【文档说明】湖南省永州市省重点中学2021届高三下学期5月联考数学试题 含答案.docx，共(13)页，808.349 KB，由小赞的店铺上传

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永州市省重点中学2021届高三下学期5月联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1．已知()1izi−=，复数z的共扼复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合22Axxx=，集合()2log11Bxx=−，则AB=（）A．23xxB．12xx

C．03xxD．02xx3．若圆22:160Cxxym+++=被直线3440xy++=截得的弦长为6，则m=（）A．26B．31C．39D．434．函数()xefxxx=−的图象大致为（）A．B．C．D．5．三星堆古遗址是迄今在西南地

区发现的范围最大，延续时间最长，文化内涵最丰富的古城、古国、古蜀文化遗址.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.考古学家

在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：5730012xyy=（0y表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本

进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的68%，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（参考数据：2log52.32，2log174.09）（）A．2796年B．3152年C．3952年

D．4480年6．已知等差数列na的前n项和为nS，87102SSS=+，则21S=（）A．21B．11C．-21D．07．()5231xx+−展开式中x的系数为（）A．-3B．3C．-15D．158．在三棱锥P

ABC−中，底面ABC是面积为33的正三角形，若三棱锥PABC−的每个顶点都在球O的球面上，且点O恰好在平面ABC内，则三棱锥PABC−体积的最大值为（）A．3B．23C．43D．63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分.9．已知平面向量()2,2a=，()1,bm=，且2abab−=+，则（）A．4ab=B．0ab=C．1m=−D．2b=10．若关于x的方程223cossin23xxm−=−在区间,46−上有且只有一个解，则m的值可能

为（）A．-2B．-1C．0D．111．已知0a，0b，且221ab+=，则（）A．2ab+B．()55111abab++C．22loglog1ab+−D．1abab++12．设1F，2F同时为椭圆()22122:10xyC

abab+=，与双曲线()221122211:10,0aCabxyb−=的左、右焦点，设椭圆1C与双曲线2C在第一象限内交于点M，椭圆1C与双曲线2C的离心率分别为1e，2e，O为坐标原点，若（）A．122FFMO=，则2212112ee+=

B．122FFMO=，则2212112ee+=C．1224FFMF=，则12ee的取值范围是3,32D．1224FFMF=，则12ee的取值范围是,23三、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若1cos123+=，则2sin23+=______.14．沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管

道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，该圆锥的高为1，若上面的圆锥中装有高度为23的液体，且液体能流入下面的圆锥，则液体流下

去后的液面高度为______.15．规定记号“”表示一种运算，即()()2212ababb=−−，,abR，若0k，函数()()fxkxx=的图象关于直线12x=对称，则k=______.16．三分损益法是古代中国发明制

定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一”“三分益一”两层含义.三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度313−=生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度

313+=生得长度.两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生.假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为12，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①sinA，sinC，sinB成等差数列；②::4:3:2abc=；③cos1bA=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC△，

它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sinsinsinsinaABbBcC−+=，1c=，______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（12分）在公比大于0的等比数列na中，已知2a，3a，16a依次组成公差为4的等差数列.（1）求na的通项公式；

（2）设22log5nnnaca−=，求数列nc的前n项和nT.19．（12分）如图，在四棱锥ABCDE−中，//BCDE，BEBC⊥，22ABBCACDEBE====.（1）证明：ADBC⊥.（2）若平面BCDE⊥平面ABC，经过A，D的平面将四棱锥ABCDE−分成左、右两部分的体积之

比为1:2，求平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值.20．（12分）已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为F，点()01,Py在抛物线C上，054yPF=.（1）求抛物线C的标准方程.（2）已知直线l交抛物线C于点A，B，且PAPB⊥，证明：直线l过定点.21．（

12分）某企业有甲、乙两条生产同种产品的生产线.据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：所用的时间（单位：天）10111213甲生产线的频数10201010乙生产线的频数520205假设订单A约定交

货时间为11天，订单B约定交货时间为12天.（将频率视为概率，当天完成即可交货）（1）为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线（订单A，B互不影响）；（2）已知甲、乙生产线的生产成本分别为3万元、2万元，订单A，B互不影响，若规定实际交货时间每超过一天就要付

5000元的违约金，现订单A，B用（1）中所选的生产线生产产品，记订单A，B的总成本为（万元），求随机变量的期望值.22．（12分）已知函数()()2142xfxmexxx=+−−−.（1）讨论()fx的单调性；（2）当2x−时，()0fx恒成立，求

m的取值范围.高三数学试卷参考答案1．A【解析】本题考查复数的除法运算和共轭复数，考查运算求解能力.()1111222iiizii+===−−−，1122zi=+，∴复数z的共轭复数z在复平面内对应的点是11,22，在第

一象限.2．C【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.∵集合02Axx=，13Bxx=，∴03ABxx=.3．C【解析】本题考查圆的方程，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力.2

2160xxym+++=可化为()()2286464xymm++=−，所以圆心到直线3440xy++=的距离24445d−+==，所以224364m+=−，解得39m=.4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数形结合的数学思想.0x，()()xefxxfxx−=+=−−，()fx

为奇函数，排除A.()110fe=−，∴排除D.∵当0x时，()()221xexxfxx−−=，∴当2x=时，()0fx，∴排除C.故选B.5．B【解析】本题考查对数的运算，考查逻辑推理能力.设三星堆

古遗址存在的时期距今大约是x年，则573000168%2xyy=，即573010.682x=，所以122222log0.68log25log172log5log170.555730x==−=−，解得57300.553152x.6．D【解

析】本题考查等差数列，考查运算求解能力.由87102SSS=+，得87108SSSS−=−，所以8910aaa=+，则1098110aaaa+−==，所以2111210Sa==.7．D【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力.()()()()555

422125313131C31xxxxxxx+−=−+=−+−+，∴x的系数为()445C1315−=.8．B【解析】本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力.由题可知底面ABC的边长为23，因为三棱锥PABC−外接球的球心

O恰好在平面ABC内，所以球O的半径为2，则三棱锥PABC−体积的最大值为1332233=.9．AD【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力.由2abab−=+，得22aba+=，所以224m+=，则1m=，2b=，4ab=，故选AD.10．AC【解析】本题考查三角函数的性质，考查

数形结合的数学思想.223cossin23xxm−=−化简可得cos262mx+=−，即cos262mx+=−，在区间,46−上有且只有一个解，即cos26yx=+的图象和直线2my=−只有1个

交点.又,46x−，则2,632x+−.当263x+=−，即4x=−时，可得1cos32y=−=；当206x+=，即12x=−时，可得1y=；当262x+=，即6x=时，可得0y=.要使得cos26yx=+

的图象和直线2my=−只有1个交点，结合cos26yx=+的图象（图略），可得12m−=或1022m−，解得2m=−或10m−，故选AC.11．BCD【解析】本题考查基本不等式，考查

逻辑推理能力.对于A，令1010a=，31010b=，则2108255ab+==，故A不正确；对于B，()()()2335525522221120ababababababbaab−++−+=+−=，故B正确；对于C，222222loglogloglog12ababab++==−，

当且仅当22ab==时，等号成立，故C正确；对于D，由221ab+=，所以01a，01b，则()()1110ababab+−−=−−，故D正确.故选BCD.12．BD【解析】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查数形结合的数学思想.如图，设1MFm=，2MFn=，焦距为

2c，由椭圆定义可得2mna+=，由双曲线定义可得12mna−=，解得1maa=+，1naa=−.当122FFMO=时，则1290FMF=，所以2224mnc+=，即22212aac+=，由离心率的公式可得221212ee+=，故B正确.当1224FFMF=

时，可得12nc=，即112aac−=，可得121112ee−=，由101e，可得111e，可得2112e，即212e，则2212222eeee=+，可设()2234ett+=，即()22222224242tetett−

==+−+，由()44fttt=+−在()3,4上单调递增，可得()1,13ft，则122,23ee，故D正确.故选BD.13．79−【解析】本题主要考查二倍角公式，考查运算求解能力.因为2223122

+=++，则227sin2cos22cos1312129+=+=+−=−.14．31913−【解析】本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力.3283

27VV==液圆锥，当液体流下去后，81912727VVV−=−=圆锥液圆锥，所以液体流下去后的液面高度为31913−.15．1【解析】本题考查新定义与函数的性质，考查数形结合的数学思想.()()()()()()()

22212112fxkxxkxxxkxkxxx==−−=−+−.因为函数()fx的图象关于直线12x=对称，所以101,121,kk+=−=解得1k=.16．516【解析】本题考查概率，考查逻辑推理

能力.设5次三分损益中有k次三分损一，所以52424312833kk−=，解得3k=.故所求概率为5351105C23216==.17．解：因为()sinsinsinsinaABbBcC−+

=，由正弦定理得()22aabbc−+=，即222abcab+−=，所以2221cos22abcCab+−==，又()0,C，所以3C=.选择①因为sinA，sinC，sinB成等差数列，所以sinsi

n2sinABC+=，即22abc+==，解得1c=.由222221abcabab+−=+−=，()231abab+−=，所以1ab=，故存在满足题意的ABC△.113sin1sin2234ABCSabC===△.选择②因为::4:3:2abc=，所以3ABC=，这

与ABC++=矛盾，所以ABC△不存在.选择③因为cos1bA=，所以22112babb+−=，得22221baca=+=+，所以2B=，此时ABC△存在.又3C=，所以6A=，所以31tan63a==，所以1326ABCSac==

△.18．解：（1）设na的公比为q，因为2a，3a，16a成等差数列，所以21362aaa+=，则2260qq−−=，又0q，所以2q=.又因为324aa−=，所以12a=，所以1222nnna−==.（2）由题可知22log52

52nnnnanca−−==，则23311252222nnnT−−−=++++，①234113112725222222nnnnnT+−−−−=+++++，②①-②得23111311125112222222222nnnnnnT++−−−=++

++−=−+.故2112nnnT−=−−.19．（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO.因为BODE=，//BODE，所以BODE为平行四边形，又EBBC⊥，所以DOBC⊥.因为ABBCAC==，所以AOBC⊥，又AOD

OO=，所以BC⊥平面ADO.因为AD平面ADO，所以ADBC⊥.（2）解：因为平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE平面ABCBC=，所以DO⊥平面ABC.因为:1:2CDODOBESS=△，所以平面ADO即为平面.以O为

坐标原点，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，令2AB=，则()0,0,0O，()3,0,0A，()0,1,0B，()0,1,0C−，()0,0,1D，所以()3,1,0AC=−−，()0,1,1CD=.设平面ADC的法

向量为(),,nxyz=，则0,0,nACnCD==即30,0,xyyz−−=+=令1x=，则3y=−，3z=，所以()1,3,3n=−.又平面的一个法向量为()0,1,0m=.设平面与平面ADC所成的角（锐角）为，则321coscos,717m

nmnmn−====，所以平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值为217.20．（1）解：过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q（图略），则00524ypPQy=+=，故02yp=.又()01,Py在抛物线上，所以012yp=，则122pp=，解得12p

=，01y=.故抛物线C的标准方程为2xy=.（2）证明：设()211,Axx，()222,Bxx，直线l的方程为ykxm=+，则2111111PAxkxx−==+−，2222111PBxkxx−==+−.因为PAPB⊥，所以()()121

11xx++=−，即121220xxxx+++=，将直线l的方程与抛物线方程联立可得，20xkxm−−=，则12xxk+=，12xxm=−，所以20km−+=，直线l的方程为()212ykxkkx=++=++，则直线l过定点()1,2−.21．解：（1）频率分布表如下：所用的时间（单

位：天）10111213甲生产线的频率0.20.40.20.2乙生产线的频率0.10.40.40.1设事件1A，2A分别表示订单A选择甲、乙生产线在约定时间交货；事件1B，2B分别表示订单B选择甲、乙生产线在约定时间交货.()10.20.40.6PA=+=，()20.10.40.5PA=+=

，()10.20.40.20.8PB=++=，()20.10.40.40.9PB=++=，所以订单A选择甲生产线，订单B选择乙生产线.（2）设1x表示订单A实际交货时间超过约定时间的天数，2x表示订单B实际交货时间

超过约定时间的天数，1x，2x的分布列分别如下：1x012P0.60.20.22x01P0.90.1设12Xxx=+，则X的分布列如下：12Xxx=+0123P0.540.240.20.0200.5410.2420.

230.020.7EX=+++=，所以320.55.35EEX=++=（万元），所以订单A，B的总成本的期望值为5.35万元.22．解：（1）()()()()22422xxfxmexxxme=+−−=+−.若0m，则20xme−.当()

,2x−−时，()0fx；当()2,x−+时，()0fx.所以()fx在(),2−−上单调递增，在()2,−+上单调递减.若0m，令()0fx=，解得12x=−，22lnxm=.当202me时，21xx，则()fx

在(),2−−和2ln,m+上单调递增，在22,lnm−上单调递减.当22me=时，21xx=，则()fx在R上单调递增.当22me时，21xx，则()fx在2,lnm

−和()2,−+上单调递增，在2ln,2m−上单调递减.（2）由题可得()00f，即2m.①若222me，()fx在)2,−+的最小值为()2fx，而()()2222222224220fxxxxxx=+−−−=−+.所以当2x−时，()0fx恒成立

.②若22me，()fx在)2,−+单调递增，而()20f−=，所以当2x−时，()0fx恒成立.③若22me，则()()2222220fmeeme−−−=−+=−−，所以当2x−时，()0fx不可能恒成立．综上所述，m的取值范围为22,2e.