【文档说明】北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二12月月考数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(13)页，860.000 KB，由小赞的店铺上传

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临川学校2020-2021学年度第一学期第三次月考高二数学理科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列na中，11a=−，13nnaa+=−，则

3a等于（）A.-7B.-4C.-1D.2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式计算即可.【详解】数列na为等差数列，公差为-3，所以132167aad=+=−−=−故选：A.2.记nS为等差数列na的前n项和．若

35a=，713a=，则10S=（）A.97B.98C.99D.100【答案】D【解析】【分析】在等差数列na中，根据且35a=，713a=，求得1,ad，再代入等差数列的前n项和公式求解.【详解】在等差数列na

中，且35a=，713a=，所以3125aad=+=，17613aad=+=，解得1a1,d2==1010910121002S=+=故选：D3.已知等比数列na满足122336aaaa+=+=，，则7a=（）A.64B.81C.128D.243【答案】A【解析】【详解】试题分

析：∵12233{6aaaa+=+=，∴，∴11{2aq==，∴6671264aaq===．考点：等比数列的通项公式．4.在ABC中，若105A=，45B=，22b=，则c等于（）A.1B.2C.2D.3【答案

】B【解析】【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得c.【详解】由105A=，45B=，可得30C=由正弦定理得sinsincbCB=，2221222cc==.故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.5.已知△

ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A.76B.219C.27D.27【答案】B【解析】【详解】由余弦定理，得2222cos=36+16+24=76,219bacacBb=+−==，故选B.6.已知直线l过点(1,2)−且与直线2340xy−+=垂直，则l的方程是（）

A.3210xy+−=B.3270xy++=C.2350xy−+=D.2380xy−+=【答案】A【解析】【详解】直线2x–3y+1=0的斜率为2,3则直线l的斜率为3,2−所以直线l的方程为32(1).3210.2yxxy−=−++−

=即故选A7.圆224460xyxy+−++=截直线50xy−−=所得弦长为（）A.6B.522C.1D.5【答案】A【解析】【详解】圆心坐标为（2，-2），半径为2.圆心到直线50xy−−=的距离为2252;2

2+−=所以弦长为2222(2)()6.2−=故选A8.椭圆22449196xy+=的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A.7，2，357B.14，4，357C.7，2，57D.14，4，57−【答案】B【解析】【分析】化简椭圆为221494xy+=，求得,,abc的值，进而求得长

轴长、短轴长、离心率，得到答案.【详解】由题意，椭圆22449196xy+=可化为221494xy+=，可得7,2ab==，又由2235cab=−=，所以椭圆长轴长214a=、短轴长24b=、离心率357cea==.故选：B.9.椭圆22143xy+=的右焦点到直线3yx=的距离是（）A

.12B.32C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据椭圆标准方程求得右焦点坐标，由点到直线距离公式得距离．【详解】在椭圆22143xy+=中，224,3ab==，则221cab=−=所以椭圆的右焦点为()1,0F则椭圆的右焦点()1,0F到直线3yx=的距离为0313213d−==+故选：B

【点睛】本题考查求点到直线的距离公式，考查求椭圆的焦点坐标，属于基础题．10.若抛物线的准线方程为7x=−,则抛物线的标准方程为（）A.228xy=−B.228xy=C.228yx=−D.228yx=【答案】D【解析】【详解】由题得抛物线的标准方程为228yx=.故选D.11.设椭圆2222xym

n+=1(0,0)mn的右焦点与抛物线28yx=的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A.2211216xy+=B.2211612xy+=C.2214864xy+=D.2216448xy+=【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距

c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m、n和c的关系求得n.【详解】抛物线28yx=,4p=,焦点坐标为(2,0)椭圆的右焦点与抛物线28yx=的焦点相同椭圆的半焦距2c=,即224mn−=212em==，

416423mn==−=，，椭圆的标准方程为2211612xy+=，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而22

nmc=−,因而椭圆方程确定.12.设F为抛物线C:23yx=的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.334B.938C.6332D.94【答案】D【解析】【详解】由题意可知：直线AB的方程为33

()34yx=−，代入抛物线的方程可得：2412390yy−−=，设A11(,)xy、B22(,)xy，则所求三角形的面积为121213()424yyyy+−=94，故选D.考点：本小题主要考查直

线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆的方程为：2212516xy+=，若C为椭圆上一点，1F，2F分别为椭圆的左，右焦点，并且12CF=，则2

CF=____________．【答案】8【解析】【分析】先算出a，再根据椭圆的定义即可获解.【详解】椭圆2212516xy+=的5a=，由椭圆的定义可得，12210CFCFa+==由12,CF=可得2102

8CF=−=故答案为：8.14.已知平行直线12:210,:210lxylxy+−=++=，则12,ll的距离是________【答案】255【解析】【分析】由平行线的距离公式可直接得解.【详解】由平行线的

距离公式可得：22|1(1)|25521−−=+.故答案为255.【点睛】本题主要考查了平行线的距离公式，属于基础题.15.过()2,4点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为______________．【答案】2xy=【解析】【分析】设出抛物线方程，再把()2,4代入即可

获解.【详解】设过()2,4点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线标准方程为22,0pyxp=把()2,4代入，得:48,p=解得12p=所以抛物线的标准方程为2.xy=故答案为：2xy=.16.已知椭圆()222210xyaba

b+=的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于7b，则椭圆的离心率为_____．【答案】12【解析】【分析】由题意可得直线AB的方程：bx﹣ay+ab＝0，利用点F（﹣c，0）到直线AB的距离公式可求得

d＝7b，整理得到关于e的方程，即可求解．【详解】依题意得，AB的方程为1xyab+=−，即：bx﹣ay+ab＝0，设点F（﹣c，0）到直线AB的距离为d，∴227bcabbdab−+==+，∴5a2﹣14ac+8c2＝0，∴8e2﹣

14e+5＝0，∵e∈（0，1）∴e＝12或e＝54（舍去）．故答案为12．【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有

两种方法：①求出,ac，利用离心率的定义求解；②根据条件得到关于,,abc的齐次式，转化为关于e的方程求解．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题10分，第1821题每题12分．1

7.写出下列直线的方程．（1）经过点(2,5)A，且与直线27yx=+平行；（2）经过点()1,1C−−，且与x轴平行．【答案】（1）210xy−+=；（2）1y=−．【解析】【分析】（1）根据题意求得直线的斜率为2k=，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由题意求得与x轴平行的直线的斜

率0k=，进而求得直线的方程.【详解】（1）由题意，直线27yx=+，可得直线的斜率为2k=，因为过点(2,5)A，且与直线27yx=+平行，可得所求直线方程为()522yx−=−，即所求直线方程为210xy−+=．（2）由题意，与x轴平行的直线的斜率tan00k==，所以直线的点斜式方程为()

10y−−=，即1y=−．18.已知na是等比数列，141,8aa==，nb是等差数列，143,12bb==，（1）求na和nb的通项公式；（2）设nnncab=+，求数列nc的前n项和nS.【答案】（1）12nna-=，3nbn=（2）2332122nnSnn=−++【解析】

【分析】（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；（2）由（1）得到数列nc的通项公式，再根据分组求和法求解即可得到结果．【详解】（1）设等比na的公比为q，由341aaq=，得381q=，解得2q=，所以12nna−=；设等差nb的公差为d，由413

bbd=+，得1233d=+，解得3d=，所以()3313nbnn=+−=．（2）由（1）得123nnnncabn−=+=+．所以()()011222311nnnS−=+++++++()()11213122nnn−+=+−2332122nnn=−++．所以数列nc的前

n项和2332122nnSnn=−++．【点睛】（1）对于等差数列和等比数列的运算问题，可转化为其基本量即首项和公差（公比）来求解．（2）求数列的和时，需要根据通项公式的特征选择相应的求解方法，对于形如nnncab=+（na、nb分别为等差、等比数列）的数列来讲，则采用分组求和法

求解，借助等差（比）数列的求和公式可得结果．19.在锐角三角形ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc且．（1）求角A的大小；（2）若6a=，8+=bc，求△ABC的面积．【答案】（1）3A=；（

2）733ABCS=.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出1sin2ABCSbcA=值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理

，得，又，所以，所以.考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.20.（1）已知直线l经过抛物线26yx=的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．若直线l的倾斜角为60，求AB的值；（2）抛物线212yx=

截直线21yx=+所得弦长等于？【答案】（1）8；（2）15．【解析】【分析】（1）由倾斜角求直线的斜率k，抛物线方程求F点坐标，由直线过抛物线焦点F，写出直线方程，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理得12xx+

，结合抛物线定义知12||ABxxp=++即可求弦长；（2）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理得12xx+，12xx，结合弦长公式即可求弦长.【详解】（1）由直线l的倾斜角为60，则斜率tan603k==．又3,02F

，∴直线l的方程为332yx=−．联立26332yxyx==−，消去y得29504xx−+=．若设()11,Axy，()22,Bxy．则125xx+=，而1212||||||22ppABAFBFx

xxxp=+=+++=++，且3p=，∴538AB=+=．（2）令直线与抛物线交于点()11,Axy，()22,Bxy．由22112yxyx=+=，得24810xx−+=，122xx+=，1214

xx=，()()()222121212||125415ABxxxxxx=+−=+−=．【点睛】关键点点睛：（1）由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得12xx+，根据抛物线的定义有12||ABxxp=++，求弦长；（

2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式求弦长.21.点(),Mxy与定点()2,0F的距离和它到定直线8x=的距离的比是1:2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【答案】2211612xy+=；椭圆．【解析】【分析】用坐

标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程．【详解】设d是点M到直线8x=的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MFPMd==，由此得()2221|8|2xyx−+=−．将上式两边平方，并化简，得223448xy+=，即点M的轨迹方程为：22

11612xy+=；轨迹是椭圆．22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率32，(),0Aa−，(),0Ba，()0,Eb，()0,0O，OBE△的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两

点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：BDE与BDN的面积之比为4:5．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用面积公式和离心率可得椭圆C的方程；（2）设(),Mmn，且22m−，则(),0Dm

，(),Nmn−，由1AMDEkk=−，可分别写出直线DE和BN的方程并联立，解出点E的纵坐标，再由点M在椭圆C上，得出BDE与BDN的面积之比，命题得证．【详解】（1）由题意得2223,211,2,caababc

===+解得2a=，1b=．椭圆C的方程为2214xy+=．（2）设(),Mmn，且22m−，则(),0Dm，(),Nmn−．直线AM的斜率2AMnkm=+，由AMDE⊥，则1AMD

Ekk=−，故直线DE的斜率2DEmkn+=．直线DE的方程为()2myxmn+=−−．直线BN的方程为()22nyxm=−−．联立()()222myxmnnyxm+=−−=−−，解得点E的纵坐标()22244Enmymn−=−−+．由点M

在椭圆C上，得2244mn−=．45Eyn=−．又12||||||||25BDEESBDyBDn==，1||||2BDNSBDn=，BDE与BDN的面积之比为4:5．