【文档说明】广东省中山市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.853 MB，由小赞的店铺上传

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中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试数学•理一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2|560Axxx，|210Bxx，则AB（）A.,23,B.

1,32C.1,32D.1,23,2【答案】D【解析】由题意得21|560|23,2102AxxxxxxBxxxx或，∴1|232ABxxx或．选D．2.已知i是

虚数单位，复数z满足132ziii，则3z（）A.29B.33C.26D.5【答案】A【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算求得z，进而求得3z的模.【详解】依题意3215515i

iiiiziiiii，所以223252529zi.故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.3.计算sin133cos197cos47cos73的结果为（）A.

12B.12C.32D.32【答案】B【解析】【分析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73化为cos47cos73+sin43sin17，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos4

7cos73cos43cos17+sin43sin171cos43cos17sin43sin17)co(s602故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，

属于基础题.4.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角

，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得A

B垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于

AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60，则AB不垂直于平面MNQ．故选D．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力

，属于基础题．5.若61014log3,log5,log7abc,则()A.abcB.bcaC.acbD.cba【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为1fxxx的形式

，该函数为0,上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log31log3a，22log51log5b，22log71log7c，令11,011xfxxxx，则fx在0,上

是单调增函数.又2220log3log5log7，所以222log3log5log7fff即abc.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数

本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.6.已知,xy满足不等式组240,20,30,xyxyy则1zxy的最小值为（）A.2B.22C.2D.1【答案】D【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为12,2xyz所以

z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min1.z故选D.点睛：本题的关键是找到1zxy的几何意义，要找到1zxy的几何意义，必须变形，12,2xyz所以z表示可行域内一点到直线

x+y-1=0距离的2倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.7.电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）A.1027B.448729C.100243

D.4081【答案】B【解析】【分析】先求,AC连通的概率，再求,BD连通的概率，然后求,AB连通的概率.【详解】先考虑,AC没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为111339P.所以,AC连通的概率18=199P.,EF连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为224

339P,所以,EF没有连通的概率为：45=199P.则,BD之间没有连通的概率5525=9981P所以,BD连通的概率255618181P，所以,AB连通的概率.568448=819729P

故选：B【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.8.有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（）A.8种B.16种C.32种D.48种【答案】B【解析】首先将甲排在中间，乙

、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，选出一人排在左侧，有：1122CA种方法，另外一人排在右侧，有12A种方法，余下两人排在余下的两个空，有22A种方法，综上可得：不同的站法有111222221

6CAAA种.本题选择B选项.9.已知函数sin0,0,02fxAxA的最小正周期是，若1f，则32f（）A.12B.12C.1D.-1【答案】D【解析】【分析】根据fx的最小正

周期求得，由1f列方程，利用诱导公式求得32f.【详解】由于fx的最小正周期为π，所以2ππ0T，所以2.所以sin2fxAx.由1f得sin21fA.所以33sin2sin23π

sin2122fAAA.故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“

堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，ACBC，若12AAAB，当阳马11BAACC体积最大时，则堑堵11

1ABCABC的外接球体积为（）A.22B.823C.1423D.42π【答案】B【解析】【分析】根据11BAACC体积的最大值求得此时,ACBC的长，判断出球心的位置，求得111ABCABC的外接球的半径，进而求得球的体积.【详解】依题

意可知BC⊥平面11ACCA.设,ACaBCb，则2224abAB.111111323BAACCVACAABCACBC22114232323ACBC，当且仅当2ACBC时取得最大值.依题意可知1

111,,ABCABAABB是以1AB为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABCABC外接球的直径为1AB，故半径221111222OBABAAAB.所以外接球的体积为34π82π233.特别说明：由于BC⊥平面11A

CCA，1111,,ABCABAABB是以1AB为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABCABC外接球的直径为1AB为定值，即无论阳马11BAACC体积是否取得最大值，堑堵111ABCABC外接球保持不变，所以可以直接由直径1AB的长，计算出外接球的半径，进而求得

外接球的体积.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.11.已知数列na是各项均为正数的等比数列，nS为数列na的前n项和，若2233SaS

，则423aa的最小值为（）A.9B.12C.16D.18【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为1,aq的形式，结合基本不等式求得423aa的最小值.【详解】由2233SaS得232333aSSa，所以2111233,01aqaqa

qqq.所以423aa323112333331qqqaqaqqqq2121431qqq43161qq43216181qq.当且仅当41

311qqq时取得最小值.故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12.若关于x的方程0xxxxemexe有三个不相等

的实数解1x，2x，3x，且1230xxx，其中mR，2.718e为自然对数的底数，则3122312111xxxxxxeee的值为（）A.eB.1mC.1mD.1【答案】

D【解析】【分析】设xxte即101tmt所以2(1)10tmtm,令g()xxxe,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于t的方程2(1)10tmtm一定有两个不等的实数根12,tt，且120tt，且则31231212,xxxxxxt

teee即可求解.【详解】由方程0xxxxemexe，有101xxxmxee设xxte即101tmt所以2(1)10tmtm令g()xxxe，则1()xxgxe所以g()x在(,1)上单调递增，

在(1,)上单调递减,且g(0)0，1(1)ge，当0x时，()0gx其大致图像如下.要使关于x的方程0xxxxemexe有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且1230xxx.结合图像可得关于t的方程2(1)10tmtm一定有两个不等

的实数根12,tt且120tt,12121,1ttmttm则31231212,xxxxxxtteee.所以31222231212111=11xxxxxxtteee

2212121211][+1][tttttt2[1(1)+1]1mm故选：D【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，

共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.等差数列na的前n项和为nS，若4a，10a是方程2810xx的两根，则：13S__________.【答案】52【解析】【分析】利用根与系数关系，等差数列前n

项和公式，求得13S的值.【详解】由于4a，10a是方程2810xx的两根，所以4108aa，所以11341013813131352222aaaaS.故答案为：52【点睛】本小题主要考查根与系数关系

，考查等差数列前n项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.14.已知向量a与b的夹角是56，且aab，则向量a与ab的夹角是_____.【答案】23【解析】【分析】首先根据aab，求得3ba，由此利用夹角公式计算出向量a与ab的夹角的余弦值，由此求得

向量a与ab的夹角.【详解】由aab两边平方并化简得22222,20aaabbabb，即25π2cos06abb，即3ba.所以cos,aabaabaab2225πcos61abaabaa31122，由于,0,πa

ab，所以2π,3aab.故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.15.已知921120121112111xxaaxaxax

，则1211aaa的值为.【答案】【解析】试题分析：令，得，令，得，联立得：，故答案为.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式

中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求的值．16.已知函数2xxxxeefxee，若有()(2)4fafa，则实数a的取值范围是__________．【答案】1,【

解析】∵222221(1)22()2223111xxxxxxxxxeeeefxeeeee，∴函数fx在R上为增函数，由题意得()()2(2)4xxxxxxxxeeeefxfxeeee，∴()4()fxfx，∵2

4fafa，∴42(2)fafafa．∴2aa，解得1a．∴实数a的取值范围是1,．答案：1,点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()fxfx是解题的关键，在此

基础上将不等式化为fa(2)fa的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数2xxxxeefxee为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设nS为数

列na的前n项和，已知23a，121nnaa.（1）证明1na为等比数列；（2）判断n，na，nS是否成等差数列？并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）成等差数列，理由见解析【解析】【分析】（1）由递推关系求得1a，通过计算1121nnaa，证得数列1

na为等比数列.（2）由（1）求得数列na的通项公式，由分组求和法求得nS，证得2nnnSa，所以n，na，nS成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a，2121aa，∴11a，由题意得10na，1122211nnnnaaaa，∴1na是首

项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nna，∴21nna.∴11222212nnnSnn，∴12222210nnnnnSann，∴2nnnSa，即n，na，nS成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列

，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）若cos:cos:cos2:2:7ABC，求sinB；（2）若sin:cos:tan2:2:7ABA，试判断ABC的形状.【答案】（1）15sin4B（2）直角三角

形【解析】【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac，再利用余弦定理求得cosB的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sinB的值.（2）结合已知条件得到sincosAB，2tan7sinAA，结合A为锐角，求得π2AB，由此

证得三角形ABC是直角三角形.【详解】（1）∵cos:cos:cos2:2:7ABC，∴ab，222222:2:722bcaabcbcab，∴22222:2:722cacaca，∴224720aacc，∴420acac，∴2ac或4ca（舍去

），∴2221cos24acbBac，∴215sin1cos4BB.（2）∵sin:cos:tan2:2:7ABA，∴sincosAB，2tan7sinAA，∴2AB或2AB，2cos07A，A为锐角.∴2AB（舍去），∴2

AB，∴ABC为直角三角形.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱台ABCDEF中，二面角BADC是直二面角

，ABAC，3AB，112ADDFFCAC．（1）求证：AB平面ACFD；（2）求二面角FBED的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）34【解析】分析：（1）由勾股定理可得CDAD，由面面垂直的性质可得CD平面ABED，从而可得ABC

D，结合ABAC，由线面垂直的判定定理可得AB平面ACFD；（2）在平面ACFD内，过点A作AHAC，由（1）可知ABAH，以A为原点，AB，AC，AH的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，330,,22CD（）是平面BED的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程

求出平面FBE的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接CD，在等腰梯形ACFD中，过D作DGAC交AC于点G，因为112ADDFFCAC，所以12AG，32DG，32

CG，所以3CD，所以222ADCDAC，即CDAD，又二面角BADC是直二面角，CD平面ACFD，所以CD平面ABED，又AB平面ABED，所以ABCD，又因为ABAC，ACCDC，AC、CD平面ACFD，所以AB平面ACFD．（2）如图，在平面A

CFD内，过点A作AHAC，由（1）可知ABAH，以A为原点，AB，AC，AH的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz．则3,0,0B（），130,,22D（），33022F（，，），0,2,0C（），所以=3,2,0)BC（，13

0,,22CF，设,,nxyz是平面FBE的一个法向量，则nBCnCF，所以32030xyyz，取2x，则3y，3z，即=(2,3,3)n，由（1）可知CD平面BED，所以330,,22

CD（）是平面BED的一个法向量，所以cos,nCDnCDnCD33443，又二面角FBED的平面角为锐角，所以二面角FBED的平面角的余弦值为34．点睛：本题主要考查证明线面垂直、利用

空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向

量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知函数2xfxeexaxaR.（1）若fx在0,1上单调，求a的取值范围.（2）若lnyfxexx的图像恒在x轴上方，求a的取值范围.【答案】（1

）,1,e（2）0,【解析】【分析】(1)求出2xfxeexa，fx在0,1上单调，则0fx或0fx在0,1上恒成立，只需要讨论出函数fx在0,1上的单调性，求出其最值即可.(2)lnyfxexx

的图像恒在x轴上方,即lnxeaexexx在0,x上恒成立，设lnxehxexexx，再对函数()hx求导讨论出在0,的单调性，求出其最大值即可.【详解】（1）由题意得xR，

2xfxeexaaR.fx在0,1上单调，即2xfxeexaaR在0,1上大于等于0或者小于等于0恒成立.令2xgxeexaaR，则2xgxee

.0gx时，ln2xe.当01ln2xe时，0gx，∴gx在0,1上单调递减，∴由题意得10g，或00g.∴a的取值范围是,1,e.（2）2lnxyeexaxexx的图像恒在x轴上方，也即当

0,x时，0y恒成立.也即lnxeaexexx在0,x上恒成立.令lnxehxexexx，22211xxexexexexexxhxx，由10h可得

：x0,111,hx+0-hx单调递增0单调递减当1x时，0hx，hx单调递减；当01x时，0hx，hx单调递增；∴10h为极大值.所以()(1)0hxh.∴a的取值范围是0,.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数的

范围和不等式恒成立求参数的范围问题，用分离参数的方法是常用方法,属于中档题.21.某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标

值对应的零件个数如下表所示；质量指标值678910零件个数61860124使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个x元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2

100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x的最小值；（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品

逐一加工，在（2）的条件下，估计x的最小值（精确到0.01）.【答案】（1）7.9个（2）9（3）8.67【解析】【分析】(1)用样本的平均值估计总体的平均数，即求出100个样本的平均数即可.(2)一个零件成本为5元，x的价格出

售，可得式子：602100210051400100x可解出答案.(3)设为满足该订单需制作y个零件，则有601812121001001003y,求出需要制作的

零件总数，然后再计算满足利润条件x的值.【详解】解：（1）设机器制造零件的质量指标值的平均数为m；由题意得：1667188609121047.9100m，∴机器制造零件的质量指标值的平均数为

7.9个.（2）一个零件成本为5元，x的价格出售，可得式子：602100210051400100x，解得：9x，∴x的最小值为9；（3）依题意得，准合格品加工后有13能合格，用于销售，设为满足该订单需制作y个

零件，则有601812121001001003y，解得3000y，故要使获利达到1400元，需要3210052140010xyy，解得263x，∴x的最小值为8.67.【点睛】考查利用样本估计总体，考查利用样本平均数估计总体平均数，属于中档题.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,曲线221C:xy1经过伸缩变换'2'xxyy后得到曲线2C.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C的极坐标方程为ρ2sin

θ.(1)求曲线23C,C的参数方程;(2)若P,Q分别是曲线23C,C上的动点,求PQ的最大值.【答案】（1）2cossinxy，cos1sinxy（2）4333【解析】(1)曲线2

21:1Cxy经过伸缩变换'2'xxyy,可得曲线2C的方程为2214xy,∴其参数方程为2cos(sinxy为参数);曲线3C的极坐标方程为2sin,即22sin

,∴曲线3C的直角坐标方程为222xyy,即2211xy,∴其参数方程为cos(1sinxy为参数).(2)设2cos,sinP,则P到曲线3C的圆心0,1的距离22221164cossin13sin2sin53sin33d

,∵sin1,1,∴当1sin3时,max433d.∴maxmax43433133PQdr.选修4-5：不等式选讲23.已知3abc，且

a、b、c都是正数.（1）求证：2223abc；（2）求证：11132abbcca.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)将3abc两边平方，在由222ab

ab，222bcbc，222acac，可证.(2)由111111=6abbcacabbcacabbcac可证.【详解】（1）证明：由已知得239abcabc，2

222229abcabacbc，又222abab，222bcbc，222acac，∴22222abcabbcac，∴22222229abcabc，∴2223abc.（2）证明：由已知得3abc

，∴11116abbcacabbcac11116ababbcbcacacbcacabaccbbc1131211211219662.【点睛】

本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.