【文档说明】河北省衡水市第十四中学2020-2021学年高二下学期一调考试数学试卷含答案.doc，共(15)页，1.469 MB，由小赞的店铺上传

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1衡水市第十四中学2020~2021学年度下学期高二年级一调考试数学试卷一、单项选择题（每题5分）1.已知集合2650Axxx=−+，3Bxyx==−，AB等于（）A．[1,)+B．1,3C．(3,5]D．3,52

.复数2i1i−++在复平面内表示的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量(cos,3),(1,1sin)ab→→=−=+，且ab→→⊥，则πsin6−=（）A.12B.32C.22D.1

2−4.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且在区间[0,)+上单调递增。若实数a满足212(log)(log)2(1)fafaf+，则a的取值范围是（）A.[1,2]B.10,2C.1,22D.(0,2]5.从4名男生和3名女生中选出4人参加某

个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有()A.140种B.120种C.35种D.34种6.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线互相垂直的概率是()。A.318B.41

8C.518D.137.已知双曲线22221(0,0:)xyCabab−=的右焦点为F,虚轴的上端点为B,点P,Q在双曲线上,且点(2,1)M−为线段PQ的中点,//PQBF,双曲线的离心率为e,则2e=()A.212+B.312+C.222

+D.512+8.已知对任意实数x都有()()'2exfxfx−=,()01f=−,若()()1fxkx−恒成立，则k的取值范围是()2A.()1,+B.323,4e2C.121,4eD.3214e，二、多项选择题（每题5分，部分对2分）9.在

平面直角坐标系xOy中，点P在曲线1(0)yxxx=+上，则点P到直线3420xy−−=的距离可以为()A．45B．1C．65D．7510.已知数列na的所有项都是正数,且满足)(3...*221Nnnnaaan+=++

+,下列说法正确的是()A.数列na的通项公式为24(1)nan=+B.数列1nan+是等差数列C.数列1nan+的前n项和是()3nn+D.数列12nan+

是等比数列11.如图,,MN分别是边长为1的正方形ABCD的边,BCCD的中点,将正方形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,以下结论正确的是()A.MNP平面ABDB.异面直线AC与BD所成的角为定值C.存在某个位置

,使得直线AD与直线BC垂直D.三棱锥MACN−体积的最大值为24812.关于函数2()lnfxxx=+，则下列结论正确的是()A.存在正实数k，使得()fxkx恒成立B.函数()yfxx=−有且只有1个零点C.2x=是()f

x的极小值点D.对任意两个正实数12,xx，且21xx，若()()12fxfx=，124xx+三、填空题（每题5分）313.已知向量(2,1),(3,)m=−=ab，若(2)+⊥abb，则=b___________.14.若4(

3)(1)axx++展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数之和为______________.15.在锐角ABC△中,角,,ABC的对边分别为,,abc已知sinsin37sin2BCA=,4ba=,5ac+=,则

ABC△的面积为______．16.如图，已知边长为1的正方形ABCD与正方形BCFE所在平面互相垂直，P为EF的中点，Q为线段FC上的动点，当三棱锥PABQ−的体积最大时，三棱锥PABQ−的外接球的表面积为________.四、解答题17.（10分）在①c

os23sin20BB−+=,②2cos2bCac=−,③cos13sinbBaA+=三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知ABC△的内角,,ABC所对的边分别是,,abc,若__________,且,,abc成等差数列,则ABC△是否为等边

三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由.18.（12分）已知数列na的前n项和为nS，()211,022nnnnaSaSan=−+=．（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）求123111+23nSSSSn+++．19.（12分）如图，在四棱锥PABC

D−中，PAB△为正三角形，四边形ABCD为矩形，且平面PAB⊥平面24ABCDABPC==，，.（1）求证：平面PAB⊥平面PAD（2）在线段PA上是否存在一点N，使得二面角ABDN−−的余弦值为31313

若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由。420.（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很

多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满

分100分）数据，统计结果如下：组别)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用

样本来估计总体，设,分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,的值（,的值四舍五入取整数），并计算()5193PX；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽

奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B的概率为13.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望

.（参考数据：()0.6827PX−+；(22)0.9545PX−+；(33)0.9973PX−+.）21.（12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=

的左、右焦点分别为1F，2F，椭圆C与y轴的一个交点为M，且1223FF=，12MF=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，,AB为椭圆C上不同的两点，点A关于x轴的对称点为点D.若直线BD的斜率为1，求证：OAB△的面积为定值.22

.（12分）已知函数()lnfxxax=−.（1）讨论()fx在其定义域内的单调性；（2）若1a=，且12()()fxfx=，其中120xx,求证：12123xxxx++.56数学参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：B4.答案：C解析：()

()(||)fxfxfx−==,122loglogaa=−,()21122logloglogfafafa=−=,所以原式等价于12log(1)faf,根据()()(

||)fxfxfx−==,即12log(1)faf,在区间[0,)+单调递增,所以1122log11log1aa−解得122a,故选C.5.答案：D解析：分情况考虑:1男3女有13434CC=种;2男2女有224318CC=种;3男1女

有314312CC=种所以共有4181234++=种考点:组合点评:本题还可用去杂法,任意选4人减去不满足题意的选法447434CC−=种.6.答案：C解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连

成直线，则所得的直线共有166182=（对），而互相垂直的有5对，故所求的概率518P=。7.答案：A解析：解法一:由题意知(,0),(0,)FcBb,则PQBFbkkc==−.设()()1122,,,PxyQxy,则2211222

222221,1,xyabxyab−=−=两式相减，得()()2121221212bxxyyxxayy+−=−+.因为线段PQ的中点为(2,1)M−，所以12124,2xxyy+=−+=,又1212PQyybkxxc−==−−,所以2

242bbca−−=,整理得22abc=,所以7()42222244abccca==−,即424410ee−−=.得2212e+=,故选A.解法二:由题意知(,0),(0,)FcBb,则BFbkc=−,设直线PQ的方程为(21)ykx−+=,即21ykxk=++,代入双曲

线方程，得()2222222222(21)(21)0bakxakkxakab−−+−+−=.设()()1122,,,PxyQxy,则124xx+=−,所以22222(21)4akkbak+=−−.又BFbkkc==−,所以2

22222144bbbabaccc−−+=−+−,整理得22abc=,所以2220cbbc−−=,即2210ccbb−−=,得21cb=+,则2222222222(21)212(21)11

cccbeacbcb++=====−+−−,故选A.8.答案：D解析：设()()exfxFx=,()()()()()()2ee2eexxxxfxfxfxfxFx−−===,()2Fxxc=+∴,即()()()2e2exxfxxcfxxc=+=+,()01

fc==−,()()e21xfxx=−∴,不等式()()()()1e211xfxkxxkx−−−当1x时,()e211xxkx−−,即()mine211xxkx−−,设()()e211xxgxx−=−,()()()()22223ee2311xxxxgxxxxx−==−

−−,1x当31,2x时,()0gx,()gx单调递减,当3,2x+时,()0gx,()gx单调递增,∴当32x=时,函数取得最小值,3234e2g=,8∴当1x时,324ek,当1x时,()e211xxkx−

−,即()maxe211xxkx−−设()()e211xxgxx−=−,()()()()22223ee2311xxxxgxxxxx−==−−−,1x,当0x时,()0gx,()gx单调递增,当01x时,()0g

x,()gx单调递减,0x=∴时,()gx取得最大值,()01g=,1x∴时,1k,当1x=时,()1e0f=恒成立,综上可知：3214ek.故选：D9.答案：CD解析：设点()00,Pxy,所以2021yx=

−，点P与直线3420xy−−=的最小距离即为该点P的切线的斜率等于直线3420xy−−=的斜率时的情况，即满足201314x−=,解得02x=，所以：015222y=+=，所以点52,2P，所以点P到直线3420xy

−−=的距离的最小值为225234262543d−−==+.故只需满足65d即可.故选：CD.10.答案：ABD9解析：当1n=时,14a=,可得116a=,当2n时,由21213nnaaaann−+++

+=+L,可得22121(1)3(1)2naaannnn−+++=−+−=+−L,两式相减得2(1)nan=+,得24(1)nan=+,又116a=也适合上式,所以数列na的通项公式为()2*4(1)n

ann=+N,所以A正确.因为4(1)1nann=++,所以12(844)8124(1)2(3)2312naaannnnnn+++++=++++==++LL,所以C不正确.结合等差数列、等比数列的定义知B,D都正确.11.答案：ABD解析：因为,MN分别是,BCCD的中点,所以MNBDP,又MN

平面,ABDBD平面ABD,所以MNP平面ABD,故A正确;取AC的中点O,连接,OBOD,则,ACOBACOD⊥⊥,因为OBODO=,所以AC⊥平面OBD,因为BD平面OBD,所以ACBD⊥,所以异面直线AC与BD所成

的角为90°,故B正确;假设存在某个位置,使得ADBC⊥,因为,ABBCADABA⊥=,所以BC⊥平面ABD,所以BCBD⊥,则BCCD,这与BCCD=矛盾,故C错误;MACNNACMVV−−=三棱锥三棱锥,当平面DAC⊥平面ABC时,NACMV−三棱锥取得最大值,其最大值为111221

322448=,故D正确.故选ABD.12.答案：BCD解析：本题考查函数的基本性质、导数及其应用、函数的零点.对于函数2()lnfxxx=+，其定义域为(0,)+，由于221()fxxx=−+，由()0fx=可得2x=，当02x时，()0fx，当2x时，()0fx

，可知2x=是()fx的极小值点，选项C正确；因为2221111()248fxxxx=−+=−−+，当2x时，()0fx，且当x→+时，()0fx→，所以其图象不可能恒在(0)ykxk=图象的上面，选项A错误；设()()gxfxx=−，则222171224()1

0xgxxxx−+=−−=−，可知()gx在(0,)+上单调递减，又(1)10,(2)ln210gg==−，所以方程()0gx=有且仅有一个根，即函数()yfxx=−有且只有1个零点，选项B正确；由2x=是()f

x的极小值点，可知若()()12fxfx=时，2120xx，易知142x−，则10()()()()121112444fxfxfxfxx−−=−−=+−()()()111111114242ln4lnln4xxxxxxxx−−−−−=+−，令114

xtx−=，则141,1txt=+，则()14fx−−()2222121()ln(1),()022tttfxFtttFttt−−+−==+=，则()Ft在(1,)+上单调递减，()(1)0FtF=，故(

)()1240fxfx−−，又()fx在(2,)+上单调递增，则124xx−，故124xx+，选项D正确，故选BCD.13.答案：32或10解析：因为(2,1),(3,)m=−=ab，所以2(1,2)m+=−+ab.

又2+⊥()abb，所以(2)3(2)0mm+=−++=abb，解得3m=−或1m=.当3m=−时，(3,3),||32=−=bb；当1m=时，3,1=()b，||10=b.综上，||32=b或10.14.答案：64解析：由题意，得x的系数为1

0443CC1213aa+=+=，则1a=，所以原式为4(3)(1)xx++，令1x=，则展开式中各项系数之和为()()4311164++=.15.答案：374解析：由正弦定理及sinsin37sin2BCA=,得sin372bCa=,又4ba

=,37sin8C=,ABC△为锐角三角形,1cos8C=,5ac+=,即5ca=−,由余弦定理得222222(4)(5)1cos2248abcaaaCabaa+−+−−===,1a=,4b=,4c=,113737sin142284ABCSabC===△

．故答案为374．16.答案：41π16解析：由题意知三棱锥PABQ−的体积最大时，点Q与点C重合，则问题转化为求三棱锥PABC−外接球的表面积.过点P作PGBC⊥，垂足为G，由正方形ABCD与正方形BCFE所在平面互相垂直，得PG⊥平面ABC.设三棱锥PABC−外接球的球心为,OAC的中点为1O

，11连接1,OOOPOA，，则1OO⊥平面ABC.延长1OO到点H，使1OHPG=，连接1,PHOG.设1OOx=，则1OHx=−，易知2AC=，则222221(1)22xx+=+−，解得38x=，设外接球的半径为R，则2221314128264Rx=+=+

=，则所求外接球的表面积241414π4ππ6416SR===.17.答案：选①∵2cos212sinBB=−,∴22sin3sin30BB+−=,即()(2sin3si0)n3BB−+=,解得sin3B=−

(舍去)或3sin2B=.∵0πB,∴π3B=或2π3,又∵,,abc成等差数列,∴2bac=+,∴b不是三角形中最大的边,即π3B=,由2222cosbacacB=+−,得2220acac+−=,即ac=,故ABC△是等边三角形.选②由正弦定理可

得2sincos2sinsinBCAC=−,故()2sincos2sinsinBCBCC=+−,整理得2cossinsin0BCC−=.∵0πC,∴sin0C,即1cos2B=.∵0πB,∴π3B=,又∵,,abc

成等差数列,∴2bac=+,由余弦定理2222cosbacacB=+−,可得2220acac+−=,即ac=,故ABC△是等边三角形.选③由正弦定理得sincos1sin3sinBBAA+=,∵sin0A,∴3sincos1BB−=,12即π1sin6

2B−=,∵0πB,∴ππ5π666B−−,即ππ=66B−,可得π=3B,由余弦定理2222cosbacacB=+−,可得2220acac+−=,即ac=,故ABC△是等边三角形.18.答案：（1）证明：因为当2

n时，1nnnaSS−=−，所以211()0nnnnnnSSSSSS−−−−+−=．所以110nnnnSSSS−−+−=,因为112a=所以216a=−，所以10nnSS−，所以1111nnSS−−=．所以1nS

是以112S=为首项，以1为公差的等差数列．（2）由（1）可得()1211nnnS=+−=+，所以11nSn=+.所以1111(1)1nSnnnnn==−++.所以123111111111++1++123223111nnSSSSnnnnn++=−+−−=−=

+++19.答案：（1）证明：取AB的中点O，连接PO，∵PAB△为正三角形，∴POAB⊥，又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB=，∴PO⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，∴POAD⊥，又∵ADAB⊥，ADPO⊥

，且POABO=，∴AD⊥平面PAB．又∵AD平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD．13（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，在直角PCB△中，4PC=，2PB=，∴23BC=，∴(1,0,0),(1,0,0),

(1,23,0)ABD−，设ANAP=，则(1,0,3)N−，则()2,23,0BD=，()2,0,3BN=−，设平面BND的一个法向量(,,)nxyz=，则·0·0nBDnBN==，即()2230230x

yxz+=−+=，令3x=，可得得23,1,1n=−−，而平面ABD的法向量(0,0,1)m=，由题意知：22131313||||241nmnm−==+−，解得1

=−（舍）或12=，∴当点N为AP的中点时，二面角ABDN−−的余弦值为31313．20.答案：（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200EX=++++++=，22222(

)(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225DX=−+−+−+−+−22(8565)0.1(9565)0.05210+−+−=，由2196225，则1415，而214.5210.5210=，所以1

4，则X服从正态分布(65,14)N，所以(22)()(5193)(2)2PXPXPXPX−++−+=−+=140.95450.68270.81862+==；（2）显然，()()0.5PXPX

==，所以所有Y的取值为15，30，45，60，121(15)233PY===，111227(30)2323318PY==+=，1211122(45)2332339PY==+=，1

111(60)23318PY===，所以Y的分布列为：Y15304560P1371829118所以1721()1530456030318918EY=+++=，21.答案：.（1）因为焦距为23，所以22

3c=，即3c=，由12MF=，得2a=，即24a=，21b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=；（2）证明：由题意知直线AB斜率一定存在，设直线方程为ykxm=+，点()11,Axy，()22,Bxy，则OAB△面积为1212

OABSmxx=−△，()11,Dxy−，联立方程2214ykxmxy=++=，得()()222148410kxkmxm+++−=，即()12221228144114kmxxkmxxk+=−

+−=+，因为直线BD的斜率为1，所以21211yyxx+=−，即()21212kxxmxx++=−，即()222121212282241414kmmmxxxxxxkk−+=−=+−++，解得

225164mk=+，15所以2122211242214145OABmmSmxxmkk=−===++△，综上，OAB△面积为定值45.22.答案：（1）11()axfxaxx−=−=[1]当0a时，()0fx，则()fx在区间0,+（）上单调递增；[2]当0a时，1(0,),()

0,()xfxfxa在区间1(0,)a上单调递增；1(+),()0,()xfxfxa，在区间1(+)a，上单调递减;（2）由（1）得：当1a=时，()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，∴

1201xx将要证的不等式转化为12131xxx−+＞，考虑到此时，21x＞，11311xx−+＞，又当(1,)x+时，()fx递增。故只需证明1213()()1xfxfx−+＞，即证1113()()

1xfxfx−+＞设333()()()lnln()111xxxQxfxfxxxxx−−−=−=−−++++.则21441411()1[](1)(1)(3)(1)13xQxxxxxxxxx−=−++=++++−++−221

42(1)(1)(3)(1)(1)(3)(3)(1)xxxxxxxxxxx−−−+=+=++−−+.当(0,1)x时，()0Qx＜，()Qx递减.所以，当(0,1)x时，()(1)0QxQ=＞.所以1113()()1xfxfx−+＞，从而命题得证.