【文档说明】四川省乐山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷含解析 【精准解析】.doc，共(18)页，878.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．随着试验次数

的增加，频率一般会越来越接近概率2．复数的虚部是（）A．﹣B．C．﹣D．3．现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）

+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（）A．B．eC．﹣D．﹣e5．执行如图程序后输出的结果是（）A．﹣1B．0C．1D．26．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位

数之和为（）A．45B．52C．47D．547．如图是函数f（x）及f（x）在点P处的切线的图象，则f（2）+f'（2）＝（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边上的一个动点．若在

矩形ABCD内部随机取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（）A．B．C．2D．10．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任

取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）

C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）12．若关于x的不等式﹣x＞1在（0，+∞）上恒成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有学生45人

，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为．14．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则|z|＝．15．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则

＝．x24568y253560557516．已知函数f（x）＝ex+x2+（a+1）x+1在区间（﹣1，0）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣

10．（1）求b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间．18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了1000

0名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组

区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？19．设函数f（x）＝．（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．20．在一次数

学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对A、B两题选做的情况，得到如表数据（单位：人）：选做A题选做B题合计男同学830女同学820合计20（1）请完成题中的2×2列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过97.

5%的把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关？（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“A题”所用的时间为区间[5，7]内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“B题”所用的时间区间为[6，8]内的一个

随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“A题”比选做“B题”所用时间更长的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357

.87910.82821．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，O为AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点．（1）求证：DM∥平面PBC；（2）求点A到平面PCD的距离．22

．设函数f（x）＝+lnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是

正确的（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每

次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率．∴随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．故选：D．2．复数的虚部是（）A．﹣B．C．﹣D．

解：∵＝，∴复数的虚部是．故选：B．3．现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（）A．B．C．D．解：由题意，有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本

语文1本数学的概率是．故选：A．4．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（）A．B．eC．﹣D．﹣e解：根据题意，f（x）＝2xf'（e）+lnx，其导数f′（x）＝2f

'（e）+，令x＝e，可得f′（e）＝2f'（e）+，变形可得f′（e）＝﹣，故选：C．5．执行如图程序后输出的结果是（）A．﹣1B．0C．1D．2解：模拟程序语言的运行过程，如下：n＝5，s＝0满足条件s＜14，执行循环体，s＝5，n＝4满足条件s＜14，执行循环体，s＝9，n＝3满足条件

s＜14，执行循环体，s＝12，n＝2满足条件s＜14，执行循环体，s＝14，n＝1此时，不满足条件s＜14，退出循环，输出n的值为1．故选：C．6．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（）A．45B．52C

．47D．54解：甲运动员的中位数为24，乙运动员的中位数为28，所以中位数之和为24+28＝52．故选：B．7．如图是函数f（x）及f（x）在点P处的切线的图象，则f（2）+f'（2）＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：由图可知f（x）在x＝2处的切线方程为，即y＝

﹣，可得f′（2）＝，又f（2）＝，∴f（2）+f'（2）＝1﹣＝．故选：D．8．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边上的一个动点．若在矩形ABCD内部随机取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．解：由题意，点

P取自阴影部分的概率为．故选：C．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（）A．B．C．2D．解：如图，在△A1AD中，作ME∥AD，交AA1于点E，在△ABC中，

作NF∥BC，交AB于点F，连接EF，∵正方体的棱长为2，∴AC＝A1D＝2，∵A1M＝，∴由＝＝，可得＝＝，可得A1E＝1，可得AE＝EM＝1，∵MN∥面AA1B1B，面MNEF∩面AA1B1B＝EF，∵MN∥EF，又EM∥AD∥FN，∴四边形EMNF是平行四边形，可得NF＝EM＝1，∴由，

可得，可得AF＝1，∴EF＝＝＝，∴MN＝EF＝．故选：A．10．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．解：求导数可得f′（x）＝x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根

，即△＝4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3＝9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P＝故选：D．11．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）

A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）解：由图可得，0＜f′（2）＜f′（3）．设A（2，f（2）），B（3，f（3）），则f

（3）﹣f（2）＝，即为直线AB的斜率．由图可知，直线AB的斜率大于f′（2）小于f′（3），即f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）．故选：B．12．若关于x的不等式﹣x＞1在（0，+∞）上恒成

立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．解：关于x的不等式﹣x＞1在（0，+∞）上恒成立，等价于在（0，+∞）上恒成立，设，则，令f'（x）＝0，解得x＝2，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）单

调递减，当x＞2时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，所以f（x）在x＝2时取得极大值，即最大值，故f（x）的最大值为f（2）＝，所以，则实数k的取值范围为．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．13．某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为9．解：由题意可知，样本中男生与总体中男生的比例为，由分层抽样可知，样本容量与总体容量的比例也为，又总体容量为45，

故样本容量为．故答案为：9．14．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则|z|＝．解：由（1+i）z＝1+i，得＝．∴|z|＝＝．故答案为：．15．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为

，则＝10．x24568y2535605575解：，；把（5，50）代入回归直线，得，解得．故答案为：10．16．已知函数f（x）＝ex+x2+（a+1）x+1在区间（﹣1，0）有最小值，则实数a的取值范围是（﹣2，1﹣）．解：函数

f（x）＝ex+x2+（a+1）x+1的导数为f′（x）＝ex+2x+（a+1），由y＝ex+2x+（a+1）在（﹣1，0）递增，设y＝ex+2x+（a+1）的零点为t，可得﹣1＜x＜t时，y＜0；t＜x＜0时，y＞0，可得x＝t为f

（x）的极小值点，且为最小值点，所以﹣（a+1）＝ex+2x∈（﹣2+，1），解得a∈（﹣2，1﹣）．故答案为：（﹣2，1﹣）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．（1）求b，

c的值；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）由题知f'（x）＝﹣3x2+b，∴f'（﹣2）＝0，即﹣3×（﹣2）2+b＝0．∴b＝12．又∵f（﹣2）＝﹣10，即﹣（﹣2）3+（﹣2）×12+c＝﹣10．∴c＝6

．（2）由（1）知f（x）＝﹣x3+12x+6．∴f'（x）＝﹣3x2+12＝﹣3（x+2）（x﹣2）．令f'（x）＞0，可得﹣2＜x＜2；令f'（x）＜0，可得x＜﹣2或x＞2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减，在（﹣2，2）上单调递增．18．某市居民用水拟实行阶

梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格

为4元/立方米，ω至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？解：（1）由用水量的频率直方图可知：该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次是0

，05，0.1，0.15，0.25，0.3，∴该月用水量不超过3立方米的居民占：0.05+0.1+0.15+0.25+0.3＝85%．而用水量不超过2立方米的居民占：0.05+0.1+0.15＝30%．∵ω是正数，∴

为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω就定为3．（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组[2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，1

2]（12，17]（17，22]（22，27]频率0.050.10.150.250.30.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：4×0.05+6×0.1+8×0.15+10×0.25+12×0.3+17×

0.05+22×0.05+27×0.05＝11.4（元）．答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）．19．设函数f（x）＝．（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．【解答

】解：（1）f'（x）＝x2﹣x﹣2a．若f（x）在（2，+∞）上有单调递减区间，则f'（x）＝x2﹣x﹣2a＜0在（2，+∞）上有解．即2a＞x2﹣x在（2，+∞）上有解．令，易知g（x）＞g（2）＝2，∴2a＞2，∴a＞1，即a∈（

1，+∞）．（2）令f'（x）＝0得两根，，∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．当0＜a＜2时，x1＜1＜x2＜4，∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（x2），又∵．即f（4）＞f（1）．∴f（x）在[1，4]

上的最大值为．则，∴a＝1．则．∴f（x）在[1，4]上最小值为．20．在一次数学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对A、B两题选做的情况，得到如表数据（单位：人）：选做A题选做B题合计男同学830女同学820合计20（1）请完成题中的2×2列联表，并根据表中的数据判断，是否

有超过97.5%的把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关？（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“A题”所用的时间为区间[5，7]内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“B题”所用的时间区间为[6，8]内的一个

随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“A题”比选做“B题”所用时间更长的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8

415.0246.6357.87910.828解：（1）2×2列联表如下：选做A题选做B题合计男同学22830女同学81220合计302050由表中的数据得，所以有超过97.5%得把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关．（2）设

甲同学解答一道“A题”需要x分钟，解答一道“B题”需要y分钟，记“甲同学在考试中选做A题比选做B题所用时间更长”为事件A，则总的基本事件构成区域为，而满足事件A的基本事件构成的区域为，即图中的阴影部分，由几何概型知，所以甲同学在考试中选做A题比选做B题所用时

间更长的概率为．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，O为AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点．（1）求证：DM∥平面PBC；（2）求点A到平面PCD的距离．【解答】（1）证明：取

PB的中点N，连接MN，CN，易得MN//AB，且，又AB//CD且，可得MN//CD且MN＝CD，所以四边形MNCD为平行四边形，所以MD//CN．因为CN⊂面PBC，而DM⊄面PBC，故DM//平面PBC．（2）解：如图，连接AC，取CD的中点F，连接OF，PF，则OF⊥C

D．因为PO⊥平面ABCD，则PO⊥CD，又因为OF⊥CD，OF∩PO＝O，得CD⊥面POF，所以CD⊥PF，所以OF，PF分别为△ACD，△PCD的高，由题意可求得，，令点A到平面PCD的距离为d，因为V三棱锥A﹣PCD＝V三棱锥P﹣ACD，即，解得

，即点A到平面PCD的距离为．22．设函数f（x）＝+lnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x

）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（Ⅱ），，可见，当时

，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…令，则

h'（x）＝1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）＝0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调

递减；所以，当x＝1时，函数h（x）取得最大值h（1）＝1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…