【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练31平面向量的应用.docx，共(11)页，173.381 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。三十一平面向量的应用(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2023·上海模拟)已知O为△ABC所在平面内一点,D是

AB的中点,动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(1-λ)𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.AC边的中点【解析】选C.由动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=

(1-λ)𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三点共线,又因为D为AB的中点,所以CD为△ABC的边AB上的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.2.(5分)一物体在大小为10N的力

F的作用下产生的位移s的大小为50m,且力F所做的功W=250√2N·m,则F与s的夹角θ为()A.135°B.90°C.60°D.45°【解析】选D.由题意可知:W=F·scosθ,即250√2=10×50cosθ,

解得cosθ=√22,θ=45°.3.(5分)(2023·哈尔滨模拟)一条河两岸平行,河的宽度为1560m,一艘船从河岸边的某地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|𝑣1|=13km/h,水流速度v2的大小为|𝑣2|=5km/h,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t(min)

为()A.7.2B.7.8C.120D.130【解析】选B.若使得船的航程最短,则船的实际速度v=v1+v2与水流速度v2垂直,作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=v1,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=v2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示:由题意可知,OC⊥

OB,且|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑣1|=13,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑣2|=5,由勾股定理可得|𝑣|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2=12,因此,若船的航程最短,则行驶完

全程需要的时间t=1.5612=0.13(h),则t=0.13×60=7.8(min).4.(5分)(多选题)(2023·开封模拟)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知|𝐹1|=4N,|𝐹2|=2N,F1与F2的夹角为120°,则下列说法正确的是()A.|𝐹

3|=2√3NB.F1与F3的夹角为90°C.F2与F3的夹角为90°D.(F1+F3)·F2=4【解析】选AC.如图所示,设F1,F2,F3分别为𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,将向量进行平

移,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗平移至𝐴𝐵'⃗⃗⃗⃗⃗⃗,将𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗反向延长至点D,则∠AOB=120°,∠OAB'=∠DOB=180°-∠AOB=60°,在△OAB'中,由余弦定理得,OB'2=AB'2

+OA2-2AB'·OAcos60°=4+16-2×2×4×12=12,所以OB'=2√3,即|𝐹3|=2√3N,故A正确;显然,在△OAB'中,OB'2+AB'2=12+4=16=OA2,即∠AB'O=90°,所以∠COD=∠AOB'=30°,所以F1

与F3的夹角∠AOC=180°-∠COD=150°,故B错误;F2与F3的夹角∠BOC=∠DOB+∠COD=60°+30°=90°,故C正确;(F1+F3)·F2=(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=

(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵'𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵'𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=-4,故D错误.5.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则𝐴𝐸⃗

⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3【解析】选A.解法一:(坐标法)如图,以D点为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.所以A(1,0),B(32,√32)

,在平面四边形ABCD中知CD=√3.所以设DE=t(t∈[0,√3]),所以E(0,t).所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,t)·(-32,t-√32)=32+t2-√32t=(t-√34)2+2116.所以当t=√34时,(𝐴𝐸⃗⃗⃗

⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)min=2116.解法二:(基向量法)连接AC(图略),易知DC=√3,∠CAD=60°,设DE=x(0≤x≤√3),则𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)·

(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=1×1×cos60°+12+0+x×1×cos150°+0+x2=(x-√34)2+2116≥2116.解法三:(基向量法)如图,取AB的中

点F,连接EF,则𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗-𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗2-𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗2-14.可知当且仅当|𝐸𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗|最小时,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗取最小值.分别过点F,B作CD的垂线,垂足分别为H,G,当点E与H重合时,EF取到最小值,易知HF为梯形DABG的中位线,由已知得|BG|=32,|AD|=1,则|HF|=

12(|BG|+|AD|)=54,故|EF|的最小值为54.故𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为2116.6.(5分)(2023·南昌模拟)如图,AB是圆O的一条直径,且AB=6,C,D是圆O上任意两点,CD=3,点P在线段CD上,则𝑃𝐴⃗⃗⃗

⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是()A.[274,9]B.[34,3]C.[-94,0]D.[-9,0]【解题指南】连接OP,根据数量积的运算律得到𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|2-9,再根据点P在线段CD上,求出|𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围即可得解.【解析】选C.如图,连接OP,则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗2+𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗2+𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)-𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗2=|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|2-9.因为点P在线段CD上且CD=3,则圆心到直线CD的距离d=√32-(32)2=3√32,所以3√32≤|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|≤3,274≤|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|2≤9,所以-9

4≤|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|2-9≤0,即𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是[-94,0].7.(5分)已知两个力F1,F2的夹角为π2,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为π4,

那么F1的大小为__________.【解析】因为两个力F1,F2的夹角为π2,所以F1·F2=0,又因为它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为π4,所以cosπ4=(𝐹1+𝐹2)·𝐹1|𝐹1+𝐹2|

|𝐹1|=|𝐹1|10=√22,解得|𝐹1|=5√2N.答案:5√2N8.(5分)在△ABC中,E为AC的中点,D是线段BE上的动点,若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则1𝑥+2𝑦的最小值为__________

.【解析】如图,因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,E为边AC的中点,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2y𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,因为B,E,D三点共线,所以x+2y=1(x>0,y>0),

则1𝑥+2𝑦=(1𝑥+2𝑦)(x+2y)=5+2𝑦𝑥+2𝑥𝑦≥5+2√2𝑦𝑥·2𝑥𝑦=9,当且仅当x=13,y=13时取等号,故1𝑥+2𝑦的最小值为9.答案:99.(10分)已知向量a

=(cosx,sinx),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-√3),a∥b,所以-√

3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0,于是tanx=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·

(3,-√3)=3cosx-√3sinx=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取得最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取得最小

值-2√3.【能力提升练】10.(5分)(2023·福州模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为380N,则该学生的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小为10m/s2,√

3≈1.732)A.68B.66C.64D.62【解析】选B.由物理定理可得,该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反,两只胳膊的拉力的合力大小为√3802+3802+2×380×380×12=380√3,则该学生的体重约为380√310=38

√3≈66(kg).11.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设点D是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的有()A.若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),则点D是边BC的中点B.若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

=13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝐶),则直线AD过△ABC的垂心C.若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则点D在边BC的延长线上D.若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且x+y=12,则△BCD的面积是△ABC面积的一半【解析】选ABD.对于A,因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),即12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗-12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即点D是边BC的中点,故A正确;对于B,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝐶)=13(-|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|)=0,即AD⊥BC,故AD过△ABC的垂心,故B正确;对于C,因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即点D在边CB的延长线上,故C错误;对于D,因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且

x+y=12,故2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且2x+2y=1,设𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且2x+2y=1,故M,B,C三点

共线,且𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,故△BCD的面积是△ABC面积的一半,故D正确.12.(5分)如图,在扇形COD及扇形AOB中,∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在𝐶𝐷⏜(含端点)上,则𝑃𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A.112B.6C.132D.7【解析】选A.建立如图所示平面直角坐标系,则A(1,0),B(-12,√32).设P(3cosθ,3sinθ),θ∈[0,2π3],则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(-3cosθ+1,-3sinθ),𝑃𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗=(-3cosθ-12,-3sinθ+√32),则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3cosθ-1)(3cosθ+12)+3sinθ(3sinθ-√32)=172-3sin(θ+π6),其中θ

+π6∈[π6,5π6],所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=172-3sin(θ+π6)≥172-3=112,当且仅当θ=π3时,取“=”.13.(5分)已知非零向量a,b,c满足|𝑎|=4,a·b=2|𝑏|,c2=32a·c-5,则对任意实数t,

|𝑐-𝑡𝑏|的最小值为__________.【解析】因为|𝑎|=4,a·b=2|𝑏|,则|a||b|cos<a,b>=2|b|,而|b|≠0,于是cos<a,b>=12.又0≤<a,b>≤π,则<a,b>=π3.

作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,使∠AOB=π3,如图,由c2=32a·c-5,得(𝑐-34𝑎)2=4,即|c-34a|=2,令𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34a,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,则|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2,因此𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的终点C在以点D为

圆心,2为半径的圆上,显然对∀t∈R,tb的终点的轨迹是线段OB确定的直线l,于是|𝑐-𝑡𝑏|是圆D上的点与直线l上的点的距离,过D作线段DE⊥l于E,交圆D于F,所以|𝑐-𝑡𝑏|min=EF=DE-2=|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinπ3-2=3√3

2-2.答案:3√32-214.(10分)如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,B,D分别在x,y轴正半轴上,AB=4,AD=2,点E为AB上一点,(1)若DE⊥AC,求AE的长;(2)若E为AB的中点,AC与DE的交点为M,求cos∠CME.【解析】(1)由

题可得,A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(4,2),则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2).设E(x,0)(0≤x≤4),则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(x,-2).因为DE⊥AC,则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4x-

4=0⇒x=1,则E(1,0),故AE的长为1;(2)若E为AB的中点,则E(2,0),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-2),又𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2),所以cos∠CME=cos<𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗>=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗||𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=42√5×2√2=√1010.15.(10分)(2023·齐齐哈尔模拟)已知向量a=(cos32x,sin32x),向量b=(cos12x,-sin12x),x∈[0,π2].(1)求a·b及|𝑎+𝑏|;(2)若f

(x)=a·b-2t|𝑎+𝑏|的最小值为-32,求t的值.【解析】(1)由题意可得,a·b=cos32xcos12x-sin32xsin12x=cos(32x+12x)=cos2x,|𝑎|=√cos232𝑥+sin232𝑥=1,|𝑏|=√cos212𝑥+(-sin12𝑥)2=1,

所以|𝑎+𝑏|=√(𝑎+𝑏)2=√𝑎2+2𝑎·𝑏+𝑏2=√1+2cos2𝑥+1=√4cos2𝑥,又因为x∈[0,π2],则cosx≥0,可得|𝑎+𝑏|=2cosx,所以a·b=cos2x,|𝑎+𝑏|=2cosx.(2)由(1)可得,f(x)=co

s2x-4tcosx=2cos2x-4tcosx-1,因为x∈[0,π2],令m=cosx∈[0,1],原题意等价于g(m)=2m2-4tm-1在[0,1]上的最小值为-32,注意到函数g(m)开口向上,对称轴为m=t,则有:若t≥1,则g(m)在[0,1]上单调递减,可得当m=1时,函

数g(m)取到最小值g(1)=1-4t=-32,解得t=58,不合题意,舍去;若0<t<1,则g(m)在[0,t]上单调递减,在(t,1]上单调递增,可得当m=t时,函数g(m)取到最小值g(t)=-2t2-1=-32,解得t=12或t=-12(舍去);若t≤0,则g(m)在[0,1]上单

调递增,可得当m=0时,函数g(m)取到最小值g(0)=-1≠-32,不合题意,舍去;综上所述,t的值为12.【加练备选】如图,向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗为单位向量,∠AOB=2π3,点P在∠AOB内部,𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,|𝑂

𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√3,∠AOP=α.(1)当𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0时,求m,n的值;(2)求m+n的取值范围.【解析】(1)以O为原点,以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗所在的直线为x轴,以过点O垂直x轴的直线

为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗为单位向量且∠AOB=2π3,可得A(1,0),B(-12,√32),设P(x,y),其中y>0,可得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,√32),

𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y),又因为𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,可得-12x+√32y=0,即x-√3y=0,由|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√3,可得x2+y2=3,联立得{𝑥-√3𝑦=0𝑥2

+𝑦2=3,解得x=32,y=√32.又由𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,可得(32,√32)=m(1,0)+n(-12,√32),可得m=2,n=1.(2)因为|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√3且∠AOP=α,可得P(√3cosα,√3sinα),所以𝑂𝑃⃗⃗⃗

⃗⃗=(√3cosα,√3sinα),其中α∈(0,2π3),又因为𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,可得(√3cosα,√3sinα)=m(1,0)+n(-12,√32),可得

{𝑚-12𝑛=√3cos𝛼√32𝑛=√3sin𝛼,解得m=√3cosα+sinα,n=2sinα,所以m+n=√3cosα+3sinα=2√3sin(α+π6).因为α∈(0,2π3),可得α

+π6∈(π6,5π6),当α+π6=π2,即α=π3时,sin(α+π6)=1,可得m+n取得最大值2√3,又由m+n>2√3sinπ6=√3,所以m+n的取值范围为(√3,2√3].【素养创新练】16.(5分)(多选题)(2023·吕梁模拟)如图,设α∈(0,π),且α≠π2,当∠xO

y=α时,定义平面坐标系xOy为α的斜坐标系,在α的斜坐标系中,设e1,e2是分别与x轴,y轴正方向相同的单位向量,若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=xe1+ye2,记𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y),则在π3的斜坐标系中下列说法正确的是()A.设a=(m,n),b=(s,t),若a=b,则m

=s,n=tB.设a=(1,1),则|𝑎|=√2C.设a=(m,n),b=(s,t),则a+b=(m+s,n+t)D.设a=(1,2),b=(2,1),则a与b的夹角为π6【解析】选AC.a=(m,n)⇔a=me1+ne2,b=(s,t

)⇔b=se1+te2.对于A,a=b,即me1+ne2=se1+te2,则m=s,n=t,A正确;对于B,a2=(𝑒1+𝑒2)2=𝑒12+2e1·e2+𝑒22=1+2cosπ3+1=3,即|�

�|=√3,B错误;对于C,由a=(m,n),b=(s,t),得a+b=me1+ne2+se1+te2=(m+s)e1+(n+t)e2=(m+s,n+t),C正确;对于D,若a=(1,2),b=(2,1),则a=e1+2e2,b=2e1+e2,|𝑎|=|𝑏|

=√5+4cosπ3=√7,a·b=(e1+2e2)·(2e1+e2)=2𝑒12+5e1·e2+2𝑒22=4+5cosπ3=132.由a·b=|𝒂||𝒃|cos<a,b>,可得cos<a,b>=132√7×√7=1314,即<a,b>≠π6,D错误.