【文档说明】天津市滨海新区塘沽第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(17)页，1.083 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一（下）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．以下命题正确的是（）A．B．C．D．3．如图

，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．4．在△ABC中，已知a＝2，，，则B＝（）A．B．C．或D．或5．已知向量＝（2，1），＝10，|+|＝，则||＝（）A．B．C

．5D．256．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．7．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．10

0米B．50米C．50米D．50（+1）米8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．9．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥

n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sinB•sinC＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角

三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．212．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AB＝，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B

1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③C1A∥NB1C；④平面AMC1⊥平面CBA1．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13．

已知平面向量，，若，则实数k＝．14．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3﹣4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是．15．侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为；外接球表面积为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1

D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，c＝3，且，则A＝；＝．18．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且，则λ的值为．三．解答题（本大题共4小题，共60

分）19．已知向量，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c﹣2b）cosA+acosC＝0．（1）求A；（2）若a＝4，b+c＝2，求△ABC的面积．21．如图，在正方体

ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：AC⊥BD1；（3）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：P

B∥平面AEC；（2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，

请证明；如果不垂直，请说明理由．参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝i（1+2i）＝i+

2i＝﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．2．以下命题正确的是（）A．B．C．D．解：＝0，所以A不正确；＝，所以B不正确；，所以C正确；是与共线的向量，是与共线的向量，所以D不正确；故选：C

．3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，∴直角三角

形的直角边长是，∴直角三角形的面积是×＝1，∴原平面图形的面积是1×2＝2，故选：D．4．在△ABC中，已知a＝2，，，则B＝（）A．B．C．或D．或解：△ABC中，∵已知a＝2，，，则由正弦定理可得＝，即

＝，求得sinB＝，∴B＝或B＝，故选：D．5．已知向量＝（2，1），＝10，|+|＝，则||＝（）A．B．C．5D．25解：∵|+|＝，||＝∴（+）2＝2+2+2＝50，得||＝5故选：C．6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．

C．D．解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．7．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米解：设AB＝xm，则由题意，∠

D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD+BC＝100+x，∴DB＝AB，即100+x＝x，解得x＝50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，

则此圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．解：如图所示，设圆锥的底面半径为r，则高为h＝2r，所以圆锥的体积为V圆锥＝π•r2•2r＝，r＝1，h＝2，l＝＝＝，则此圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π•1•＝π．故选：A．9．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，

n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α

，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sinB•sinC＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解：在△ABC中

，∵b2+c2＝a2+bc，∴cosA＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sinB•sinC＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．11．四边形ABCD是边长为1的

正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．2解：如图建立平面直角坐标系，则E（﹣1，1），F（1，y），（0≤y≤1）．∴，，＝2+y（y﹣1）＝y2﹣y+

2＝（y﹣）2+，∴当y＝时，则取得最小值．故选：C．12．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AB＝，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB

1；③C1A∥NB1C；④平面AMC1⊥平面CBA1．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：由题意知，△A1B1C1是以A1B1为底边的等腰三角形，又∵M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又∵平面A1B1C1⊥平面平面A1ABB1，C1M⊂平面A1B1C1

，平面A1B1C1∩平面平面A1ABB1＝A1B1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确，不妨设AA1＝1，则BB1＝1，AB＝，BN＝，则△AA1B∽△BNB1，则∠BNB1+∠NBA1＝，则A1B⊥N

B1，故②正确，连接BC1，交B1C于点P，连接NP，易证NP∥C1A，又由NP⊂平面NB1C，C1A⊄平面NB1C，故C1A∥平面NB1C，故③正确，∵A1B⊥AM，C1M⊥A1B，∴A1B⊥平面AMC1，又∵A1B⊂平面CBA1，∴平面AMC1⊥平面CBA1，故④正确，故选：D．二．

填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13．已知平面向量，，若，则实数k＝3或﹣1．解：∵，且，∴3﹣k（k﹣2）＝0，解得k＝﹣1或3．故答案为：﹣1或3．14．已知复数z满足z（2﹣i）

＝|3﹣4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是2﹣i．解：由z（2﹣i）＝|3﹣4i|，得z＝＝，则．故答案为：2﹣i．15．侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为24；外接球表面积为25π．解：由题意，侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为V＝；正四棱住的对角线

长为，则正四棱住的外接球的半径为r＝，外接球的表面积S＝4πr2＝4π×＝25π．故答案为：24；25π．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为．解：，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱

长为2，E是棱CC1的中点，BE＝DE＝，BD＝2，设点C1到平面EBD的距离为h，则＝，所以×h＝，解得h＝．故答案为：．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，c＝3，且，则A＝；＝．

解：由2absinC＝（b2+c2﹣a2），得2absinC＝••2bc＝2bccosA，可得asinC＝ccosA，即sinAsinC＝sinCcosA，由sinC≠0，可得tanA＝，由A∈（0，π），可得A＝，又，c＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2b

ccosA，即13＝b2+9﹣6b×，整理得b2﹣3b﹣4＝0，得b＝4或b＝﹣1（舍），所以＝＝．故答案为：，．18．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且，则λ的值为﹣．解：分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可得•＝

﹣•＝﹣c2，•＝﹣•＝﹣b2，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得＝＝＝2R，由，两边点乘，可得•（•）+•（•）＝2λ2，即﹣••ccosB﹣••bcosC＝2λR2，所以﹣•2R（ccosB+bcosC）＝2λR2，所以﹣（c

•+b•）＝2λR，所以﹣a＝2λR，所以λ＝﹣＝﹣sinA＝﹣．故答案为：﹣．三．解答题（本大题共4小题，共60分）19．已知向量，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值．解：（1）∵，，∴，，，设向量与的夹角为θ，则，又由θ∈[0，π]，

，即向量与的夹角为；（2）＝；（3），且，∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c﹣2b）cosA+acosC＝0．（1）求A；（2）若a＝4，b+c＝2，求△ABC的面积．解：

（1）因为（c﹣2b）cosA+acosC＝0，由正弦定理得sinCcosA﹣2sinBcosA+sinAcosC＝0，故sin（A+C）＝2sinBcosA，所以sinB＝2sinBcosA，因为sinB＞0，所以cosA＝，因为A∈（0，π），所以A＝；（2）a＝4，b+c＝

2，A＝，由余弦定理得cosA＝＝＝＝，故bc＝4，△ABC的面积S＝＝＝．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：AC⊥BD1；（3）

求证：平面AB1D1∥平面BDC1．解：（1）连结AD1、CD1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC＝6

0°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°；证明：（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，又AC⊥BD，且DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；证明：（3）在

正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，AD＝B1C1，∴四边形AB1C1D是平行四边形，得AB1∥C1D，又∵AB1⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，∴C1D∥平面AB1D1，同理可证C1B∥平面AB1D1．又C1B∩C1D＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1．22．如

图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值；（3）在第二问的条件

下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵底面ABCD是矩形，∴O是BD的中点，又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，∵EO⊂平面

AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．（2）解：∵，又，∴PA＝1，又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，在矩形ABCD中AD⊥CD，且PA、AD∈平面PAD，所以CD⊥平面PAD，则直线PC与平面PAD所成角为∠CPD

，所以，所以直线PC与平面PAD所成角的正切值为．（3）解：平面AMN与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又PA⋂AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AM⊂平面PAB，所

以AM⊥BC．因为PA＝AB，M为线段PB的中点，所以AM⊥PB，又PB⋂BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AM⊥平面PBC，因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC．