【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第四章第四节　数系的扩充与复数的引入 含解析【高考】.doc，共(6)页，158.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第四节数系的扩充与复数的引入授课提示：对应学生用书第85页[基础梳理]1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位a＋bi为实数⇔b＝0，a＋b

i为虚数⇔b≠0，a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数a(a为实数)的共轭复数是a复平面建立平面直角

坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量OZ→的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z||z|＝|a＋bi|＝a2＋b22.复数的几何意义复数z＝a＋bi(a，b∈R)

一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应向量OZ→.3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i把实部、虚部分别相加减乘

法z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1除法z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)把分子、分母分别乘以

分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．

复数a＋bi(a，b∈R)数系表-2-复数实数a（b＝0）虚数a＋bi（b≠0）纯虚数bi（a＝0）非纯虚数a＋bi（a≠0）2．复数不能比较大小3．几个重要运算结论(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.(2)－b＋ai＝

i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．[四基自测]1．(基础点：复数的几何意义)设

z＝－3＋2i，则在复平面内z－对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C2．(基础点：复数的乘除法运算)复数52－i2的共轭复数是()A．2－iB．2＋iC．3－4iD．3＋4i答案：C3．(

易错点：纯虚数)若复数z＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a＝()A．－2B．－1C．1D．2答案：A4．(基础点：复数的模)复数z＝7＋i3＋4i，其中i为虚数单位，则|z|＝________．答案：2授课提示：对应学生用书第86页考点一复数的概念挖掘1复数的认识/自主练透[例1](1)设(1＋2

i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3B．－2C．2D．3[解析](1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题设知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.[答案]A(2)已知i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则

实数a的值为________．[解析]由(1－2i)·(a＋i)＝a＋i－2ai＋2＝a＋2＋(1－2a)i，且(1－2i)·(a＋i)为纯虚数，可得：a＋2＝0且1－2a≠0，所以a＝－2.[答案]－2(3)已知(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m.-3-[解析]由题意

得m2－1＞0m2－2m＝0，∴m＝2.挖掘2复数相等/互动探究[例2](1)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．

既不充分也不必要条件[解析]由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，得a2－b2＝0，2ab＝2，所以a＝1，b＝1，或a＝－1，b＝－1，故选A.[答案]A(2)已知a，b∈R，

i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________．[解析]由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，根据复数相等的条件可得1＋b＝a，1－b＝0，解得a＝2，b＝1，所以ab＝2.[答案]2[破题技法]1.

明确复数的分类以及复数成为实数，虚数或纯虚数的充要条件．2．(1)找准复数的实部和虚部．复数的相关概念都与实部和虚部有关．(2)复数问题实数化．解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理．[拓展]利用复数相等，就

是化“虚”为“实”，即实数化思想转化实部与虚部之间的方程关系．若复数z满足2z＋z·z－＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z为()A．－1－iB．－1－2iC．－1＋2iD．1－2i解析：设z＝a＋bi⇒2(a＋bi)＋(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＋2a＋2bi＝3

－4i⇒a＝－1，b＝－2⇒z＝－1－2i.答案：B考点二复数的运算挖掘1求复数/互动探究[例1](1)已知（1－i）2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[解析]由已知等式可得z＝（1－i）21＋i＝－2i1＋i＝－2i（1－i）（1＋i

）（1－i）＝－1－i，故选D.[答案]D(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋i-4-C．1－iD．1＋i[解析]由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i

）＝2i（1－i）2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.[答案]D挖掘2共轭复数/互动探究[例2](1)设复数z满足z＋i＝3－i，则复数z的共轭复数为()A．－1＋2iB．1－2iC．3＋2iD．3－2i[解析]由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以z－＝3＋2i，故选C.

[答案]C(2)若复数z满足2z＋z－＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i[解析]设z＝a＋bi，a，b∈R，则z－＝a－bi，2z＋z－＝3a＋bi，又2z＋z－＝3－2i，所以3a＋bi＝3－2i，故可得a＝

1，b＝－2，即z＝1－2i.故选B.[答案]B[破题技法]共轭复数的运算性质(1)zz－＝|z－|2＝|z|2.(2)|z|＝1⇔z·z－＝1.(3)非零复数z，则z为纯虚数⇔z＋z－＝0.(4)z1－z2＝z1－z2，z1·z2－＝z1－·z2－.1．

若z＝1＋2i，则4izz－－1＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：∵zz－＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4izz－－1＝4i4＝i，故选C.答案：C2．(2020·河北唐山二模)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则z的共轭复数为()A．1＋iB．1－iC．iD．－i解析：由(1＋

i)z＝2，得z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i，∴z－＝1＋i.故选A.答案：A挖掘3求复数的模/自主练透-5-[例3](1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2B．3C.2D．1[解析]法一：z＝3－i1

＋2i＝（3－i）（1－2i）5＝15－75i，∴|z|＝2.法二：|z|＝|3－i||1＋2i|＝105＝2.[答案]C(2)(2020·福建龙岩二模)已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝()A.2B．5C.

5D.52[解析]∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝5.故选C.[答案]C[破题技法]1.复数的加减法，合并实部，合并虚部．乘法运算：

类似多项式展开，要把i2换为－1.除法运算类似多项式的分母有理化，而复数的除法需要分母实数化．对于乘方，注意运用i的乘方规律．2．对于求复数，可利用方程思想：把z看作未知数，进行等价变形求解或利用实数化．[拓展]|z1·z2|＝|z1|·|z2|；|z1z2|＝|z1||z

2|；|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.考点三复数的几何意义挖掘复数几何意义的应用/互动探究[例](1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1

B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1[解析]由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.[答案]C(2)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第

四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)[解析]要使复数z对应的点在第四象限，需要满足m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1，故选A.-6-[答案]A(3)复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的

最值．[解析]由|z＋i|＋|z－i|＝2可知：复数z对应的点Z与点A(0，－1)，B(0，1)的距离之和为2，而|AB|＝2，所以复数z对应的点Z在以A，B为端点的线段上．而|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|表示点Z到点C(－1，－1)的

距离，因而所求问题的几何意义是求定点C到线段AB上的动点Z的距离的最大值与最小值，既|z＋1＋i|max＝|BC|＝5，|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.[破题技法]1.已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解．2．已知复数对应的点进行运算时，可建立方程待定系数求解．3．

研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解．4．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝r，点Z在以(0，0)为圆心，r为半径的圆上．