2，则a＝________.3[设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝f(1)＝16(a＋1)，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a5＝f(－1)＝0.②①－②得，2(a1＋a3＋a5)＝16(a

＋1)，所以2×32＝16(a＋1)，所以a＝3.]15．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独

立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．0.18[前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲

队以4∶1获胜的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18.]1．(2020·广州模拟)如果数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为82，则5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均数和方差分别为(

)A．x，82B．5x＋2,82C．5x＋2,25×82D．x，25×82C[∵数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为82，∴5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均数为：5x＋2,5x1＋

2,5x2＋2，…，5xn＋2的方差为25×82.故选C．]2.(2020·银川模拟)为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了A地[20,65]岁的n名女性，其中A地各年龄段的女性比例如图所示．若年龄在[20,

50)岁的女性被抽取了40人，则年龄在[35,65]岁的女性被抽取的人数为()A．50B．10C．25D．40C[由题意，设抽到的年龄在[35,65]岁的女性人数为x，则x40＝30%＋20%30%＋50%＝58，解得x＝25，故选C．]3．(2020·保定一模)恩格尔系数

是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为()A．60%B．64

%C．58%D．55%B[把x＝5代入回归方程y＝0.4x＋1.2中，得y＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为3.25＝0.64＝64%，故选B．]4．(2020·邯郸模拟)为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到2×2列

联表如表：选择“物理”选择“历史”总计男生352055女生153045总计5050100附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.84

16.63510.828由此得出的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”C．有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关”D．有

99.9%的把握认为“选择物理与性别无关”A[由题意可知，K2＝100×(15×20－30×35)2(15＋35)×(15＋30)×(30＋20)×(35＋20)≈9.091＞6.635，所以在犯错误的概率不超过

0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”，或有99%的把握认为“选择物理与性别有关”．故选A．]5．(2020·洛阳模拟)在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于5的概率是()A．16B．15C．14D．12D[如图，作OC⊥AB于C，OD＝5，则CD＝

OD2－OC2＝(5)2－22＝1.故该点到正方形中心的距离小于5的概率是：2CDAB＝12，故选D．]6．(2020·昆明模拟)已知(2x－1)(x＋a)3展开式中各项系数之和为27，则其展开式中x2项的

系数为()A．24B．18C．12D．4B[由已知令x＝1可得，(2－1)(1＋a)3＝27，则a＝2.∴(2x－1)(a＋x)3＝(2x－1)(2＋x)3.∴展开式中含x2的项的系数是2×C1322－2×C23＝18，故选B．

]7．(2020·齐齐哈尔一模)已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是()A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为11D[由题意，极差为26－14＝12，中位数为21，平均

数为19(14＋18＋20＋20＋21＋22＋23＋25＋26)＝21，方差为19[(14－21)2＋(18－21)2＋…＋(26－21)2]＝1069，D错误，故选D．]8．(2020·石家庄模拟)雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，原先

是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法错误的是()A．甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同B．甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙

C．在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙D．甲在这五个方面的综合表现优于乙C[由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲，乙在销售方面的数据小于甲，显然C选项的分析错误．故选C．]9．(2020·宜春模拟)6件产品中有4件合格品，2件次品．为找出2件次品

，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为()A．35B．13C．415D．15C[题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，p1＝C23C46＝15；第二种情况是前面四次

都是正品，则剩余的两件是次品，p2＝C44C46＝115，故p＝p1＋p2＝415.故选C．]10．(2020·临沂模拟)下列说法中正确的是()A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50

名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m＋50，m＋100，m＋150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线y^＝b^x＋a^不一定过样本中心点(x，y)C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．设随机

变量X服从正态分布N(10,0.01)，则P(X＞10)＝12D[A错误，这样的抽样方法是系统抽样法；B错误，线性回归直线y^＝b^x＋a^一定过样本中心点(x，y)；C错误，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；D显然正确．故

选D．]11．(2020·碑林区校级模拟)虚拟现实(VR)技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入(包含软件收入和硬件收入)逐年翻一番．据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下

列说法错误的是()A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入

是2017年的软件收入的6倍D[设2017年VR市场总收入为1，该地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，故A正确；2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9＋2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故B正确；2019年的

VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，故C正确；2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故D错误．故选D．]12．(2020·福州模拟)小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖．假设小王和外卖小哥都在12：00～12：10之间随机到达小王所居住的楼

下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()A．12B．45C．34D．38D[设小王和外卖小哥分别到达小王楼下的时间为12点x分，12点y分，则0≤x≤10，0≤y≤10，其区域是以10为边长的正方形，面积10×10＝100，小王

在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟，即0≤y－x≤5，其表示区域为如图所示阴影部分．其面积为12(100－5×5)＝752，故所求概率P＝752×100＝38，故选D．]13．(2020·和平区模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目

标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为()A．124B．524C．172D．136A[甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.甲恰好比乙多击中目标2次包含两种情况：①甲击中

2次，乙击中0次；②甲击中3次，乙击中1次．则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为：P＝C2312212C03133＋C33123C1323132＝124.故选A．]14．(2020·长沙模拟)某校组织由

5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()A．13B．14C．15D．12A[在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，基本事件总数n＝C13C13A33＝54，学生丙第一个出场包

含的基本事件个数m＝C13A33＝18，∴学生丙第一个出场的概率为p＝mn＝1854＝13.故选A．]15．(2020·南充模拟)我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，

则不同分配种数为()A．116B．100C．124D．90B[根据题意，分2步进行分析：①将5名医学专家分为3组，若分为2、2、1的三组，有C25C232＝15种分组方法，若分为3、1、1的三组，有C35＝10种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法；②将分好的三组分派到

三个医疗点，甲专家所在组不去A医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况，则3个组的分派方法有2×2＝4种情况，则有25×4＝100种分配方法．故选B．]16.(2020·江门模拟)我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中

外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论．依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，若取出的两行为“生”的次数记为X，则E(X)与D(X)的值分别为()A．1，910B．3，2110C．5，

52D．7，2110C[设从五行中随机任取两行为“生”的事件为A，则P(A)＝5C25＝12，依题意，随机变量X服从二项分布，有X～B(10,0.5)，故E(X)＝5，D(X)＝2.5，故选C．]17．(2020·广东实验中学模拟)某

公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[

98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．用样本估计总体，则下列说法错误的是()A．这批配件重量的平均数是101.30(精确到0.01)B．这批配件重量的中位数是在[100,101]之间C．a＝0.125D．这批配件重量在[96,100)

范围的有15000个B[由已知图可知：(0.05＋0.075＋0.1＋a＋0.15)×2＝1，解得a＝0.125，故C正确；故估计手机配件的重量的平均数为97×0.1＋99×0.2＋101×0.3＋103×0.25＋105×0.15＝101.30(克)，故A正确；设中位数为x，则0.1＋

0.2＋(x－100)×0.15＝0.5，x＝101.33，故B错误；这批配件重量在[96,100)范围的有50000×0.15×2＝15000个，故D正确．故选B．]18．(2020·宁波模拟)已知随机变量的分布列如下0＜a＜

12：ξ012Pb－aba则()A．E(ξ)有最小值12B．E(ξ)有最大值32C．D(ξ)有最小值0D．D(ξ)有最大值12D[由随机变量ξ的分布列的性质得：b－a＋b＋a＝1,2b＝1，b＝0.5,0＜a＜0.5，∴E(ξ)＝0×(b－a

)＋b＋2a＝0.5＋2a,0＜a＜0.5，故无最大值也无最小值，D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋14＝－4a－1

42＋12，当a＝14时，D(ξ)取得最大值12，故选D．]19．(2020·麒麟区二模)已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是()x2345y2.5mn6.5A．y^＝0.8x＋2.3B．y^＝2x＋0.4C

．y^＝－1.5x＋8D．y^＝－1.6x＋10A[由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项．x＝2＋3＋4＋54＝3.5，y＝2.5＋m＋n＋6.54＝9＋m＋n4∈(3.5,5.5)，把x＝3.

5分别代入A、B选项，对于A，有y^＝0.8×3.5＋2.3＝5.1∈(3.5,5.5)，符合题意；对于B，有y^＝2×3.5＋0.4＝7.4∉(3.5,5.5)，不符合题意．故选A．]20．(2020·济阳模拟)已知样本x1，x2，…，xn的平均数

为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0<a<12，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为________．n<m[由题意得z＝1n＋m(

nx＋my)＝nn＋mx＋1－nn＋my，∴a＝nn＋m，∵0<a<12，∴0<nn＋m<12，∴n<m.]21．(2020·泉州一模)若(2x＋1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)

4＋a5(x＋1)5，则a4＝________.－80[∵(2x＋1)5＝[－1＋2(x＋1)]5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a4＝－C45·2

4＝－80.]22.(2020·衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生于魏晋

南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为________．79[设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，则P(A)＝C25C210＝

29，∴所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：P(A)＝1－P(A)＝1－29＝79.]23.(2020·秦皇岛模拟)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记“该同学

的成绩90<ξ≤110”为事件A，记“该同学的成绩80<ξ≤100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)≈________.(结果用小数表示，精确到0.01)附：X服从正态分布，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；P

(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.0.28[由题意得，P(A)＝0.47725，P(AB)＝12×(0.9545－0.6827)＝0.1359.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.13590.47725≈0.28.

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