【文档说明】高中数学人教A版 《必修第一册》全书课件5.4.2.2.pptx，共(35)页，1.742 MB，由管理员店铺上传

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第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png预学案预学案共学案共学案C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.p

ng预学案C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png一、正弦函数、余弦函数的单调性❶1．正弦函数的单调性正弦函数y＝sinx，x∈R在每一个闭区间________________

__上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间____________________上单调递减，其值从1减小到－1.2．余弦函数的单调性函数y＝cosx，x∈R在每一个闭区间_______________

__上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上单调递减，其值从1减小到－1.[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)C:\U

sers\Administrator\Desktop\图片1.png【即时练习】1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B．[π2，π]C．[0，π2]D．[π，2π]答案：C解析：由正弦曲线

知y＝sinx在[0，π2]上是增函数．故选C.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png2．函数y＝－cosx的单调递增区间是________________，单调递减区间是________________．[2kπ，2kπ＋π]，

k∈Z[2kπ－π，2kπ](k∈Z)解析：根据复合函数的单调性知，函数y＝－cosx的单调增区间对应函数y＝cosx的单调减区间，根据余弦函数的单调性知，函数y＝cosx的单调增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k

∈Z)，所以函数y＝－cosx的单调增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，单调减区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z).C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png微点拨❶(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断

)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．C:\Users\Administrator

\Desktop\图片1.png二、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值❷1．正弦函数y＝sinx，x∈R当且仅当x＝____________时取得最大值1，当且仅当x＝_____________时取得最小值－1.2．余弦函数y＝cosx，x∈R当且仅当x＝____

________时取得最大值1，当且仅当x＝_____________时取得最小值－1.π2＋2kπ(k∈Z)－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)C:\Users\Administrat

or\Desktop\图片1.png【即时练习】1．函数y＝－2cosx的最小值为()A．1B．－1C．2D．－2答案：D解析：因为y＝cosx的最大值是1，所以函数y＝－2cosx的最小值是－2.故选D.C:\Users\Administrator\Desktop\

图片1.png2．函数f(x)＝1＋2sinx的最大值为______，此时x＝____________．3π2＋2kπ(k∈Z)解析：由题f(x)＝1＋2sinx，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1＋2sinx≤3，则最大值为3，此时x＝π2＋2kπ(k∈

Z).C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png微点拨❷(1)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(2)函数y＝sinx的最大值唯一，取最大值时的x的值不唯一．(3

)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png共学案C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png【学习目标】(1)掌握y＝sinx，y＝cos

x的单调性，并能利用单调性比较大小．(2)会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的单调区间．(3)掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单函数的值域和最值．C:\User

s\Administrator\Desktop\图片1.png题型1正弦函数、余弦函数的单调性【问题探究1】(1)观察正弦函数y＝sinx，x∈[－π2，3π2]的图象，正弦函数在区间[－π2，3π2

]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？C:\Users\Administrator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png(2)观

察余弦函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图象，余弦函数在区间[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？C:\Users\Administrator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Administrato

r\Desktop\图片1.png例1求函数f(x)＝2sin(2x－π6)的单调区间．解析：因为f(x)的单调递增区间满足－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋

kπ，k∈Z，即单调递增区间是[－π6＋kπ，π3＋kπ]，k∈Z；因为f(x)的单调递减区间满足π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，即单调递减区间是[π3＋kπ，5π6＋kπ]，k∈Z.C:\Users\Administ

rator\Desktop\图片1.png一题多变将函数改为f(x)＝2sin(π6－2x)，结果如何？解析：f(x)＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x－π6)所以f(x)的单调递增区间满足π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2

＋2kπ，k∈Z，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，即单调递增区间是[π3＋kπ，5π6＋kπ]，k∈Z；因为f(x)的单调递减区间满足－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，即单调递减区间是[－π6＋kπ，π3＋kπ]，k

∈Z.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png题后师说求与正、余弦函数有关的单调区间的策略C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png跟踪训练1(1)函数

y＝3sinx+π6的一个递减区间是()A．0，π6B．π3，4π3C．π6，5π6D．π6，11π6解析：对于函数y＝3sin(x＋π6)，令2kπ＋π2≤x＋π6≤2kπ＋3π2，求得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3

，可得函数的减区间为[2kπ＋π3，2kπ＋4π3]，k∈Z，当k＝0时，可得该函数的一个减区间为[π3，4π3]，故选B.答案：BC:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png(2)求函数y＝cosx2+π3的单调区间．解析：当－π＋

2kπ≤x2+π3≤2kπ，k∈Z时，解得－8π3＋4kπ≤x≤－2π3＋4kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间是[－8π3＋4kπ，－2π3＋4kπ]，k∈Z；令2kπ≤x2+π3≤π＋2kπ，k∈Z，解得－2π3＋4kπ≤x≤4π3＋4kπ，k∈Z，故函数的

单调递减区间是−2π3+4kπ，4π3+4kπ，k∈Z.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png题型2利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列

各组数的大小：(1)sin3，sin4；(2)cos2，cos3；(3)sin6π5，cos6π5.C:\Users\Administrator\Desktop\图片2.pngC:\Users\Admi

nistrator\Desktop\图片1.png题后师说利用单调性比较三角函数值大小的步骤C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png跟踪训练2下列各式中正确的是()A．sin

3π5<sinπ5B．cos2<cos3C．cos(－17π4)>cos(－23π5)D．sin(－π18)<sin(－π10)C:\Users\Administrator\Desktop\图片3.png答案：CC:\Users\Administrator\Desktop\图片1.p

ng题型3正弦函数、余弦函数的最值(值域)【问题探究2】观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．正弦曲线：余弦曲线：C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png(1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域是什

么？(2)当x取何值时，正弦函数y＝sinx，x∈R分别取得最大值1和最小值－1?提示：(1)[－1，1](2)当且仅当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－1.C:\Users\Administrator\De

sktop\图片1.png例3(1)函数f(x)＝sin(2x＋π3)在(－π3，π3)上的值域为()A．(0，1]B．(－32，0)C．(－32，1]D．[－1，1]答案：C解析：当x∈(－π3，π3)时，2x＋π3∈(－π3，π)，当2x＋π3＝π2时，

即x＝π12时，f(x)＝sin(2x＋π3)取最大值1，当2x＋π3＝－π3，即x＝－π3时，f(x)＝sin(2x＋π3)取最小值大于－32，故值域为(－32，1].故选C.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png(2)求函数f(x)＝2cos(2

x－π6)，x∈R取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值．解析：对于函数f(x)＝2cos(2x－π6)，x∈R，当2x－π6＝2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝π12＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最大值2；当2x－π6＝π＋2kπ，k∈Z，即

x∈{x|x＝7π12＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最小值－2.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png学霸笔记：三角函数的值域(最值)问题的求解方法(1)形如y＝Asinx(或y＝Acosx)型，可利用正弦函数、余弦函

数的有界性，注意对A正、负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，

设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asinx(或y＝Acosx)型的函数求值．C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png跟踪训练3求函数f(x)＝3sin(2x＋π4)在[0，π4]上的值域．解析：令t＝2x＋π4，

由0≤x≤π4可得π4≤t≤3π4，又因为函数y＝sint在[π4，π2]单调递增，在(π2，3π4]单调递减，所以y＝sint在t＝π2时有最大值1，又sinπ4＝sin3π4＝22，所以sint∈[22，1]，所以函数f(x)在[0，

π4]上的值域为[322，3].C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png随堂练习1.设a＝sin33°，b＝sin35°，c＝cos40°，则()A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b答

案：C解析：因为函数y＝sinx在(0，π2)上单调递增，又c＝cos40°＝sin50°，且50°>35°>33°，则sin50°>sin35°>sin33°，即c>b>a.故选C.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png2．函数y＝cosx和y＝sinx都是

增函数的区间是()A．[π2，π]B．[0，π2]C．[－π2，0]D．[－π，－π2]答案：C解析：函数y＝cosx和y＝sinx在[－π，π]上的图象如图所示，则由图象可知C选项符合题意，故选C.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png

3．函数y＝1＋2sinx，x∈[－π6，π6]的值域是()A．[－1，1]B．[0，1]C．[12，32]D．[0，2]答案：D解析：∵－π6≤x≤π6，∴－12≤sinx≤12，∴0≤1＋2sinx

≤2，所以函数的值域为[0，2].故选D.C:\Users\Administrator\Desktop\图片1.png4．函数f(x)＝2cos(π4－2x)的递增区间为____________________．[－3π8＋kπ，π8＋kπ

]，k∈Z解析：因为f(x)＝2cos(π4－2x)＝2cos(2x－π4)，令－π＋2kπ≤2x－π4≤2kπ，k∈Z，解得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z，所以递增区间为[－3π8＋kπ，π8＋kπ]，k∈Z.C:\Users\Administrator\Desktop\图

片1.png课堂小结1.熟记正、余弦函数的单调区间；正、余弦函数的最值及取最值时自变量x的值．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤．3．利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小．4．求三角函数最值(值域)常用方法．