【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1教案：3.1.2空间向量的数乘运算1 含解析【高考】.doc，共(7)页，886.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于

本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平

面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义

和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图-2-alOBA

P一．温故知新1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的||倍（1）当0时，a与a同向（2）当0时，a与a反向2、空间向量的数乘分配律和结合律（1）分配律：baba+=+)(（2）结合律：aa)()(=3、共线向量或平形向量类似于平面向量共线，对空间任意两个

向量)0(,bba，ba//的充要条件是存在实数，使ba=1、方向向量如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOP+=a．其中向以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作

铺垫。-3-bapOAPCB二．新课讲授量a叫做直线l的方向向量.在l上取aAB=，则上式可化为ABtOAOP+=证明：对于空间内任意一点O，PBA,,三点共线ABtAPRt=使,ABt=OA-OPABt+=

OAOP由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。回顾平面向量的基本定理：共面向量定理如果两个向量ba,不共线，那么向量p与向量ba,共面的充要

条件是存在有序实数组),(yx，使得byxp+=，这就是说，向量p可以由不共线的两个向量ba,线性表示。由此可以得到空间向量共面的证明方法2、空间平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x

，y使得：APxAByAC=+，或对空间任意一点O有：OPOAxAByAC=++。推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是)1(=++++=zyxOCzOByOAxOP其中证明：)1(=++++=z

yxOCzOByOAxOPOCzOByOAzyOP++−−=)1(OCzOByOAzOAyOAOP++−−=方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。回顾平

面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。-4-ACzAByOAOP+=−ACz

AByAP+=P与点A，B，C共面本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。三．典例讲练例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使kODOHOCOGOBOFOAOE====，求证：E，F，

G，H四点共面分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。证明：因为kODOHOCOGOBOFOAOE====，所以OAkOE=，OBkOF=，OCkOG=，ODkOH=，由于四边

形ABCD是平行四边形，所以ADABAC+=，因此，OEOGEG−=)(ADABkACkOAkOCk+==−=OEOHOEOFOAODOAOBk−+−=−+−=)(EHEF+=由向量共面的充要条件知E，F，G，H四

点共面进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG-5-四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。（1）CDBCAB++（2）)(21BCBDAB++（3）)(21ACABAF+−2、课本P96

练习2-33、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：（1）12EGEFFGEFBDEFEH=+=+=+（2）111222EGEBBFABBCAC=

+=+=得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH-6-ABCDEFNM五．拓展与提高1．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且AEANBDBM31,31==.求证：MN//平面CDE证明：A

NBAMBMN++==DECD3132+又CD与DE不共线根据共面向量定理，可知DECDMN,,共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE注意用空间向量的思想去解决立体几何问题的转化方法.六．小结1．空间向量的数乘运算2．空间向量的运算意义和运算

律解决立几问题3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。七．作业课本P106习题3.1，A组第1题（3）、（4），第2题练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形ABCD，连结,ACBD，设,MG分别是,BCCD的中

点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD++；AD（2）1()2ABBDBC++；AG（3）1()2AGABAC−+．MGBCDMGA-7-（中等题）2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA、1DC、是（）A．有相同起点的向量B．等长向量

C．共面向量D．不共面向量3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若====BACCCbCBaCA11,,,则（）A．cba−+B．cba+−C．cba++−D．cba−+−