【文档说明】四川省泸县第五中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.368 MB，由小赞的店铺上传

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泸县五中2023年秋期高二开学考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设1234,

23zizi=−=−+，则12zz−在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析：()()12342357zziii−=−−−+=−,对应的点为(

)5,7−,在第四象限考点：复数运算及其相关概念2.若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则⊥；③若外一条直线l与内的一

条直线平行，则//l.以上说法中成立的有（）个.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理可依次判断得解.【详解】对①，面内有两条相交直线分别平行于面内两条直

线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；对②，根据平面与平面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直，②错误；对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.

故选：C.3.一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A.6，163，5B.5，5，5C.5，163，6D.4，5，6【答案】C【解析】【分

析】利用中位数与众数的定义得到关于x的方程，从而得解.【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得1，4，4，x，7，8，则中位数42x+=，众数为4，由题意知45424x+=，解得6x=，所以这组数据的平均数为()114467856x=+++++=，则这组数据的方差是()()(

)()()()222222211615454565758563s=−+−+−+−+−+−=，因为660%3.6=，所以这组数据的第60百分位数是6；故选：C.4.已知ABC中，5AB=，7BC=，9CA=，则CAB（）A.ππ,65B.ππ,54C.

ππ,43D.ππ,32【答案】C【解析】【分析】根据题意，由余弦定理即可得到cosCAB，从而得到其范围.详解】由题意，在三角形ABC中，由余弦定理可得，22225814957cos2

25990ABACBCCABABAC+−+−===，且257cos4290π=，157cos3290π=，所以4ππ,3CAB.【故选:C5.已知点D为ABC边BC上的中点，点E满足

13AEAD=，若ACxAByBE=+，则xy+=（）A.5B.7C.9D.11【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算，结合图形即可得解.【详解】依题意，作出图形如下，因为点D为BC上的中点，13AEAD=，所以()1

115133266BEBAAEABADABABACABAC=+=−+=−++=−+，则56ACABBE=+，故5,6xy==，则11xy+=.故选：D.6.若tan2=，则2sin2cos1+的值为（）A.23B.23−C.49D.49−【答案】A【解析】【分析

】利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】由题意可得：2222sin22sincos2tan42cos12cossin2tan243====++++.故选：A.7.已知()2cos3+=，1tantan3=−，则()cos−值为（）A.23−B.13−C.13D.2

3【答案】C【解析】的【分析】由已知条件列方程组可求出coscos和sinsin，再利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】因为()2cos3+=，1tantan3=−，所以2coscossinsi

n3sinsin1coscos3−==−，解得1coscos21sinsin6==−，所以()111coscoscossinsin263−=+=+−=，故选：C8.在ABC中，下列

命题正确的个数是（）①ABACBC−=；②0ABBCCA++=；③若()()0ABACABAC+−=，则ABC为等腰三角形；④0ACAB，则ABC为锐角三角形．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量的

运算公式，即可判断选项.【详解】①ABACCB−=，故①错误；②0ABBCCA++=.故②正确；③()()220ABACABACABAC+−=−=，则ABAC=，ABC为等腰三角形，故③正确；④若0ACAB，只能说明ABC中，角A是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断ABC为锐角三角形，

故④错误.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量()()2,1,,2abm=−=，则

下列结论正确的是（）A.若ab∥，则4m=−B.若ab⊥，则1m=C.若|2|||abab−=+，则1m=D.若aba+=，则4m=−【答案】AB【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断C，D.【详解

】对于A，因为ab∥，所以()221m=−，所以4m=−，A正确；对于B，因为ab⊥，所以()2120m+−=，所以1m=，B正确；对于C，因为|2|||abab−=+，所以()2360aab−=，所以94m=，C错误；对于D，因为aba+=，所以()220ba

b+=，所以0m=或4m=−，D错误；故选：AB.10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sinyAt=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数2()2cos23sincos1fxxxx=+−，则（）A.函数()fx图像的一个对称中心为π

,012−B.函数()fx图像的一条对称轴为直线π6x=−C.函数()fx在区间ππ,66−上单调递增D.将函数()fx图像向左平移π3个单位后的图像关于y轴对称【答案】AC【解析】【分析】化简得到()π2sin26fxx=+，根据对称中心对称轴判断A，B选项

，根据单调性判断C选项，根据平移判断D选项.【详解】2π()2cos23sincos13sin2+cos22sin2+6fxxxxxxx=+−==πππ2sin22sin0012126f+−=−==

，故A正确；对选项B：当π6x=−时，ππππ2sin22sin16666f+−=−=−=−，故()yfx=的图像不关于π6x=−对称，B错误；的πππππ,,2,66662xx−+−

，函数()fx在区间ππ,66−上单调递增，C正确；将函数()fx的图像向左平移π3个单位后得到ππ5π2sin22sin2366yxx=++=+，D错误.故选:

AC.11.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知45,2Ac==，下列说法正确的是（）A.若3,aABC=有两解B.若3,aABC=有两解C.若ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答

案】AC【解析】【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即sincAac，ABC有两解，ac或sinacA=，ABC有一解，sinacA，ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选

项，∵sincAac，∴ABC有两解，故A正确；B选项，∵ac，∴ABC有一解，故B错误；C选项，∵ABC为锐角三角形，∴coscosccAbcA，即222b，故C正确；D选项，∵ABC为钝角三角形，∴0cosbcA或c

oscbcA，即02b或22b，故D错误.故选：AC12.在正方体1111ABCDABCD−中，点P是线段1BC上一动点，则下列各选项正确的是（）A.11DPAC⊥B.1//DP平面1ABDC.三棱锥11−

ADPD的体积是定值D.直线1DP与平面11BCCB所成角随1PB长度变化先变小再变大【答案】ABC【解析】【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B选项进行判断；由等体积法可判断C；D选项需要结合线面角的相关知识点，通过转化的思想去解决.【详解】解：对于A，

连接1BD，1DC，1AC，11,BCAD，由正方体的性质可得：1111BDAC⊥，1CC⊥平面1111DCBA，11BD平面1111DCBA，所以111BDCC⊥，1111ACCCC=，111,ACCC平面11ACCA，所以11BD⊥平面11ACCA，因为1AC平面11ACC

A，所以111BDAC⊥，同理可得11ACBC⊥，1111BDBCB=，111,BDBC平面11BCD，1AC⊥平面11BCD1DPQ平面11BCD，11DPAC⊥，故A正确；对于B，连接11,,ABADBD，易证：1111////BDBDA

DBC，，因为1AD平面1ABD，1BC平面1ABD，所以1//BC平面1ABD，因为BD平面1ABD，11BD平面1ABD，所以11//BD平面1ABD，又1111111,,BDBCBBDBC=平面11BCD，故平面1//ABD平面11BCD，1DPQ平面11

BCD，1//DP平面1ABD，故B正确；对于C，设P到平面1ADD的距离为h，连接11,,PDADPA，111113ADPDPADDADDVVSh−−==，因为CD⊥平面11DDAA，所以hCD=，点P是线段1BC上一动点，又因为11//ADBC，因为1AD平面11A

ADD，1BC平面11AADD，所以1//BC平面11AADD，所以点P到平面11AADD的距离为定值，1ADD也为定值，所以三棱锥11−ADPD的体积是定值，故C正确；对于D，连接1CP，1DP⊥平面11BCCB，11DPC即为直线1DP与平面11BCCB所成角，11111tanDC

DPCCP=，当P从1B移动至C的过程中，1BP增大，1CP先变小再变大，即11tanDPC先变大再变小，故D错误；故选：ABC.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校高二年级有1000名学生

，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为________.【答案】35【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】应抽

取的理科生人数为：()501000300351000−=.故答案为：35.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的理解能力和计算能力.14.某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比

为12，则该圆台体积为______【答案】78##0.875【解析】【分析】先利用比值与锥体的体积公式求得小圆锥的体积，再利用作差法即可得到圆台的体积.【详解】依题意，设小锥体的底面半径为r，小锥体的高为h，则大锥体的底面半径为2r，大锥体的高为为2h，因为大圆锥的体积即为21π(2)213r

h=，整理得23π8rh=，所以小圆锥的体积为211π38rh=，因此该圆台体积为17188−=.故答案为：78.15.已知函数()fx满足(1)1yfx=+−为奇函数，则函数()fx的解析式可能为______________（写出一个即可）．【答案】(

)fxx=(答案不唯一)【解析】【分析】根据奇函数的定义选择函数()fx的解析式即可.【详解】取()fxx=，则(1)1(1)1yfxxx=+−=+−=符合题意．故答案为：()fxx=.16.直四棱柱1111ABCDABCD−的各个顶点都在一个球

的表面上，且2AB=，6BC=，4CDDA==，侧棱12AA=，则直四棱柱外接球的表面积是________________；【答案】124π3【解析】【分析】连接BD，由题意可得底面四边形ABCD与ABD△有相同的外接圆1O，且πBADBCD

+=，由余弦定理得228BD=，再由余弦定理求出cosBAD及sinBAD，由正弦定理可得圆1O的半径，设直四棱柱1111ABCDABCD−的外接球的球心为O，AO即为直四棱柱外接球的半径，利用勾股定理可得2AO，再由球的表面积公式计算可

得答案.【详解】连接BD，因为直四棱柱底面1111ABCDABCD−有外接球，所以底面四边形ABCD与ABD△有相同的外接圆1O，且πBADBCD+=，所以coscosBADBCD=−，由余弦定理可得22222222ABADBDBCCDBDABADBCCD

+−+−=−，即22416361644124BDBD+−+−=−，解得228BD=，所以222416281cos2442ABADBDBADABAD+−+−===−，因为0πBAD，所以3

sin2BAD=，由正弦定理可得27421sin332BDBAD==，所以圆1O的半径为2213，即12213AO=，设直四棱柱1111ABCDABCD−的外接球的球心为O，连接1OO、AO，AO即为直四棱柱外接球的半径，所以1OO⊥底面ABCD，190=OOA，可得2222

1122131133AOAOOO=+=+=，直四棱柱外接球的表面积是31124π4π33=.故答案为：124π3.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是在1OAO△中利用勾股定理求出球的半径，考查了学生的空间想象能力.四、解答题：本题共6小题，

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()1,2a=r，()3,2b=−.（1）求ab−rr；（2）求向量a与向量b的夹角的余弦值；（3）若10c=，且()2acc+⊥，求向量a与向量c夹角.【答案】（1）25；（2）6565−；（3）3,4ac=..【解

析】【分析】（1）先求出ab−的坐标，再求其模；（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由()2acc+⊥，得()20acc+=化简结合已知条件可得答案【详解】解：（1）因为()1,2a=r，()3,2b=−，所以()2,4ab−=−.所以22(2)425ab−+=−=.

（2）因为132(2)1ab=+−−=，22125a=+=r，223(2)13b=+−=，所以c16565os513abab−=−==.（3）因为()2acc+⊥，所以()20acc+=.即220acc+=.所以22cos,0acacc+=.即

2510cos,100ac+=，的所以2cos,2ac=−.因为,0,ac，所以3,4ac=.18.已知()πsin3cos3fxxx=++.（1）求()fx的值域；（2）若()35f=，

π0,2，求sin的值.【答案】（1）1,1−（2）43310−【解析】分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得；（2）先用已知角表示未知角，结合同角

三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可.【小问1详解】()1331sin3cossin3cossincossincos322226fxxxxxxxxx=++=+−=−=+，所以()fx的值域为1,

1−【小问2详解】由（1）得π3cos65+=，因为π0,2，所以ππ2π,663+，所以22ππ34sin1cos16655+=−+=−=.【所

以ππππππsinsinsincoscossin666666=+−=+−+4331433525210−=−=.19.在ABC中，内角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，且()223sinsin222CBbcbcbca+=++.（1）求角A的大小；（2）若ca，求abmc+=的取值范围.【答案】（1）π3A=（2）()1,2【解析】【分析】（1）由二倍角的正

弦公式、余弦定理化简已知式可得222bcabc+−=，进而求出cosA的值，结合()0,πA，可求出π3A=.（2）由三角恒等变换的应用可求3122tan2mC=+，由题意可求出ππ623C，由正切函数的性

质求解即可.【小问1详解】由()()221cos1coscoscossinsin=222222bCcBCBbcbCcBbc−−+++=+−2222222222abcacbbcaa+−+−++=−222bcabca++−=−=，所以()

322bcabcbca+−=++，可得：()223bcabc+−=，即222bcabc+−=，由余弦定理可得：2221cos222bcabcAbcbc+−===，又()0,πA，所以π3A=.【小问2详解】由32πsinsi

nsin23sinsinCABmCC+−+==3313cossin(1cos)12222sinsin2CCCCC+++==+23cos3cos1131222222sincos2sin2tan222

2CCCCCC=+=+=+，因为ca，所以π3C，又2π3BC+=，所以π2π33C，所以ππ63C，得3tan33C，所以3133tanC，所以()311,222tan2C+，所以()1,2abmc+=.a

bmc+=的取值范围为()1,2.20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和

理由，并求截面的面积.【答案】（1）证明见解析（2）作法和理由见解析，22【解析】【分析】（1）由,CDAEAEPD⊥⊥结合线面垂直的判定证明即可；（2）作EF//CD，得出EF//AB，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面

面积.【小问1详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD.因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AE.因为PA＝AD，E为PD的中点，所

以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.【小问2详解】解：如图，过E作EF//CD，交PC于F，连接BF，则截面为四边形ABFE.理由如下：因为AB//CD，EF//CD，所以EF//AB

，所以A，B，F，E四点共面，从而过A，B，E的截面为四边形ABFE.由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，又112EFCD==，2AE=，AB＝3，所以四边形ABFE为直角梯形，其面积1(13)2222S=+=.21.ABC的

内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为ABC的内心，记△OBC，,OACOAB的面积分别为1S，2S，3S，已知22213132SSSSS+−=，2AB=．（1）若ABC为锐角三角形，求AC的取值范围；（2）在①4sinsincos21BAA

+=；②12cos12cos0sinsinABAB−−+=；③coscos1aCcA+=中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出ABC的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】（1）

(3,23)（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据ABC的内切圆的性质可得222acbac+−=，利用正、余弦定理可得sin3sinsinABBACCC==，结合角C的取值范围即可求解；（2）选择①，根据正弦定理可得2ab=，由（1）得23440bb−+=，

方程无解即△ABC不存在．选择②，根据三角恒等变换可得24abc+==，由（1）得2242aba+−=，解得2ab==，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得2412aa+−=

，方程无解即△ABC不存在．【小问1详解】设ABC的内切圆半径为r，因为22213132SSSSS+−=，所以22211111()()()()()22222arcrarcrbr+−=，化简得：222acb

ac+−=，所以2221cos22acbBac+−==，因为()0,πB，所以π3B=，所以2π3AC+=，因为sinsinACABBC=，所以sin3sinsinABBACCC==，因为ABC为锐角三角形，所以π02C，2ππ032C−，解

得：ππ62C，所以1sin12C，所以AC的取值范围为(3,23)．【小问2详解】选择①，因为4sinsincos21BAA+=，所以24sinsin1cos22sinBAAA=−=，因为sin0A，所以s

in2sin0AB−=，所以2ab=，由（1）知222acbac+−=，2c=，所以22444bbb+−=，整理得23440bb−+=，方程无实数解，所以ABC不存在．选择②，由12cos12cos0sins

inABAB−−+=得：sinsin2(sincoscossin)0ABABAB+−+=，所以sinsin2sin()ABAB+=+，即sinsin2sinABC+=，所以24abc+==，由（1）知222acbac+−=，2c=，

所以2242aba+−=，所以224(4)2aaa+−−=，解得2ab==，所以ABC存在且唯一，ABC的面积113sin43222SacB===．选择③，因为coscos1aCcA+=，所以222222122abcbcaacbabbc+−+−+==，由（1）知222acbac+

−=，2c=，所以2412aa+−=，整理得2230aa−+=，方程无实数解，所以ABC不存在．22.已知函数()22,fxxaxxaR=−+.（1）若0a=，判断函数()yfx=的奇偶性，并加以证明；（2）若函数()fx在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数2,2a−，使得

关于x的方程()()20fxtfa−=有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）11a−；（3）918t.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进

行求解证明即可；（2）根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可；（3）根据（2）的结论，运用分类讨论法，根据函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】当0a=时，()2fxxxx=+，xR，所以()()22fxxxx

xxxfx−=−−−=−−=−，所以函数()yfx=为奇函数；【小问2详解】()()()2222,222,2xaxxafxxaxxa+−=−++，当2xa时，()yfx=的对称轴为1xa=−；当2xa时，()yfx=的对称轴为

1xa=+；所以当121aaa−+时，()yfx=在R上是增函数，即11a−时，函数()yfx=在R上是增函数；【小问3详解】方程()()20fxtfa−=的解即为方程()()2fxtfa=的解.①当11a−时，函数()yfx=在R上是增函数，关于x的方程()()2fxt

fa=不可能有三个不相等的实数根；②当1a时，即211aaa+−时，()yfx=在(),1a−+上单调递增，在()1,2aa+上单调递减，在()2,a+上单调递增，则当()()()221fatfafa+时，关于x的方程()()2fxtfa=有三个不相

等的实数根；即()2441ataa+，因为1a，所以11124taa++.设()1124haaa=++，因为存在实数2,2a−，使得关于x的方程()()2fxtfa=有三个不相等的实数根，所以()max1tha，又可证()1124haa

a=++在(1,2上单调递增，所以()max98ha=，故918t；③当1a−时，即211aaa−+，()yfx=在(),2a−上单调递增，在()2,1aa−上单调递减，在()1,a−+上单调递增，则当()()()122fatfafa+时，关于x的方程

()()2fxtfa=有三个不相等的实数根；即()2144ataa−−，因为1a−，所以11124taa−+−，设()1124gaaa=−+−，因为存在实数2,2a−，使得关于x的方程()()

2fxtfa=有三个不相等的实数根，所以()max1tga，而函数()1124gaaa=−+−在)2,1−−上单调递减，所以()max98ga=，故918t；综上：918t.获得更多资源请扫码加入享学资源

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