【文档说明】【精准解析】专题41直线、平面平行的判定与性质-（文理通用）【高考】.docx，共(39)页，2.821 MB，由小赞的店铺上传

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专题41直线、平面平行的判定与性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.基础知识融会贯通1．线面平行的判定定理和性质定

理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.重点难点突破【

题型一】直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定【典型例题】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1

交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又

AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩

B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【再练一题】如图，在四棱锥P

﹣ABCD中，其中底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD且BC＝2AD＝4，PA＝PD＝AB，E为PB的中点，O为AD的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：BO⊥PC．【解答】（1）证明：取PC中点F，连接EF，DF，∵E为

PB中点，∴EF∥BC，EF，∵，∴EF∥AD，EF＝AD，∴AEFD为平行四边形，∴AE∥DF，又AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD；（2）证明：连接OP，OC，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∵平面PAD

⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OB，在等腰梯形ABCD中，利用BC＝2AD＝4，AB，可求得OB＝OC＝2，∴OB2+OC2＝BC2，∴OB⊥OC，∴OB⊥平面POC，∴BO⊥PC．命题点2直线与平面平行的性质【典型例题】如图，在多面体A

BCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD．（1）求证：AD⊥CE；（2）求证：BF∥平面CDE．【解答】证明：（1）∵在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，D

E⊥AD．∴AD⊥DC，又DE∩DC＝D，∴AD⊥平面DCE，∵CE⊂平面DCE，∴AD⊥CE．（2）∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，∴平面ABF∥平面DCE，∵BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE．【再练一题】如图，在四棱锥

P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥AB；（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．【解答】解：（1）证

明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，又AB⊂平面ABE，平面PCD∩平面ABE＝EF，∴AB∥EF；（2）由（1）可知EF∥CD，∵E为PC中点，∴F为PD中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PAD，∴VP

﹣AEF＝VE﹣PAF．思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【题

型二】平面与平面平行的判定与性质【典型例题】已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，，M为EF的中点．（Ⅰ）求证：平面ABF∥平面DCE；（Ⅱ）求证：AM∥平面BDE；（Ⅲ）求证：AM⊥平面BDF．【解答】解：（Ⅰ）因为正方形ABC

D和矩形ACEF，所以AB∥CD，AF∥CE，……………………………又AB∩AF＝A，CD∩CE＝CAB，AF⊂平面ABF，CD，CE⊂平面DCE，所以平面ABF∥平面DCE；……………………………（Ⅱ）设AC∩BD＝O，连结OE，因为正方

形ABCD，所以O为AC中点，又矩形ACEF，M为EF的中点，所以EM∥OA，且EM＝OA，……………………………..所以OAME为平行四边形，所以AM∥OE；……………………………..又AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AM∥平面BDE；………………

……………（Ⅲ）因为正方形ABCD，所以BD⊥AC，又因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ACEF，且AM⊂平面ACEF，所以BD⊥AM；……………………………．在矩形ACEF中，O为AC中点，M为EF

的中点，，所以，所以AFMO为正方形，所以OF⊥AM，……………………………..而BD⊂平面BDF，OF⊂平面BDF，BD∩OF＝O，所以AM⊥平面BDF．………………………………【再练一题】如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，

线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM＝9，MN＝11，NB＝15，S△FMC＝78．求△END的面积．【解答】解：∵平面α∥β，又平面AND∩平面α＝MC，平面AND∩平面β＝ND，∴MC

∥ND，同理EN∥FM，又AM＝9，MN＝11，NB＝15，∴，又∠FMC＝∠END，所以，∵S△FMC＝78，∴S△END＝100．故△END的面积为：100．思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)

面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【题型三】平行关系的综合应用【典型例题

】P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；（2）求．【解答】证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q，连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM

，∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上，且PC′：PM＝PA：PN＝PB：PQ＝2：3．在△PMN中，，故C′A′∥MN，又M，N为△ABC

的边AB，BC的中点，MN∥AC，∴A′C′∥AC，∴A′C′∥平面ABC，同理A′B′∥平面ABC，∴平面ABC∥平面A′B′C′；（2）由（1）知，，，∴A′B′：AB＝1：3．∴（A′B′）2：（AB）2＝1：9．【再练一题】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D

1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．（1）求证：EF∥平面BDD1B1；（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）连结BM，∵BE＝EC，CF＝FM，∴EF∥BM

，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．解：（2）棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1．理由如下：∵平面GEF∩平面ABCD＝EG，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，∴EG∥BD，又∵E是

BC中点，∴G是DC中点，∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1，且1．思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．基础知识训练1．【东北三省四市201

9届高三第一次模拟】已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出∥的是（）A．,,mnmn∥B．,,mnmn⊥⊥C．,,mnmn⊥D．,,mnmn⊥⊥⊥【答案】B【解析】当//mn时，若m⊥，可得n⊥又n⊥，可知//本题

正确选项：B2．【北京市中国人民大学附属中学2019届高考信息卷(一)】如图，在下列三个正方体1111ABCDABCD−中，,,EFG均为所在棱的中点，过,,EFG作正方体的截面．在各正方体中，直线1BD与平面EFG的位置关系描述正确的是

A．1BD∥平面EFG的有且只有①；1BD⊥平面EFG的有且只有②③B．1BD∥平面EFG的有且只有②；1BD⊥平面EFG的有且只有①C．.1BD∥平面EFG的有且只有①；1BD⊥平面EFG的有且只有②D．1BD∥平面EFG的有且只有②；1BD⊥平面EFG的有且只有③【答案】A【解析】①连结BD

，因为,,EFG均为所在棱的中点，所以BDGF，BDEF，从而可得BD平面EFG，1DD平面EFG；根据1BDDDD=，可得平面1BDD平面EFG；所以1BD平面EFG；②设正方体棱长为1，因为,,EFG均为所在棱的中点，所以()()()111111111B12cos4522co

s600222BDGEDDDBDADDDADDA=−=−=−=，即1BDEG⊥；又()()()111111111B12cos4522cos600222BDEFDDDBDCDDDCDDC=−=−=−=，即1BDEF⊥；又E

GEFE=，所以1BD⊥平面EFG；③设正方体棱长为1，因为,,EFG均为所在棱的中点，所以()()()21111111111212A2121022222222BDEGDDDBDGDEDDDBDCDDDDD

DBDCDBDA=−−=−+−=−+=−+=，即1BDEG⊥；又()()()21111111111212A12121022222222BDEFDDDBAFAEDDDBDDDCDDDDBD

CDBDA=−−=−++=−−=−−=，即1BDEF⊥；又EGEFE=，所以1BD⊥平面EFG；故选A3．【青海省西宁市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直

线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行【答案】B【解析】∵MC1⊂平面DD1C1C，平面AA1B1B∥平面DD1C1C，∴MC1∥平面AA1B1B．故选：B．4．【湖南省长沙市雅礼中学

2019届高三上学期月考二】已知直线m，n和平面满足m⊥n，m⊥，则A．n⊥B．n∥C．n∥或nD．n∥或n【答案】D【解析】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C所以选D5．【四川省高2019届高

三第一次诊断性测试】已知直线和平面，若，则过点且平行于的直线（）A．只有一条，不在平面内B．只有一条，且在平面内C．有无数条，一定在平面内D．有无数条，不一定在平面内【答案】B【解析】假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，

则m∥l且n∥l由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点且平行于的直线只有一条，又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选：B6．【湖南省株洲市2019届高三第二次教学质

量检测（二模)】如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,E为棱1CC的中点，F为棱1AA上的点，且满足1:1:2AFFA=，点FBEGH、、、、为过BEF、、三点的面BMN与正方体1111ABCDABCD−的棱的交点，则下列说法错误的是（）A．//HFBEB．三棱锥

的体积14BBMNV−=C．直线MN与面11ABBA的夹角是45D．11:1:3DGGC=【答案】C【解析】解：A项:因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；B项：111:1:2:1:2,1.AFFAMAABMA==

=，同理，112,4CNBCBN===11111112344332BBMNNBMBBMBVVSBN−−====,B正确；C项：111ABBANB⊥面，所以1NMB即为所求线面角，114tan=134NMBNMB，，C错；D项：111

11113,322CGNCMBCGMBNB====，,112DG=，11:1:3DGGC=，D对。故选C.7．【安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高二上学期期中考试】α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面内两条直线，且//m，//n

B．内不共线的三点到的距离相等C．，都垂直于平面D．m，n是两条异面直线，m，n，且//m，//n【答案】D【解析】由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错

误．对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误．对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误

．对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．故选：D．8．【山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测】如图，在下列四个正方体中，为所在棱的中点，则在

这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,如图：C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,如图：D中，作截面

可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,如图：9．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一)】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A．A1O∥DCB．A1O⊥BCC．A1O∥平面BCDD．A1O⊥平面ABD【答案】

C【解析】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B

1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错

误，故选：C．10．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷】若,ab是不同的直线，,是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若,,abab⊥‖‖，则⊥B．若,,abab‖‖‖，则‖C．若,,abab⊥⊥‖，则‖D．若,,abab⊥⊥‖，则‖【答

案】C【解析】A中，若,,abab⊥‖‖，平面,可能垂直也可能平行或斜交，不正确；B中，若,,abab‖‖‖，平面,可能平行也可能相交，不正确；C中，若,ab⊥⊥，则,ab分别是平面,的法线，ab‖必有‖，正确；D中，若,,abab⊥⊥‖，平面,

可能平行也可能相交，不正确.故选C.11．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都与平面γ垂直B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【答案】D【解析】对于D，设过

l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′，因为l∥α，所以l′∥l.又因为l∥β，l′⊄β，所以l′∥β.设过m和α内的一点的平面与α的交线为m′，同理可证m′∥β.因为m与l是异面直线，所以m′与l′相交，所以α∥β.12．如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分

别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．

在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．13．【上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期

中考试】设,ab是平面M外两条直线，且//aM，那么//ab是//bM的________条件.【答案】充分不必要【解析】证明充分性：若ab∥，结合aM，且b在平面M外，可得bM，是充分条件；证明必要性：若bM，结合aM，且,ab是平面M外，则,ab可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要

条件.故填“充分不必要”14．【上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知直线,ab及平面a，下列命题中：①//abab⊥⊥；②//abab⊥⊥；③//////aba

b；④//abab⊥⊥.所有正确命题的序号为________.【答案】④【解析】①abb⊥⊥直线a与平面可能平行，也可能在面内，所以错误②//abb⊥直线a与平面可能垂直，也可能平行，所以错误.③////abb直线a与平面可能平行，也可能在面内

，所以错误.④//abb⊥可以得到直线a与平面垂直，所以正确.15．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)】下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中,lm为直线，,为平面），则此条件是__________.①

____lmml；②____mlml；③____lmm⊥⊥l【答案】l【解析】①//lm，////ml或l，由//ll；②l，m，////lml；③l

m⊥，//ml⊥或l，由//ll．故答案为：l．16．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在四面体ABCD中，3,34ABCDADBDACBC======，，用平行于

,ABCD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则该四边形EFGH面积的最大值为______【答案】94【解析】因为直线AB//平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG,所以HG//AB，同理//EFAB，//,//GFCDEHCD，所以四边形EFGH为平行四边形又34ADBDAC

BC====，，可证明ABCD⊥所以四边形EFGH为矩形.设:::,(01)BFBDBGBCFGCDxx===，3,3(1)FGxHGx==−2119(1)9[()]24EFGHSFGHGxxx==−=−−+，当12x=时，有最大值94.故填94.17．【四

川省成都市新都一中等2018-2019学年高二（下)期末联考】如图，圆柱的轴截面是11ABBA，D为下底面的圆心，1CC是母线，12ACBCCC===.（1）证明：1//AC平面1BCD；（2）求三棱锥11ACDB−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）43.【解析】（1）如图，连接1BC交1B

C于点O，连接OD.四边形11BCCB是矩形，O是1BC的中点.点D为AB的中点，1//ODAC.又OD平面1BCD，1AC平面1BCD，1//AC平面1BCD.（2）ACBC=，ADBD=，CDAB⊥.在三棱柱111ABCABC−中，

由1AA⊥平面ABC，得平面11ABBA⊥平面ABC.又平面11ABBA平面ABCAB=，CD\^平面11ABBA，点C到平面11ADB的距离为CD，且sin24CDAC==.11111113ACDBCADBADBVVSCD−

−==111111422223263ABAACD===.18．【天津市部分区2019届高三联考一模】如图，四棱锥PABCD−中，PACD⊥，//ADBC，90ADCPAD==，112BCCDAD===，22PA=，M为PD的中点.（

1）求证：PAAB⊥；（2）求证：//CM平面PAB；（3）求直线CM与平面PAD所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6.【解析】（1）90PAD=，PAAD⊥.又,PACDCDADD⊥=，PAABCD⊥平面.又ABABCD平面，PAAB⊥.（2）取P

A中点N，连接,MNBN.,MN分别是,PAPD的中点，//MNAD且12MNAD=，又//BCAD且12BCAD=，//MNBC且MNBC=，四边形MNBC是平行四边形，//CMBN，又CMPA

BBNPAB平面，平面，//CMPAB平面.（3）以A为原点，以BA的延长线，,ABAP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则()()()()0,0,22,0,2,0,1,0,0,0,1,2PDCM−，()()1,1,2,1,0,0CMCD

==，,,CDPACDADPAADA⊥⊥=，CD\^平面PAD.CD是面PAD的法向量，1001021cos,21112CDCMCDCMCDCM++===++,设直线CM与平面PAD所成的角为，则1sin,26==，直线CM与平面PAD所成的角为6

.19．【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，点P在底面的射影为点O，PO＝3，点E为线段PD中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）若点F为侧棱P

A上的一点，当PA⊥平面BDF时，试确定点F的位置，并求出此时几何体F﹣BDC的体积．【答案】（1）见解析（2）F为AP的四等分点（靠近A），几何体F﹣BDC的体积为34【解析】解：（1）证明：连接OE，∵O，E为BD，PD的中点，∴PB∥OE，又PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PB∥平面

AEC；（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PA，作BF⊥PA交PA于F，连接DF，则PA⊥平面BDF，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，边长为2，可求得

AO3=，在Rt△POA中，求得PA23=，连接OF，易知PA⊥OF，利用等面积法可得OF32=，在Rt△AFO中，求得AF32=，即F为AP的四等分点（靠近A），∴VF﹣BDC12FABCDV−=1124PABCDV−=1183ABCDSPO=123324=34=．故几何体F﹣BDC

的体积为34．20．【浙江省嘉兴市2018-2019学年高二下学期期末】如图几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，//ECPD，且22PDADEC===.（1）求证：//BE平面PDA；（2）求PA与平面PBD所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）

四边形ABCD为正方形//BCAD又AD平面PDA//BC平面PDA又//ECPD，PD平面PDA//EC平面PDA,ECBC平面BEC，ECBCC=平面//BEC平面PDABE平面BEC//BE

平面PDA（2）连接AC交BD于点O，连接POPD⊥平面ABCD，AO平面ABCDAOPD⊥又四边形ABCD为正方形AOBD⊥,BDPD平面PBD，BDPDD=AO⊥平面PBDAPO即为PA与平面PBD所成角2PDAD==且PDAD⊥22PA=又22112222

2AOAC==+=1sin2AOAPOPA==6APO=即PA与平面PBD所成角为：621．【湖北省天门市、仙桃市、潜江市2018-2019学年高一下学期期末考试】如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD−中，过点A的三条棱PA、AB、AD两两

垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点

又F是PB的中点，∴EF//PD，∵EF不在平面PCD内，∴EF//平面PCD。（Ⅱ）连接PE，∵ABCD是正方形，∴BDAC⊥又PA⊥平面ABC，∴PABD⊥。∴BD⊥平面PAC，故EPD是PD与平面PAC所成的角，∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于EPD∵PA=AB

=AD，90PADBAD==，∴RtPADV≌RtBADV，因此PD=BD在RtPEDV中，1sin2EDEPDPD==，30EPD=∴EF与平面PAC所成角的大小是30°。22．【北京市昌平区2018-2019学

年高一年级第二学期期末】如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，12BCCDAD==.（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；

（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.【解析】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以CD⊥PA.因为CD⊥AD，PAADA=，所以CD⊥平面PAD.因为PD平面PAD，所以CD⊥PD.(II)因为PA⊥平面ABCD，B

D平面ABCD，所以BD⊥PA.在直角梯形ABCD中，12BCCDAD==，由题意可得2ABBDBC==，所以222ADABBD=+，所以BDAB⊥.因为PAABA=，所以BD⊥平面PAB.（Ⅲ）解：在棱PD上

存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.证明：取PA的中点N，连接MN，BN，因为M是PD的中点，所以12MNAD.因为12BCAD，所以MNBC.所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN.因为CM平面PAB,BN平面PAB.所以//

CM平面PAB.能力提升训练1．【2018年11月浙江省学考】下列命题中为假命题的是A．垂直于同一直线的两个平面平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两条直线平行D．平行于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行

，故A正确；由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D错误．故选：D．2．

【贵州省高三11月37校联考】如图，已知正方体的棱长为1，点上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是（）A．平面平面B．平面C．当的中点时，的周长取得最小值D．三棱锥的体积不是定值【答案】D【解析】平面是始终成立的，故选项A正确

；平面，所以选项B正确；平面展开到平面在同一个平面，则当的中点时，最小，故选项C正确；，故选项D不正确.故选D3．【吉林省公主岭市2018-2019学年高二上学期期末】下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①平面；②平面；③平面平面．以上结论

中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示：根据正方体的性质可得，根据线面平行的判定定理，可得平面，所以①正确；同理可得平面，故②正确；因为，所以平面，故③正确，所以三个都正确，故选C.4．【黑龙江省大庆

实验中学2017-2018学年高一6月月考】如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则下列判断中正确的是（）①平面1PBD⊥平面1ACD；②1AP平面1ACD；③异面直线1AP

与1AD所成角的取值范围是0,3；④三棱锥1DAPC−的体积不变.A．①②B．①②④C．③④D．①④【答案】C【解析】对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥

平面ACD1，正确．②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥平面ACD1，正确．③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值3，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值2

，故A1P与AD1所成角的范围是32，，错误；④1ADPCV−=1ACDPV−，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；正确的命题为①②④．故选：B．5．【贵

州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考】如图，已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是A．HF//BEB．C．∠MBN的余弦

值为D．△MBN的面积是【答案】C【解析】因为面，且面与面的交线为,面与面的交线为，所以正确；，且，在中，正确；在中，为棱的中点，为棱上的中点，，在中，，在中，错误；，，正确，故选C.6．【江苏省启东中学2018

-2019学年高一下学期期中考试】平面平面，直线a，b，那么直线a与直线b的位置关系一定是（）A．平行B．异面C．垂直D．不相交【答案】D【解析】由题平面平面，直线a，b则直线a与直线b的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.故选D.7．

【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图1所示，在矩形ABCD中，2,4ABAD==，E为CD的中点，沿AE将AED折起，如图2所示，OHM、、分别为AEBDAB、、的中点，且2DM=．（1）求证：//OH平面DEC；（2）求证：平面A

DE⊥平面ABCE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：取BC中点Q，连接OQ（如图），易证//OQ平面DEC//HQ平面DEC，OQ，HQ平面OHQ，OQHQQ=平面//DEC平面OHQ，OH平面OHQ，//OH平面DEC（2）证明：连接OD，OM

，DADE=，O为AE中点DOAE⊥，222DOOMDM+=，DOOM⊥AE，OM平面ABCE，AEOMO=，OD⊥平面ABCEOD平面ADE平面ADE⊥平面ABCE8．【2019年河北省藁城市第一中学高一

下学期7月月考】在四棱锥PABCD−中，,ABADCDAB⊥∕∕，PD⊥底面ABCD，2ABAD=，直线PA与底面ABCD所成的角为60，MN、分别是PAPB、的中点．（1）求证：直线MN∕∕平面PDC；（2）若90CND=，求证：直线DN⊥平面PBC；（3）若2

AB=，求棱锥BPAC−的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）233.【解析】（1）证明：连接,,MNMDNC，∵MN、是PAPB、中点，∴MNAB∕∕，从而MNCD∕∕．∵MN在平面PDC

外，CD在平面PDC内，∴直线MN∕∕平面PDC；（2）证明：∵,2ABADABAD⊥=，∴3BDAD=．∵PD⊥底面ABCD，直线PA与底面ABCD成60角，∴3PDAD=．∴PDBD=．∵N是PB的中点，∴DNPB⊥．∵

90CND=，∴DNCN⊥．∵PBCN、相交于一点N，∴直线DN⊥平面PBC；（3）111233323BPACPABCABCVVSPDABADPD−−====．9．【江西省宜春市上高二中2018-2019学年高二下

学期第二次月考】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）453【解析】（Ⅰ）取BC中

点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，∴BE＝12BC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN

⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB.（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF＝12PA＝2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，∵AM//

CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h＝5，∴S△BCM＝12×BC×h＝12×4×5＝25，∴四面体N-BCM的体积VN-BCM＝1145252333BCMSNF==.10

．【安徽省皖南八校2018-2019学年高二下学期】如图，在三棱柱111ABCABC−中，已知EF，分别是11ACBC，的中点（1）求证：1CF∥平面ABE；（2）若1AA⊥平面12ABCABBCAA

ABBC⊥===，，，求三棱锥1CABE−的体积.【答案】（1）见解析（2）23【解析】（1取AB中点G,连接,GFEG，1,,2GFACGFAC=11111,,,,2ECACECACECGFECGF=\=故四边形1GFCE为平行四边形，故1CFGE，又1CFË平面AB

E，GEÌ平面ABE，所以1CF∥平面ABE（2）由题22AC=，1111112=222=3323BAECAECCABEVVSh--==创创获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com