【文档说明】[26752051]精讲练04 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（提高）-2020-2021学年九年级数学寒假精讲练专题（沪教版）.docx，共(18)页，259.653 KB，由管理员店铺上传

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精讲练04圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（提高）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要

有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，

相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1

)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧

所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边

形：（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，

圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【精练例题

】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.（厦门校级模拟）如图，∠AOB=90°，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE=BF=CD．【思路点拨】连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出

∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数．根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论．【答案与解析】证明：连接AC，BD，∵在⊙O中，半

径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠AOC=∠BOD=30°，∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，∵C，D是的三等分点，∴AC=CD=BD，在△ACO与△DCO

中，，∴△ACO≌△DCO（SAS），∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．

∴AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD∴AE=BF=CD．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（丹阳市月考）已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是

.【答案】解：连结OA、OB，如图，∵弦AB把圆周分成1：3两部分，∴∠AOB=×360°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=4．故答案为4．类型二、圆周角定理及应用2.（南京二模）如图，OA、OB是⊙O的

半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．【答案与解析】证明：连接OC、AC，如图，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OA

C是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平

分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是.【答案】40°或140°.3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=________

___.【答案】90°.【解析】如图，连接OE，则【总结升华】把圆周角转化到圆心角.举一反三：【变式】（玄武区二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=．【答案】96°

；提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=

84°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=180°﹣84°=96°．故答案为96．4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.【答案与解析】如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B，则∠AC′B=∠C=6

0°又∵AC′是⊙O的直径，∴∠ABC′=90°即⊙O的直径为.【总结升华】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.举一反三：【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）．A．B．4C．D．5【答案】A.【精练巩固】一、选择题1.（舟山

）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°2．已知，如图,AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠

EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC，其中正确的有()个A.5B.4C.3D.22223AEDE第2题图3．（威海）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°

D．112°4．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A、2个B、3个C、4个D、

5个第4题图第5题图第6题图6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为()．A．cmB．3cmC．cmD．9cm二、填空题7．.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦

BE=3，则弦CE=________.3AB33223第7题第9题8．（青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=．9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED=°.10．如图所示，AB、CD是⊙O

的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝_

_______．（第10题图）（第11题图）12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为AN︵中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是.42CD=ACNPMOAB

（第12题图）13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为_______．三、解答题14.（禅城区一模）如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）∠BAD=∠ACB；

（2）AE=BE．15.（宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，求证：AF＝CF．236AE17.如图所

示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，

可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．故选：C．2．【答案】C．【解析】①②④正确.3.【答案】B．【解析】如图，∵AB=AC=AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB

的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，故选B．4.【答案】C．【解析】由弦AB的长是半径OA的倍

，C为中点，得∠AOC=60°，△AOC为等边三角形，所以AO=AC，进而得到OA=OB=BC=AC，故则四边形OACB是菱形.5．【答案】D．【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD

=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.6．【答案】B．【解析】∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝2∠CDB＝60°，又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠OCD＝30°，，在Rt

△OEC中，∵cm，∴cm．(cm)．∴cm，∴CD＝3cm．二、填空题7．【答案】3；8．【答案】40°；【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠

BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．3AB12CECD=3OC=32OE=2222239(3)24CEOCOE=−=−=32CE=9．【答案】30°；10．【答案】40°；【解析】∵∠AOC＝130°，∴

∠ADC＝∠ABC＝65°，又AB⊥CD，∴∠PCD＝90°－65°＝25°，∴∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°．11．【答案】；【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧的中点，所以OB⊥AC，设B

E=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得22-x2=32-（3-x）2,解得23x=，423CDBE==.或连接OA、OB，△OAB∽△BCD，，，．12．【答案】；【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC

交MN于点P，则P点就是所求作的点．（如图）此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得，弧CN的度数是30°，则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC=．13.【答案】15°或75°.43ACABCDOAB

C=232CD=43CD=【解析】方程x2-（2+2）x+4=0的解为x1=2，x2=2，不妨设：AB=2，AC=2．（1）如图，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．∵AB=2，AC=2，∴AM=，∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2，∴AN=，在Rt△NAO中，∠

NAO=30°，∴∠BAC=15°；（2）如图，∠BAC=75°．三、解答题14.【答案与解析】证明：（1）∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，又AD⊥BC，∴∠ACB+∠CAD=9

0°，∴∠BAD=∠ACB；（2）∵弧BA等于弧AF，∴∠ACB=∠ABF，236232323233∵∠BAD=∠ACB，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE．15.【答案与解析】证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；在△

ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD，∴CF=CD，∵CE⊥AD于E，∴EF=DE，∴AE=AF+EF=BD+DE．16.【答案与解析】证法一：连结BC，如图所示．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即

∠ACF+∠BCD＝90°．又∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACF＝∠B．∵点C是的中点，∴，∴∠B＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAE，∴AF＝CF．AEACCE=证法二：如图所示，连结BC，并延长CD交⊙O于点H．∵AB是直径，

CD⊥AB，∴．∴点C是的中点，∴，∴．∵∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF．17.【答案与解析】∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠90°．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，∴．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA＝∠BCD．∴，∴AD＝BD．∴在Rt△ABD中，AD2+BD

2＝AB2＝62，∴AD＝BD＝．∴．ACAH=AEACCE=AHCE=22226242BCABAC=−=−=ADDB=3211C22ABCABDADBCSSSABCADBD=+=+四边形211242(32)94222=+=+