【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练69 二项式定理.docx，共(8)页，30.558 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。六十九二项式定理(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)若(2x-1)4

=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41【解析】选B.令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故a4+a2+

a0=1+812=41.2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168【解析】选D.在(1+x)8的展开式中含x2的项为C82x2=28x2,(1+y

)4的展开式中含y2的项为C42y2=6y2,所以x2y2的系数为28×6=168.3.(5分)在(√𝑥+1√𝑥3)24的展开式中,x的指数是整数的项数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为(√𝑥+1√𝑥3)24的展开式的通项公式为𝑇𝑘+

1=C24𝑘(√𝑥)24-k(1√𝑥3)k=C24𝑘𝑥12−56𝑘,所以当k=0,6,12,18,24时,x的指数是整数,故x的指数是整数的有5项.4.(5分)设a=3n+C𝑛13n-1+C𝑛23𝑛−2+…+C𝑛�

�−13,则当n=2023时,a除以15所得余数为()A.3B.4C.7D.8【解析】选A.因为C𝑛03n+C𝑛13𝑛−1+C𝑛23𝑛−2+…+C𝑛𝑛−13+C𝑛𝑛30=(3+1)n=4n,所以a=4n-1,当n=202

3时,a=42023-1=4×161011-1=4×[(15+1)1011-1]+3,而(15+1)1011-1=C10110151011+C10111151010+…+C1011101015,故此时a除以

15所得余数为3.5.(5分)(多选题)在(1+2x)8的展开式中,下列说法正确的是()A.二项式系数最大的项为1120x4B.常数项为2C.第6项与第7项的系数相等D.含x3的项的系数为480【解析】选AC.因为n=8,所以二项式系数最大的项为T5,T5=C84(2x

)4=1120x4,A正确;(1+2x)8展开式的通项为𝑇𝑘+1=C8𝑘(2x)k=2kC8𝑘xk,令k=0,得常数项为1,B错误;第6项为T6=25C85x5=1792x5,第7项为T7=26C86x6=1792x6,第6项与第7项的系数相等,C正确;含x3的

项为T4=C83(2x)3=448x3,其系数为448,D错误.6.(5分)(多选题)(2023·厦门模拟)若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是()A.a

0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=-25C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=1【解析】选CD.由题意知,令x=0得a0=25,A错误;令x=1得a0+a1+…+a5=1,所以a1+a2+…+a5=

1-25,B错误;令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35,C正确;由题意知a0,a2,a4均为正,a1,a3,a5均为负,因此a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,D正确.7.(5分)(2024·桂林模拟)在二项式(√2+

𝑥)9的展开式中,系数为有理数的项的个数是________.【解析】二项式展开式的通项为C9𝑟·29−𝑟2·xr,当r=1,3,5,7,9时,项的系数为有理数,故系数为有理数的项的个数为5.答案:58.(5分)

(2024·潍坊模拟)若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13,则展开式中各项系数和为______.(用数字作答)【解析】因为(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为3C41+aC40=12+a=13,所以a=1,令x=1,得(3+x)(1+x)4展开

式中各项系数和为(3+1)(1+1)4=64.答案:649.(10分)已知二项式(2x+1√𝑥)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,按要求完成以下问题:(1)求n的值;(2)求展开式中1𝑥3的系数;(3)计算式子C6026+C61

25+C6224+C6323+C6422+C6521+C6620的值.【解析】由题设知Tr+1=2n-rC𝑛𝑟𝑥𝑛−32𝑟,(1)展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是C𝑛1C𝑛2=25

,解得n=6.(2)Tr+1=26-rC6𝑟𝑥6−32𝑟,令6-32r=-3,得r=6.所以展开式中含1𝑥3的是第7项,系数为26-6C66=1.(3)C6026+C6125+C6224+C63

23+C6422+C6521+C6620=(2+1)6=36=729.【能力提升练】10.(5分)设(5x-√𝑥)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展开式中x3的系数为()A.500B.-500C.150D.-1

50【解析】选C.由题意可得N=2n,令x=1,则M=(5-1)n=4n=(2n)2,所以(2n)2-2n=240,2n=16,n=4.展开式中第k+1项𝑇𝑘+1=C4𝑘·(5x)4−𝑘·(-√𝑥)k=(-1)kC4𝑘54−𝑘·𝑥4−𝑘2.令4-𝑘2=3,得k=2,所以展开

式中x3的系数为(-1)2×C42×52=150.11.(5分)在(2x+a)(x+2𝑥)6的展开式中,x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为()A.3204B.-160C.160D.-320【解析】选D.(x+2𝑥)6的展开式的通项为𝑇𝑘+1=C6𝑘·𝑥6−𝑘·(2�

�)k=C6𝑘·2k·𝑥6−2𝑘,2x𝑇𝑘+1=C6𝑘·2𝑘+1·𝑥7−2𝑘,由k∈N,得7-2k≠2,故不成立,a𝑇𝑘+1=aC6𝑘·2k·𝑥6−2𝑘,令6-2k=2,解得k=2,则aC62·22=60a=-120,解得a=-2,因为7-2k≠0,在-2𝑇𝑘+1

中,令6-2k=0,解得k=3,所以展开式中的常数项为-2C63·23=-320.12.(5分)(多选题)(2024·宁德模拟)若(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+𝑎3(𝑥+1)3+…+𝑎6(𝑥+1)6,则()A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a

5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6【解析】选ABD.令x=-1,则(-1-1)6=a0,即a0=64,故A正确;令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0-1)6=1,令x=-2,则a0-a1+a

2-a3+a4-a5+a6=(-2-1)6=729,则a0+a2+a4+a6=1+7292=365,故B正确;(x-1)6=[(x+1)-2]6,则Tk+1=C6𝑘(x+1)6-k(-2)k,令k=1,则a5=C61(-2)1=-12,故C错误;由(x

-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3𝑎3(𝑥+1)2+…+6a6(x+1)5,令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.1

3.(5分)(2024·泉州模拟)已知(x+m)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,且a3+a6=1,则m=________.【解析】由题意,可得a3=C63m3,a6=C60=1.因为a3

+a6=1,所以a3=0,所以m=0.答案:014.(10分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比为5∶2;②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36;

③C𝑛+13-C𝑛−15=63.已知在(√𝑥-1√𝑥3)n的展开式中,________.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中含1𝑥的项.【解析】(1)选①,(√𝑥-1√𝑥3)

n的展开式通项为Tr+1=(-1)rC𝑛𝑟𝑥3𝑛−5𝑟6,则第5项的系数为C𝑛4,第3项的系数为C𝑛2,所以C𝑛4∶C𝑛2=5∶2,解得n=-3(舍)或n=8;若选②,第2项与倒数第3项的二

项式系数分别为C𝑛1和C𝑛𝑛−2,所以C𝑛1+C𝑛𝑛−2=C𝑛1+C𝑛2=36,解得n=-9(舍)或n=8;若选③,由C𝑛+13-C𝑛−15=63得n=8;所以(√𝑥-1√𝑥3)8的展开式通项为Tr+1=(-1

)rC8𝑟𝑥24−5𝑟6;当n=8时,若C8𝑟取得最大值,则r=4,即第5项的二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大的项为T5=C84𝑥23=70𝑥23.(2)令24−5𝑟6=-1,解得r=6,所以展开式中含1

𝑥的项为T7=C86x-1=28𝑥.15.(10分)(2023·福州模拟)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128.这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+a

nxn(n∈N*),________(1)求𝑎12+𝑎222+…+𝑎𝑛2𝑛的值;(2)求a1+2a2+3a3+…+nan的值.【解析】(1)若选①:因为只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,即n+1=9,得n=8.若选②:因为第4项与第6项的二项式系数相等,所以C𝑛3=C

𝑛5⇒n=8.若选③:因为奇数项的二项式系数的和为128,所以2n-1=128,解得n=8.因为(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=12,则有(2×12-1)8=a0+𝑎12+𝑎222+…+𝑎828,即有a0+𝑎12+𝑎222

+…+𝑎828=0,令x=0,得a0=1,所以𝑎12+𝑎222+…+𝑎828=-a0=-1,综上所述:𝑎12+𝑎222+…+𝑎828=-1.(2)由(1)可知:无论选①,②,③都有n=8,(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,两边求导

得16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,令x=1,则有16=a1+2a2+3a3+…+8a8,所以a1+2a2+3a3+…+8a8=16.【素养创新练】16.(5分)若(2x+1)n=a0+a

1x+a2x2+…+anxn的展开式中的各项系数和为243,则a1+2a2+…+nan等于()A.405B.810C.243D.64【解析】选B.(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,两边求导得,2n(2x

+1)𝑛−1=a1+2a2x+…+nan𝑥𝑛−1.令x=1,则2n×3𝑛−1=a1+2a2+…+nan.又因为(2x+1)n的展开式中各项系数和为243,令x=1,可得3n=243,解得n=5

,所以a1+2a2+…+nan=2×5×34=810.17.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,若(1-2x)2024=b0+b1x+b2x2+…+b2024x2024,数列{an}的首项a1=𝑏12+𝑏222+…+𝑏20242

2024,𝑎𝑛+1=Sn·𝑆𝑛+1,则S2024等于()A.-12024B.12024C.2024D.-2024【解析】选A.令x=12,得(1-2×12)2024=b0+𝑏12+𝑏222+…+𝑏202422024=0.令x=0,得b0=1

,所以a1=𝑏12+𝑏222+…+𝑏202422024=-1.由an+1=Sn·𝑆𝑛+1=Sn+1-Sn,得𝑆𝑛+1−𝑆𝑛𝑆𝑛𝑆𝑛+1=1𝑆𝑛-1𝑆𝑛+1=1,所以1𝑆𝑛+1-1𝑆𝑛=-1,所以数列{1𝑆𝑛}是首项为1�

�1=-1,公差为-1的等差数列,所以1𝑆𝑛=-1+(n-1)·(-1)=-n,所以Sn=-1𝑛,所以S2024=-12024.