【文档说明】2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，985.673 KB，由小赞的店铺上传

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2023年山西省普通高中学业水平考试试卷数学说明：1．答卷前考生务必将自己的座位号、姓名、准考证号、考点名称、考场号等信息填写在相应位置．2．答卷时考生务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔作答（作图可用黑色铅笔）．答案直接写在试卷上，密封线内不要答题．3

．本试卷共5页，答题时间90分钟，满分150分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母填写在下列表格中．1.已知集合1216=∣xAx，{53}=−∣B

xx，则AB=（）A.{54}xx−∣B.{53}−∣xxC.{03}xx∣D.{34}xx∣【答案】C【解析】【分析】首先求出集合A，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为1216x，即04222x，所以0

4x，所以|1216|04xAxxx==，因为{|53}Bxx=−所以|03ABxx=故选：C2.复数z满足()1i2z+=，则z=（）A.2B.2C.1D.22【答案】B

【解析】【分析】设i(,)zabab=+R，根据条件找出,ab的关系，然后计算z【详解】设i(,)zabab=+R，则(1i)(i)(1i)()()izababab+=++=−++，由()1i2()()izabab+==−++，根据复数的模长公式，2222()()2()2ab

abab−++=+=，即222ab+=，222=+=zab.故选：B3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+上单调递增的函数是（）A.24yx=−+B.3yx=−C.1yx=D.yx=【答案】D【解析】【分析】A.由二次函数的性质判断；B.由一次函数的性质判断；C.由反比例函数的

性质判断；D.由,0,0xxyxxx==−判断；【详解】A.24yx=−+由二次函数的性质得，该函数是偶函数，在区间()0,+上单调递减，故错误；B.3yx=−由一次函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间()0,+上单调递减，故错

误；C.1yx=由反比例函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间()0,+上单调递减，故错误；D.,0,0xxyxxx==−，设()fxx=，定义域为R，关于原点对称，且()()fxxxfx−=−==，则该函数是偶函数，在区间()0,+上单调递增，故正确；故选：D.

4.某工厂生产产品的合格率是99.99%，这说明（）A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件C.该厂生产的10000件产品中没有不合格的产品D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%【答案】D【解析】【分析】由概率的

定义逐一分析即可.【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A错误；的对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C

错误；对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；故选：D.5.设0.31.7a=，4log3.1=b，0.7log3=c，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.cbaD.acb

【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的性质分别比较a，b，c与中间量0，1的大小，从而可比较出a，b，c的大小关系【详解】解：因为1.7xy=在R上单调递增，且0.30，所以0.301.71.71=，即1a，因为4logyx=在(0,)+上单调递增

，且13.14，所以444log1log3.1log4，即01b，因为0.7logyx=在(0,)+上单调递减，且31，所以0.70.7log3log10=，即0c，所以abc，故选：A6.已知向量(),2am=−，

()3,1bm=+，且ab⊥，则（）A.3m=B.()3,2b=C.26ab−=D.5ab+=【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求m，判断AB，根据向量的坐标运算求,abab−+，再由向量的模的坐标表示求,

abab−+，判断CD.【详解】因为(),2am=−，()3,1bm=+，ab⊥，所以()()3210mm+−+=，所以2m=，()3,3b=，A错误，B错误，所以()()1,5,5,1abab−=−−+=，所以26,26abab−=+=，C正确，D错误.故选：C.7.中国运动员谷

爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如

果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（）A.中位数B.极差C.平均数D.方差【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合中位数的定义，即可判断和选择.【详解】其他23位参赛同学，按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选

手的成绩．若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛，因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛.故选：A．8.已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面，，，则（）A.若//mn，n，则//mB.若l⊥，m，lm⊥，则//C.若⊥，⊥，l

＝，则l⊥D.若m，n，//m，//n，则//【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定

D不正确.【详解】对于A中，若//mn，n，则//m或m，所以A项不正确；对于B中，若l⊥，m，lm⊥，则//或与相交，所以B项不正确；对于C中，设,ab==，在平面内任取一点P，作,PAaPBa⊥⊥，垂足分别为,AB，由面面垂直的性质定理，可得,PAlPB

l⊥⊥，又因为PAPBP=，可得l⊥，所以C项正确；对于D中，若m，n，//m，//n，只有,mn相交时，才有//，所以D项不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线

，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特

首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若,,abcR，则下列命题正确的是（）A.若0ab，则22acbcB.若0ab，则11abba++C.若0a

bc，则bbcaac++D.若0,0ab，则22baabab++【答案】B【解析】【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明.【详解】A选项，若0c=，则220acbc==，A选项错误；B选项，111()1abababa

bbaabab−+−+=−+=−+，由于0ab，故0ab−，110ab+，故110abba+−+，即11abba++，B选项正确；C选项，()()

bbccbaaacaac+−−=++，由于0abc，故()0()bbccbaaacaac+−−=++，即bbcaac++，C选项错误；D选项，根据基本不等式，22222222babaababababab++++=+，当2baa=且2abb=

，即ab=时取得等号，此时22baabab++，D选项错误.故选：B10.在三棱锥ABCD−中，AB⊥平面BCD，4ABCD==，则三棱锥ABCD−的外接球的表面积的最小值为（）A.16πB.32πC.112π3D.64π【

答案】B【解析】【分析】设底面BCD的外接圆的半径为r，CBD=，由正弦定理表示出r，确定外接球球心位置，求得其半径的表达式，结合正弦函数性质求得外接球半径的最小值，即可得答案.【详解】设底面BCD的外接圆的半径为r，,(0,π)

CBD=，则在BCD△中，4CD=，可得42sinr=，所以2sinr=，设底面三角形的外心为1O，过1O作底面BCD的垂线，由于AB⊥平面BCD，故所作垂线与AB的中垂线的交点即为三棱锥ABCD−外接球的球心，设外接球的半径为R，而

1122OOAB==，则外接球的半径为221124422sinROOOB=+=+，即当sin1=即BCBD⊥时，三棱锥的外接球的半径取得最小值22，此时三棱锥ABCD−的外接球表面积取得最小值：24π(22)32π=,故选：B二、填空题（本大题共

8小题，每小题5分，共40分）请将答案填在题中横线上．11.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是________．【答案】16【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：从1，2，3，4这

4个数中，不放回地任意取两个数基本事件：12，13，14，23，24，34，共6个，其中两个数都是偶数的有：24，共1个，所以两个数都是偶数的概率是16P=，故答案为：1612.已知函数()yfx=用列表法表示如下表，则[(2)]ff=__

____x012()fx201【答案】0【解析】【分析】由表格给出的数据有(2)1f=，则[(2)](1)fff=可求出答案.【详解】根据表格中的数据有(2)1f=所以[(2)](1)0fff==故答案为：0【点睛】本题考查

根据函数的列表法求函数值，属于基础题.13.()()401307.53370.0642169−−−−−+−−=________．为【答案】2316【解析】【分析】根据指数幂性质进行计算.【详解】原式()()10.75344131151723

0.41(2)20.4116821616−−−−=−+−−=−+−=−=故答案为：231614.数据7.0，8.2，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________．【答案】8.4【解析】【分析】利用第p百分位

数的定义求解.【详解】解：因为7302.1i==，所以第30百分位数是8.4，故答案为：8.415.已知tan2x=，则2sin21cos2=+xx________．【答案】22【解析】【分析】利用二倍角公式对2sin21cos2xx+化简后代值求解即可.【详解】

因为tan2x=，所以22sin24sincos2tan221cos22cosxxxxxx===+，故答案为：2216.ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，ANABAC→→→=+，则+的值为________【答案】12【解析

】【分析】根据1,=,,2ANAMAMABBMBMxBCBCACAB→→→→→→→→→→=+==−即可得111222ANxACxAB→→→=+−，进而得答案.的【详解】因为()1,=,0,1,2ANAMAMABBMBMxBCxBCACAB→→→→→→→→→→=+==−，所以

1111122222ANAMABBMABxBCABxACAB→→→→→→→→→==+=+=+−111222xACxABABAC→→→→=+−=+，所以111,222xx=−=，所以12+=故答案为：12

【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助()0,1BMxBCx→→=得111222ANxACxAB→→→=+−，进而求解.17.若f（10x）＝x，则f（5）＝_________．【答案】lg

5【解析】【详解】试题分析：令10x＝t，则lgxt=，∴()lgftt=，∴f（5）＝lg5考点：本题考查函数解析式的求法及求值点评：此类问题常常用换元法求出函数的解析式，然后代入值求解，属基础题18

.若()fx满足对任意的实数a、b都有()()()fabfafb+=且()12f=，则()()()()()()()()13520230242022ffffffff++++=________．【答案】2024【解析】【分析】根据()()()fabfafb+=且()12f=，令1b=得到()()

()112faffa+==求解.【详解】解：因为()fx满足对任意的实数a、b都有()()()fabfafb+=且()12f=，令1b=得()()()11fafaf+=，即()()()112faffa+==，所以()()()()()()(

)()135202320242022ffffffff=====，所以()()()()()()()()13520231012220240242022ffffffff++++==，故答案为：2024三、解答题（本大题共5小题，

共60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.某人参与一种答题游戏，需要解答,,ABC三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，12，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为29．（1）求p的值；（2）若至少答对2道题才

能获奖，求他获奖的概率．【答案】（1）23p=（2）23【解析】【分析】（1）记解答,,ABC三道题正确分别为事件,,DEF，则2()()()()9PDEFPDPEPF==，从而可求出p的值；（2）记事件

G为至少答对2道题，则()()()()()PGPDEFPDEFPDEFPDEF=+++，然后利用独立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】记解答,,ABC三道题正确分别为事件,,DEF，则1()(),()2PDPEpPF===,因为各题答对与否互不影响，且全部答对的

概率为29，所以212()()()()29PDEFPDPEPFp===，解得23p=【小问2详解】记事件G为至少答对2道题，则由题意得()()()()()PGPDEFPDEFPDEFPDEF=+++221221221221111332332332332

=−+−+−+2112299993=+++=所以他获奖的概率为2320.如图所示，三棱柱111ABCABC-，底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA⊥底面ABC，点,EF分别是棱1CC，1BB上的点，点M是线段AC的中点，2

2ECFB==．（1）求证//BM平面AEF；（2）求BM与EF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）BM与EF所成角余弦值为155.【解析】【分析】（1）取AE的中点O，连接,OFOM；证明//BMO

F，根据线面平行判定定理证明//BM平面AEF；（2）根据异面直线夹角定义证明EFO为直线BM与EF所成角，解三角形求其余弦值即可.【小问1详解】取AE的中点O，连接,OFOM，的∵,OM分别为,AEAC的中点，∴//OMCE，12OMEC=，由//BFCE，且22ECFB

==，∴//OMFB，且OMFB=，∴四边形OMBF为平行四边形，故//BMOF，又BM平面AEF，OF平面AEF，∴//BM平面AEF；【小问2详解】因为//BMOF，所以EFO为直线BM与E

F所成角，RtABF中，2222215AFABFB=+=+=，直角梯形BCEF中，2,2,1,90ECBCBFCBFBCE=====o，过F作FGCE⊥，G为垂足，如图所示，则1BFCG==，2FGBC==，1GE=，22221

25EFGEFG=+=+=，AFEF=，所以AEF△为等腰三角形，则FOAE⊥，RtACE中，22222222AEACCE=+=+=，所以2AOEO==，RtAOF中，()()2222523FOAFAO=−

=−=，所以315cos55FOEFOEF===所以BM与EF所成角的余弦值为155.21.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，若π3A=，()224acb=−+．（1）求ABC的面积；（2）求a的最小

值．【答案】（1）3（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出4bc=，然后由三角形面积公式求解；（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.【小问1详解】由余弦定理，222a

bcbc=+−，结合()224acb=−+可得222()4bcbccb+−=−+，整理可得4bc=，根据三角形的面积公式，113sin43222ABCSbcA===.【小问2详解】由（1）知4bc=，根据基本不等式，22224abcb

cbcbc=+−−=≥，当2bc==时，a的最小值是2.22.已知函数()()()sin0,0,πfxAxA=+的部分图像如图示，且()5π60ff=，π06f=．（1）求函数()fx的解析式

；（2）若π0,2x，求()fx的最大值和最小值．的【答案】（1）()2sin2π23xfx+=（2）()fx的最大值为3,()fx的最小值为2−【解析】【分析】（1）根据图像得到2A=，再由()5π60ff=，得到函数()fx图

像的一条对称轴5π12x=，然后再由5πππ41264T=−=和5π212f=−求得函数的解析式.（2）根据π0,2x，求出,2π2π5π2333x+，结合正弦函数的图像性质求出最值

即可.【小问1详解】由图像可知2A=，因为()5π60ff=，所以函数()fx图像的一条对称轴为直线5π05π6212x+==，设()fx的最小正周期为T，则5πππ41264T=−=，即πT=，所以2

π2T==，又5π212f=−，所以5π2sin26+=−，即5πsin16+=−，所以5ππ2π62k+=−，Zk，即4π2π3k=−，Zk．因为π，所以2π3=，所以()2si

n2π23xfx+=．【小问2详解】π0,,,2π2π25π2333xx+,()2π32πsin21,,2sin22,3,323xfxx+−=+−当2π3π2,32x+=即25π,1x=()fx的最

小值为2−；当2π2π2,33x+=即0,x=()fx的最大值为3.23.已知()fx是定义在22−,上的奇函数，且()24f−=−，若对任意的m，2,2n−，mn，都有()()0mmffnn−−．（1）若()()210

fafa−+−，求实数a的取值范围；（2）若不等式()()23afxa−恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）a的取值范围为1,12−；（2）a的取值范围为(),19,−+.【解

析】【分析】（1）利用单调性的定义，证得()fx在22−,上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式(21)()0fafa−+−，求得a的取值范围.（2）由（1）可得函数()fx在22−,上的最大值

为4，由条件可得()234aa−，解不等式可得a的取值范围．【小问1详解】任取两个实数12,xx，满足1222xx−，由题意可得()()()()()121212120fxfxfxfxxxxx−−=−−，即()()12fxfx，()f

x在定义域[2,2]−上是增函数.因为()fx是定义在22−,上的奇函数，所以当22x−时，()()fxfx−=−，所以()()210fafa−+−，可化为()()21fafa−−−所以(21)()fafa−所以2

212aa−−，解得112a−，a的取值范围为1,12−.【小问2详解】由（1）知函数()fx在定义域[2,2]−上是增函数，所以当2x=时，函数()fx取最大值，最大值为()2f，又()fx是定义在22−,上的奇函数，所以()()22ff−=−，又()24f−=−，所

以函数()fx在定义域[2,2]−上的最大值为4，因为不等式()()23afxa−恒成立，所以()234aa−，所以0a，故不等式()234aa−可化为()234aa−，所以21090aa−+，解得9a或1a，所以a的取值范围为(),19,−+．获得更多资源请扫码

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