【文档说明】2021苏教版数学必修第二册章末综合测评3　解三角形 .docx，共(13)页，154.342 KB，由小赞的店铺上传

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章末综合测评(三)解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝k，b＝3k(k>0)，A＝45°，则满足条件

的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．无数个A[由正弦定理得asinA＝bsinB，所以sinB＝bsinAa＝62>1，即sinB>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．在△ABC中，sinA∶sinB∶

sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．13B．－12C．14D．－14A[根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．则有cosC＝9k2＋4k2－9k22×3k×2k＝

13.]3．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则C＝()A．π4或3π4B．3π4C．π4D．π6C[由BCsinA＝ABsinC，得sinC＝22.∵BC＝3，AB＝6，∴A>C，则C为锐角，故C

＝π4.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为()A．63B．123C．43D．23A[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62

＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.故选A．法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3

，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.故选A．]5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A2＝c－b2c，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．

等腰直角三角形B[由已知可得1－cosA2＝12－b2c，即cosA＝bc，b＝ccosA．法一：由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，则b＝c·b2＋c2－a22bc，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角

三角形．法二：由正弦定理，得sinB＝sinCcosA．在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝π2，故△ABC为直角三角形．]6．如图，海平面上的甲船

位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A．12小时B．1小时C．32小时D．2小时B[在△O

BC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]7.如图，在△ABC中，D

是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A．33B．36C．63D．66D[设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝32a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝32a2＋3

2a2－a22×32a·32a＝13.又∵A为△ABC的内角，∴sinA＝223.在△ABC中，由正弦定理得，BCsinA＝ABsinC.∴sinC＝ABBC·sinA＝32a2a·223＝66.]8．泉城广场上矗立着的“

泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为()A．50mB．100mC．120mD．150mA[如图，C

D为“泉标”高度，设高为h米，由题意，CD⊥平面ABD，AB＝100米，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°在△CBD中，BD＝3h，在△CAD中，AD＝h，在△ABD中，BD＝3h，AD＝h，

AB＝100，∠BAD＝60°，由余弦定理可得3h2＝10000＋h2－2×100hcos60°，∴(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故选A．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每

小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分)9．在△ABC中，b＝2，B＝45°，若这样的三角形有两个，则边a的取值可以为()A．2B．94C．125D．22BC[由

题意得b<a，sinA＝asinBb<1⇒a>2，22a2<1⇒2<a<22.故选BC．]10.若△ABC中，AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的可能取值为()A．22B．74C．2D．32ABC[设BC＝x，则AC＝2

x.根据三角形的面积公式，得S△ABC＝12·AB·BCsinB＝x1－cos2B.①根据余弦定理，得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋x2－2x24x＝4－x24x.②将②代入①，得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－(x2－12)216.由三角形的三边关

系，得2x＋x>2，x＋2>2x，解得22－2<x<22＋2，故当x＝23时，S△ABC取得最大值22，故选A．不选D；当x＝1时，S△ABC＝74，故选B；当x＝2时，S△ABC＝2，故选C，应选ABC．]11．在△ABC中，a＝7，b＝8，

cosB＝－17.则()A．A＝π3B．A＝π4C．S△ABC＝63D．S△ABC＝33AC[在△ABC中，因为cosB＝－17，所以sinB＝1－cos2B＝437.由正弦定理得sinA＝asinBb＝32.由题设知π2<B<π，所以0<A<π2，所以∠A＝π3.在△ABC中，因为sinC＝s

in(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝3314，S△ABC＝12×7×8×3314＝63，故选AC．]12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－55，则()A．sin∠CDB＝310

B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8＋45D．△ABC为钝角三角形BCD[因为cos∠CDB＝－55，所以sin∠CDB＝1－cos2∠CDB＝255，故A错误；设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD

2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝5，所以S△DBC＝12BD·CD·sin∠CDB＝12×3×5×255＝3，所以S△ABC＝3＋53S△DBC＝8，故B正确；因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos

()π－∠CDB＝－cos∠CDB＝55，在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，解得AC＝25，所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝()3＋5＋25＋25＝8＋45，故C正确；因为AB＝8为最大边

，所以cosC＝BC2＋AC2－AB22BC·AC＝－35<0，即C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确.故选BCD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)1

3．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．a2＋b2<c2[∵cosC＝a2＋b2－c22ab，且C为钝角，∴cosC<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.]14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，

c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.2π3[由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－

73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.]15．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.12257210[如图，在△

ABD中，由正弦定理有：ABsin∠ADB＝BDsin∠BAC，而AB＝4，∠ADB＝3π4，AC＝AB2＋BC2＝5，sin∠BAC＝BCAC＝35，cos∠BAC＝ABAC＝45，所以BD＝1225.cos∠ABD＝cos(∠BD

C－∠BAC)＝cosπ4cos∠BAC＋sinπ4sin∠BAC＝7210.]16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB＝________.4[∵ba＋ab＝6cosC，∴a2＋b

2ab＝6·a2＋b2－c22ab，∴2a2＋2b2－2c2＝c2，∴tanCtanA＋tanCtanB＝sinCcosAsinAcosC＋sinCcosBsinBcosC＝sinC(sinBcosA＋cosBsinA

)sinAsinBcosC＝sinCsin(B＋A)sinAsinBcosC＝sin2CsinAsinBcosC＝c2abcosC＝c2ab·a2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝4.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B．[解](1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2

A＋cos2A)＝2sinA．故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB>0，故cosB＝22，所以B＝45°.18．(本小题

满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝23，求c的值；(2)若sinAa＝cosB2b，求sin(B＋π2)的值．[解](1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝23，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得23＝(3c

)2＋c2－(2)22×3c×c，即c2＝13.所以c＝33.(2)因为sinAa＝cosB2b，由正弦定理asinA＝bsinB，得cosB2b＝sinBb，所以cosB＝2sinB．从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4()1－cos2B，故cos2B＝45.因为sinB>

0，所以cosB＝2sinB>0，从而cosB＝255.因此sinB＋π2＝cosB＝255.19．(本小题满分12分)已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，sinAsinB＝

1＋cosA2－cosB(1)求证：2a＝b＋c；(2)若cosA＝45，S△ABC＝6，求a的值．[解](1)∵sinAsinB＝1＋cosA2－cosB，∴2sinA－sinAcosB＝sinB＋sinBcosA，可得2sinA＝sin

B＋sinAcosB＋sinBcosA＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinC，所以由正弦定理可得：2a＝b＋c.(2)∵cosA＝45，A为三角形内角，∴sinA＝1－cos2A＝35，又S△ABC＝6，∴6＝12bcsinA，∴bc＝20，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22

bc＝(b＋c)2－2bc－a22bc＝4a2－2bc－a22bc＝3a2－2bc2bc＝3a2－4040＝45.整理得a2＝24，解得a＝26(负值舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千

米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?[解]如图所示，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD

2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD中，21sin60°＝ADsi

nα，∴AD＝21×sinαsin60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A．21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，已知

AB＝BC＝CD＝2，AD＝23.(1)试问3cosA－cosC是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求出S21＋S22的最大值．[解](1)在△A

BD中，由余弦定理得BD2＝4＋12－83cosA＝16－83cosA,在△BCD中，由余弦定理得BD2＝4＋4－8cosC，16－83cosA＝8－8cosC，则8(3cosA－cosC)＝8，∴3cosA－cosC＝

1；所以3cosA－cosC为定值1.(2)S1＝12×2×23sinA＝23sinA，S2＝12×2×2sinC＝2sinC，则S21＋S22＝12sin2A＋4sin2C＝16－()12cos2A＋4cos2C由(1)知：3

cosA＝1＋cosC，代入上式得S21＋S22＝16－12cos2A－4()3cosA－12＝－24cos2A＋83cosA＋12,配方得S21＋S22＝－24cosA－362＋14，∴当cosA＝36时，S21＋S22取到最大值14.22．(本小题满分12分

)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA＋3cosA＝2.(1)求角A的大小；(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝π4；③c＝3b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写

出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)[解](1)依题意得2sinA＋π3＝2，即sinA＋π3＝1，∵0<A<π，∴π3<A＋π3<4π3，∴A＋π3＝π2，∴A＝π6.(2)参考方案：选择①

②.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝22.∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2＋64，∴S△ABC＝12absinC＝12×2×22×2＋64＝3＋1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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