【文档说明】专题3.2 基本不等式（a，b≥0）（专项训练）（解析版）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读·专题训练》（苏教版2019必修第一册）.docx，共(13)页，706.422 KB，由管理员店铺上传

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专题3.2基本不等式2baab+（a，b≥0）（专项训练）1．已知,xy都是正数，且2xy+=，则4121xy+++的最小值为（）A．1315B．2C．95D．3【答案】C【解析】由题意知，20,10xy++，()()215xy++

+=，则4121xy+=++()()14121152xyxy++++++()()414112125+52215215yyxxxyxy++++=++++++95=，当且仅当21,33xy

==时，4121xy+++取最小值95.故选：C．2．已知0ab，1ab+=，则11ab+的最小值为（）A．0.5B．1C．2D．4【答案】D【解析】因为0ab，1ab+=，所以112ababbaababab+++=+=++2

24baab+=（当且仅当baab=，即12ab==时取等号），即11ab+的最小值为4.故选：D.3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数,xy满足21xy+=，则xy的最大值为（）A．12B．14C

．18D．116【答案】C【解析】由基本不等式可得222xyxy+，即221xy，基础过关解得18xy，当且仅当2xy=，即14x=，12y=时，取等号，故选：C.4．已知0x，0y，21xy+=，则11xy+的最小值为（）A．322+B．12C．843+D．

6【答案】A【解析】因为0x，0y，21xy+=，所以()11223322yxxyxyxy++=+++，当且仅当2yxxy=，即2221,2xy−=−=时，等号成立.故选：A.5．已知,,xyz都是正实数，若1xyz=，则()()()xyyzzx+++的最小值为（）A．2B．4

C．6D．8【答案】D【解析】由0,0,0xyz可知20xyxy+（当且仅当xy=时等号成立）20yzyz+（当且仅当yz=时等号成立）20xzxz+（当且仅当xz=时等号成立）以上三个不等式两

边同时相乘，可得()()()22288xyzxyyzzx++=+（当且仅当1xyz===时等号成立）故选：D6．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知1ab+=，若0a且0b，则ab的最大值为___________.【答案】14【解析】因为0a且0b，12abab+=

，当且仅当1ab==时取等号，所以14ab，所以ab的最大值为14.故答案为：14.7．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知x，0y，且满足2xy+=，则xyxy++的最大值为__________.【答案】3【解析】因为x，0y，且满足2xy+=，则22()232xyxyxyx

y+++=++=„当且仅当1xy==时取等号，所以xyxy++的最大值为3.故答案为：38．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）已知2x，则42xx+−的最小值是______．【答案】6【解析】2x，则

444(2)22(2)26222xxxxxx+=+−+−+=−−−，当且仅当422xx=−−，即4x=时取“=”，所以42xx+−的最小值是6.故答案为：69．已知2x，当12xx+−取到最小值时，x的值为__________.【答案】3【解析】解：因为2,20xx

−.由题得11222(2)()2422xxxx−++−+=−−.当且仅当3x=时等号成立.故答案为：310．已知0x，0y且1xy+=，若11pxyxy=+++，求p的最小值．【答案】5【解析】由0x，0y且1xy+=得113325xyxyyxpxy

xyxyxyxy++=+++=+++=+++=，当且仅当12xy==时，等号成立，所以p的最小值为5．1．若a、b是两正实数，341ba+=，则ab+的最小值是（）A．43B．83C．743+D．738

+【答案】C【解析】因为a、b是两正实数，341ba+=，则()434343727743babaababababab+=++=+++=+，当且仅当32ab=时，等号成立，故ab+的最小值为743+.故选：C.2．已知1x，则41xx+−的最小值是(

)A．5B．4C．8D．6【答案】A【解析】∵1x，∴10x−，∴()()444112115111xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当411xx−=−，即3x=时等号成立，∴41xx+−的最小值是5．故选：A．3．（2022·河南新乡·

高一期中）已知0a，0b，且3ab+=，则“111mab++”是“2m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由题意得()14ab++=，所以()11111111214141baabababab++=+

++=+++++能力提升1221411baab++=+（当且仅当11baab+=+，即1a=，2b=时，等号成立），所以1m£.由1m£推得出2m，由2m推不出1m£，故“111mab++”是“2

m”的充分不必要条件.故选：A4．（2022·陕西安康·高一期中）若0a，0b，2ab+=，则下列不等式恒成立的是（）A．2abB．2ab+C．213ab+D．222ab+【答案】D【解析】对于选项A：∵212abab+

=，当且仅当ab=时取等号，∴A错误；对于选项B：122abab++=，2ab+，∴B错误；对于选项C：()21121123223222baabababab++=++=++，因为32232+∴C错误；对于选项D：∵2222abab+

+，当且仅当ab=时取等号，∴222ab+，D正确；故选：D5．（2022·浙江浙江·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：A

B是半圆O的直径，点D在半圆周上，CDAB⊥于点C，设ADa=，BDb=，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（）A．222abab+B．2222abab++C．2ababab+（0a，0b

）D．2abab+（0a，0b）【答案】A【解析】易得ODCD，又2222ABabOD+==，又1122ADBDABCD=，故22ADBDabCDABab==+，故22222ababab++，化简得222abab+故选：A6．若“()0,x+

，不等式1axx+恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】(),2−【解析】由基本不等式可知()0,x+，1122xxxx+=（当且仅当x＝1时取“＝”），因为“()0,x+，不等式1axx+恒成立”，故2

a,故答案为：(),2−7．已知x，*yR，若8xyxy++=，则xy的最大值为_________【答案】4【解析】正数x，y满足8xyxy++=，82xyxyxy−=+，即280xyxy+−，解得02xy，故4xy

，当且仅当2xy==时取等号．xy的最大值为4，故答案为：48．若关于x的不等式240xax−+恒成立，则a的取值范围是________．【答案】(,4−【解析】当0x=时，2440xax−+=，不等式成立；当0x时

，根据240xax−+恒成立，则等价于4axx+恒成立，44xx+，当且仅当2x=时等号成立；只需4a即可．故答案为：(4−，9．若0a，0b，求证：221122abab++．【答案

】证明见解析【解析】因为0a，0b，所以2222121112ababab+匙=，当且仅当2211ab=，即ab=时，等号成立．又222abab+，当且仅当22abab=时等号成立，所以22112222abababab+++，当且仅当22ababab=

=，即2ab==时取等号．10．（1）证明：若cb，ba，则ca．（2）利用基本不等式证明：已知,,abc都是正数，求证：()()()8abbccaabc+++【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明：因为cb，ba，所以0cb−，0ba−，所以()()

0bbac−+−，即0ca−，所以ca，得证；（2）因为,,abc都是正数，所以20abab+（当且仅当ab=时取等号）；20bcbc+（当且仅当bc=时取等号）；20caca+（当且仅当ca=时取等号）；所以()()()2228abbccaabbccaabc+++=（当且

仅当abc==时取等号），即()()()8abbccaabc+++．1．若0x，则124xx+−有（）A．最小值1−B．最小值3−C．最大值1−D．最大值3−【答案】D【解析】因为0x，所以11122223444xxxxxx+−=−−

+−−−−=−−−，当且仅当14xx−=−，即12x=−时等号成立，故124xx+−有最大值3−．故选：D.2．已知1x，则41xx+−的最小值为（）A．6B．4C．5D．9【答案】C【解析】解：44(1)1241511xxxx+=−+++=

−−．当且仅当411xx−=−，即x＝3时，“＝”成立．故选:C．3．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个正实数,xy满足12+1=xy，且不等式2+32+yxmm有解，则实数m的取值范围是（）A．(4,1)−B．(1,4)−C．()(),41,−−+UD．()(),14,−−

+【答案】C【解析】由题意，正实数,xy满足12+1=xy，则1222()()22242222yyyxyxxxxyxyxy+=++=+++=，当且仅当22yxxy=时，即2,4xy==时，等号成立，即2

yx+的最小值为4，又由不等式2+32+yxmm有解，可得2+34mm，即2+340mm−，解得4m−或1m，即实数m的取值范围为()(),41,−−+U.故选：C.培优拔尖4．若正实数a，b满足1ab+

=，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值14B．+ab有最大值2C．11ab+有最小值4D．22ab+有最小值22【答案】ABC【解析】解：因为正实数a，b满足1ab+=，所以12abab=+，当且仅当12ab==时取等号，所以14ab，故ab

有最大值14，故A正确；()212121224abababab+=++=++=，当且仅当12ab==时取等号，故2ab+，即+ab有最大值2，故B正确；1114abababab++==，当且仅当12ab==时取等号，故11ab+有最小值4，故C正确；()22212122abababab+=+

−=−，当且仅当12ab==时取等号，所以22ab+有最小值12，故D错误．故选：ABC．5．（2022·云南师大附中高一期中）下列结论正确的是（）A．若0a，0b，则22abab+B．函数1yxx=+的最小值为2C．若2[]0，x

，则24yxx=−的最大值为2D．若0a，0b，且1ab+=，则11abab++的最小值为4【答案】AC【解析】对于A，因为0a，0b，所以2abab+，所以22abab+，当且仅当ab=时取等号，所以A正确，对于B，若1x=−，则1

22yxx=+=−，所以B错误，对于C，由2[]0，x，得2[0,4]x，令2tx=，则22224(4)(4)(2)4yxxxxttt=−=−=−=−−+，因为[0,4]t，所以02y，所以24yxx=−的最大值为2，所以C正确，对于D，因为0a，0b，且

1ab+=，所以111baabababaabb++=+++22221abbaab+++=222()21abababab++−+=2222ababab−+=22abab=+−，因为12abab=+，所以12ab≤，当且仅当ab=时取等号，所以104ab，所以

由对勾函数的性质可得212528244abab+−+−=，当且仅当ab=时取等号，所以11abab++的最小值为254，所以D错误，故选：AC6．已知正实数a、b满足131ab+=，则()()12ab++的最小值是___________.【答案】13230+【

解析】因为正实数a、b满足131ab+=，则03bab=−，由0b可得3b，所以，()()()()()()32312122222333bbabbbbbbb+++=++=++=++−−−()()()()335151522231

32231313230333bbbbbbb−+=++=−++−+=+−−−.当且仅当6302b+=时，等号成立.因此，()()12ab++的最小值是13230+.故答案为：13230+.7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若两个正实数x，y满足41

1xy+=，且不等式246xymm+−恒成立，则实数m的取值范围是__________．【答案】2,8−【解析】根据题意先求4xy+得最小值，由0,0xy，得414(4)()xyxyxy+=++161644828816

yyxxxyxy=++++=+=，所以若要不等式246xymm+−恒成立，只要2166mm−，即26160mm−−，解得28−m，所以2,8m−.故答案为：2,8−8．设0x，0y：（1）18xy+=，则xy的最大值为______．（2）4

1xy+=，则11xy+的最小值为______．【答案】81；9.【解析】解：（1）182,81xyxyxy+=，当且仅当9xy==时等号成立.所以xy的最大值为81.（2）44()(4)55912111xyxyxyxxyxxyyy+=++=+++=.

当且仅当11,36xy==时等号成立.所以函数的最小值为9.故答案为：81；9.9．（2022·四川成都·高一期末）已知25xy+=.(1)若x､()0,y+，求mxy=的最大值；(2)若x､5,2y−，求22nxy=+的取值范围.【答案】(1)258；(2)25[5,]4n

.【分析】(1)由x､()0,y+，则2522xyxy+=，故258mxy=，当且仅当522xy==时等号成立，即mxy=的最大值为258.(2)由52[5,2]xy=−−，则3[,5]2y，

又5,2y−，所以3[,2]2y，由2222520255(2)5nxyyyy=+=−+=−+，所以25[5,]4n.10．已知x、y、z都是正数．(1)求证：0xyyzzxyzzxxy−−−++；(2)若()22211

22xymmyxxy+−−+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)13m−【分析】(1)证明：要证0xyyzzxyzzxxy−−−++，左右两边同乘以xyz可知即证2220xxyyyzzxz−+−+−，

即证222xyzxyyzxz++++．因为x、y、z都是正数，由基本不等式可知222xyxy+，222yzyz+，222xzxz+，当且仅当xyz==时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得222xyzxyyzxz++++．所以，原不等式得证．(2)解：()()3

3222222112222xyxyxxyymmmmyxxyxyxyxy+−++−−+−−=+，因为221211xxyyxyxyxyyxyx−+=+−−=，当且仅当xy=时等号成立，所以，2221mm−−，即2230mm−−

，解得13m−≤≤，故实数m的取值范围为13m−≤≤．