【文档说明】江苏省百校联考2021届高三下学期4月第三次考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，238.312 KB，由小赞的店铺上传

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2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试数学2021年4月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考

证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范

围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝A．4B．2C．2D．12．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝A．(－3，3)B．(－2，2)C．(－2，3)D．(－3，2)3．《数术记遗》

是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变

之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆

，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A．21B．20C．25D．244．已知由正整数组成的无穷等

差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A．2019B．2020C．2021D．20225．已知a，b是不共面向量，设→OA＝2a＋b，→OB＝a＋2b，→OC＝3a＋b，→OD＝a＋3b，若△OAB的面积为3，则△OCD的面

积为A．4B．5C．6D．86．正实数a，b，c满足a＋sina＝2，b＋3b＝3，c＋log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a7．已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上

，且BC＝CD＝DB＝2，若面面体ABCD的体积是423，则这个球面的面积是A．16πB．323πC．4πD．763π8．已知函数f(x)＝log2x，x＞114x＋1，x≤1，g(x)＝f(x)－kx，若函数g(x)有两个零点，则k的取值范围是A．0

，14B．(0，1eln2)C．0，1eD．[14，1eln2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分．9．在平面直角坐标xOy中，已知圆O过点，A(3，4)、B、C、且→BC＝→OA，则A．直线BC的斜率为34B．∠AOC＝60°C．△ABC的面积2532D．点B、C在同一象限内10．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy＝1，下列结论正确的是A．曲线C

上的点与定点F(2，2)距离的最小值是2－2B．曲线C上的点和定点F(2，2)的距离与到定直线l：x＋y－2＝0的距离的比是2C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x2－y2＝2D．曲线C的

切线与坐标轴围成的三三角形的面积是411．设(1－2x)29＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a29x29，则下列结论正确的是A．a15＋a16＞0B．a1＋a2＋a3＋…＋a29＝－1C．a1＋a3＋a5＋…＋a29＝－1＋

3292D．a1＋2a2＋3a3＋…＋29a29＝－5812．下列结论正确的是A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面

的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若x∈[0，π2]，m≤sin(2x＋φ)≤n，则n－m的最小

值是______．14．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A∩B的元素个数是1，在A∪B中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______．5．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且ai∈{1

，2，3，4}(i＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值是______．16．设抛物线C1：y＝x2－2x＋2和C2：y＝

－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点_____．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1)写出一个等差数列{an}的通项公式，使{an}满足①a1≠0，②{Sn}是等差数列，其中Sn是{an}的前n项和．(

写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的{an}，设bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝DC＝CB＝1．(1)当A、B、C、D共圆时，求co

sA的值；(2)若cos∠ADB＝36，求sin∠ABC的值．19．(12分)某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯数20253

035404550天数55101510105以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶

，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求ξ的分布列和数学期望；DCBA②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．20．(12分)如图，

矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是55，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是13，求异面直线DE与AB所成角的余弦值．EDCBA21．(12分)在平面直角

坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3．(1)求a，b的值；(2)已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，F(1，0)，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于

D、E两点，证明：直线DE过定点．22．(12分)设0＜x＜1．(1)证明：1－x26＜sinxx＜1；(2)若ax－x36＜sinx，求a的取值范围．2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试数学2021年4月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分1

50分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是

符合题目要求的．1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝A．4B．2C．2D．1【考点】复数的运算【答案】B2．已知集合A＝{x∈R|x2－

x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝A．(－3，3)B．(－2，2)C．(－2，3)D．(－3，2)【考点】集合的运算【答案】B3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大

数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上

数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，

108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A．21B．20C．25D．24【考点】新情境下的文化题：计数的位数【答案】C4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A．

2019B．2020C．2021D．2022【考点】等差数列的性质【答案】C5．已知a，b是不共面向量，设→OA＝2a＋b，→OB＝a＋2b，→OC＝3a＋b，→OD＝a＋3b，若△OAB的面积为3，则△OCD的面积为A．4B．5C．6D．8【考点】平面向量的

几何应用【答案】D6．正实数a，b，c满足a＋sina＝2，b＋3b＝3，c＋log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a【考点】大小比较【答案】A7．已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上，且BC＝CD＝D

B＝2，若面面体ABCD的体积是423，则这个球面的面积是A．16πB．323πC．4πD．763π【答案】A【考点】立体几何的外接球问题【解析】由题意可知S△BCD＝3，所以点A到平面BCD的距离为463，可设AB的中点为O，△BCD的外心为点E，则可得

到OE＝263，又BE＝233，所以OB＝2，则S球＝4πR2＝16π，故答案选A.8．已知函数f(x)＝log2x，x＞114x＋1，x≤1，g(x)＝f(x)－kx，若函数g(x)有两个零点，则k的取值范围是A．0，14B．(0，1eln2)C．0，1e

D．[14，1eln2)【答案】B【考点】函数的零点问题【解析】当y＝kx与y＝log2x相切时，可得k＝1eln2，将函数y＝kx的图象顺时针旋转，当k＞0时，f(x)与y＝kx都有2个交点，故答案选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标xOy中，已知圆O过点，A(3，4)、B、C、且→BC＝→OA，则A．直线BC的斜率为34B．∠AOC＝60°C．△ABC的面积2532D．点B、C在同一象限内【考点】直线与圆的应用

【答案】BD10．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy＝1，下列结论正确的是A．曲线C上的点与定点F(2，2)距离的最小值是2－2B．曲线C上的点和定点F(2，2)的距离与到定直线l：x＋y－2＝0的

距离的比是2C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x2－y2＝2D．曲线C的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用【答案】ABC11．设(1－2x)29＝a0＋a1x

＋a2x2＋…＋a29x29，则下列结论正确的是A．a15＋a16＞0B．a1＋a2＋a3＋…＋a29＝－1C．a1＋a3＋a5＋…＋a29＝－1＋3292D．a1＋2a2＋3a3＋…＋29a29＝－58【答案】ACD【考点】二项式定理展开式定理的应用【解析】对于选项

A，a15＋a16＝C1529(－2)15＋C1629(－2)16＞0，故选项A正确；对于选项B，可令x＝0，可得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a29＝－1，所以a1＋…＋a29＝－2，故选项B错误；对于选项C，令x＝－1

，得a0－a1＋a2－a3＋…－a29＝329，则2(a1＋a3＋…＋a29)＝－1－329，故选项C正确；对于选项D，由[(1－2x)29]′＝－58(1－2x)28，可令x＝1，可得a1＋2a2＋…＋29a29＝－58，故选项D正确；综上，答案选ACD

.12．下列结论正确的是A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠B

CD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【答案】AC【考点】立体几何中四面体的应用【解析】对于选项B，三个直角以A为顶点，那么△BCD为锐角三角形，故错误；对于选项D，此时A，B，C，D四点共面，故错误；综上，答案选AC.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f(x)＝

sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若x∈[0，π2]，m≤sin(2x＋φ)≤n，则n－m的最小值是______．【答案】1＋32【考点】三角函数的图象与性质应用14．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A∩B的元

素个数是1，在A∪B中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______．【答案】1928【考点】数列与概率综合应用5．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且ai∈{1，2，3，4}(i＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3

＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值是______．【答案】18【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题【解析】若①正确，②也正确，则不符合题意；若②正确，此时a4＝4

，a3＝1，a1＝3，a2＝2，(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3

，a1＝4，a2＝1，(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为9；综上，(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为18.16．设抛物线C1：y＝x2－2x＋2和C2：y＝－x2＋ax＋b在它们

的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点_____．【答案】(1，32)【考点】抛物线与二次函数的交点问题【解析】设交点为(x0，y0)，则(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，且x02－2x0＋2＝－x02＋ax0＋b，联立化简可得a＋b＝52，所以C2过定点(1，32)

．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1)写出一个等差数列{an}的通项公式，使{an}满足①a1≠0，②{Sn}是等差数列，其中Sn是{an}的前n项和．(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的

{an}，设bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和【解】(1)可写an＝2n－1，则有Sn＝n()a1＋an2＝n2，所以Sn＝n，即{Sn}是等差数列(2)由(1)得bn＝2nan＝(2n－1

)2n＝(2n－3)2n＋1－(2n－5)2n，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2n－3)2n＋1＋6．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝DC＝CB＝1．(1)当A、B、C、D共圆时，求cosA的值；(2)若cos∠ADB＝36，求sin∠AB

C的值．【考点】三角恒等变换与解三角形【解】(1)在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝4－23cosA，在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcosC＝2＋2cosA，所以解

得cosA＝3－12．(2)在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos∠ADB，化简可得3＝1＋BD2－33BD，解得BD＝3，则∠ACB＝2π3，所以∠CBD＝π6，且cos∠ABD＝AB2＋BD2

－AD22AB·BD＝56，所以sin∠ABC＝sin(∠ABD+∠CBD)=12×56+32×116=5+331219．(12分)DCBA某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯数

20253035404550天数55101510105以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶

的利润(单位：元)，求ξ的分布列和数学期望；②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．【考点】随机变量的概率、期望与分布列【解】(1)由题意

得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P＝1－C245C260＝2959；(2)①由题意ξ＝－20，10，40，70，其分布列为：ξ－20104070P1121121623则E(ξ)＝－20×112＋10×112＋4

0×16＋70×23＝1052②由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为E(ξ)＝－40×112＋(－10)×112＋20×16＋50×14＋80×512＝45，因为45＜1052，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议20．(

12分)如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是55，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是13，求异面直线DE与AB所成角的余弦值．【考

点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解【解】(1)由题意可知DE⊥DC，又∠ACB＝90°，则BC⊥AC，又DE//BC，所以DE⊥AC，且AC∩DC＝C，所以DE⊥平面AC

D．(2)由题意可知AC⊥平面BCDE，连结CE，则有sin∠AEC＝ACAE＝13，又平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的平面角为∠DAC，所以cos∠DAC＝ACAD＝55,且DC＝BE＝2，可得AC＝1，所以AE＝

3，则可知CF＝72，所以BC＝2，则AB＝5，而异面直线DE与AB所成的角为∠ABC，所以其余弦值为cos∠ABC=BCAB=255.21．(12分)EDCBA在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3．(1)

求a，b的值；(2)已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，F(1，0)，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点．【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题【解】(1)由题意有ca＝12，a

2c－c＝3，解得a＝2，c＝1，所以b＝a2－c2＝3.(2)由题意可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，由A，F，D三点共线，得y1x1－1＝y2x2－1，所以y1x2－y2x1＝y1－y2，又因为y12x2

2－y22x124＝y12－y22，所以y1x2＋y2x1＝4(y1＋y2)，解得x2＝5x1－82x1－5y2＝3x12x－5，同理可得x1＝5x1＋52x＋5y2＝3x1＋52x＋5，又直线DE的方程为y＝y3－y2x3－

x2x＋y2x3－y3x2x3－x2，且y3－y2x3－x2＝5y13x1,y2x3－y3x2x3－x2＝－8y13x1，即有直线DE的方程为y＝y13x1(5x－8)，所以过定点(85，0).22．(12分)设0＜x＜1．(1)证明：1－x26＜sinxx＜1；(2)若ax－x36＜sinx，

求a的取值范围．【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围【解】(1)由题意可设f(x)＝sinx－x(0＜x＜1)，有f′(x)＝cosx－1＜0，则f(x)＜0，得sinxx＜1，设g(x)＝sinx＋x36－x(0＜x＜1)g'(x)＝cosx＋x22－1,

g''(x)＝x－sinx＞0，则有g'(x)＞0，g(x)单调递增，得g(x)＞0，所以sinxx＞1－x26得证；(2)由(1)可知a≤1时，ax－x36≤x－x36＜sinx成立，则当a＞1时，

设h(x)＝sinx＋x36－ax，则h'(x)＝cosx＋x22－a，h''(x)＝x－sinx＞0,h'(x)单调递增，则h'(x)max＝cos1＋12－a，②若a≥cos1＋12，h'(x)＜0，h(x)单调递减，则有h(x)＜0，此时不符

合题意；②若1＜a＜cos1＋12，h'(0)＝1－a＜0，h'(1)＝cos1＋12－a＞0，所以h'(x)有唯一零点，可记为x0，则0＜x＜x0，h'(x)＜0，此时h(x)单调递减，有h(x)＜0，则不符合题意；

综上可知a≤1，即a的取值范围为(－，1]．