【文档说明】【精准解析】2021届高考数学北师大版单元检测四　三角函数、解三角形（提升卷）【高考】.docx，共(12)页，82.532 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

单元检测四三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．

本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·许昌期末)下列说法正确的是()A．小于90°的角是锐角B．钝角

是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角D．若角α与角β的终边相同，则α＝kπ＋β，k∈Z2．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45，则sin(π－α)等于()A．－4

5B.45C．－35D.353．已知sinπ3－α＝13，则sinπ6－2α等于()A.79B．－79C．±79D．－294．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，

β都是非零实数，若f(2017)＝－1，则f(2020)等于()A．1B．2C．0D．－15．(2020·阜阳模拟)若曲线y＝sin(4x＋φ)(0<φ<2π)关于点π12，0对称，则φ等于()A.2π3或5π3B.π3或4π3C.5π6或11π6D.π6或7π66．(201

9·安徽省皖南八校联考)下列函数中，以π2为周期且在区间π2，3π4上递减的是()A．f(x)＝cos|2x|B．f(x)＝sin|2x|C．f(x)＝2|sinxcosx|D．f(x)＝|2sin2x－1|7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1

＋tanAtanB＝2cb，则角A的大小为()A.π6B.π4C.π3D.2π38．设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则()A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b9．已知

函数f(x)＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的周期为π，当x∈0，π2时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1＋x2)等于()A．2B．1C．－1D．－210．已知

外接圆半径为6的△ABC的三边为a，b，c，sinB＋sinC＝43，△ABC面积为S，且S＝b2＋c2－a2，则面积S的最大值为()A.81717B.161717C.1281717D.64171711．(2019·安徽省江淮六校联考)将函数f(x)＝cosωx

2·2sinωx2－23cosωx2＋3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)在0，π4上为增函数，则ω的最大值为()A．1B．2C．3D．412．(2020·咸阳期末)已知函数f(x)＝3sin

(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的图像过点0，－32，且f(x)在3π17，7π17上单调，f(x)的图像向左平移π2个单位长度后得到的图像与原图像重合，若存在两个不相等的实数x1，x2∈π24，7π2

4，满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于()A．－32B．－32C.32D.32第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2019·天水市一中期末)函数y＝si

n2x＋2cos2x－sinx－3的最大值是________．14．(2019·扶余市第一中学期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＋b2＝2019c2，则tanAtanBtanC(tanA＋tanB)的值为________．15．若

函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2，x∈R，两相邻的对称轴的距离为π2，fπ6为最大值，则函数f(x)在区间[0，π]上的递增区间为______________________．16．(2019·驻马店市期末)在△

ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝π3，a＝7，现有以下判断：①△ABC的外接圆面积是49π3；②bcosC＋ccosB＝7；③b＋c可能等于16；④作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是73.请将所有正确的判断序号填在横线上________．三、解答题(本题共4小

题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2020·洛阳市开学考试)在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1,2)．(1)求cos2α＋sin2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈0，π

2，求角β的值．18.(12分)(2020·芜湖市第一中学质检)已知函数f(x)＝3sinx＋π2＋cos2x－1.(1)求函数f(x)的值域；(2)求f(x)在[0,2π]上的所有零点．19.(13分

)(2020·江西省奉新县第一中学质检)如图，四边形ABCD中∠BAC＝π2，∠ABC＝π6，AD⊥CD，设∠ACD＝θ.(1)若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB＝π6，求tanθ.20.(13

分)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)确定函数f(x)在[0，π]上的单调性；(3)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若fA2＝32，b＋c＝7，△ABC的面积为23，求边a的长．答案

精析1．B[对于B，钝角是大于90°而小于180°的角，是第二象限的角，故正确；其余均错误．]2．A[角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45，则sin(π－α)＝s

inα＝－45.]3．B[∵sinπ3－α＝cosπ2－π3－α＝cosπ6＋α＝13，∴sinπ6－2α＝cosπ2－π6－2α＝cos2

π6＋α＝2cos2π6＋α－1＝2×19－1＝－79.]4．A[由题知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝

－asinα－bcosβ＝－1，则asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故选A.]5．A[因为曲线y＝sin(4x＋φ)(0<φ<2π)关于点π12，0对称，所以4×π12＋φ

＝kπ(k∈Z)，又0<φ<2π，所以k＝1时，φ＝2π3，k＝2时，φ＝5π3.]6．D[A项，f(x)＝cos|2x|＝cos2x，周期为π，排除；B项，f(x)＝sin|2x|，不具有周期性，排除；C项，f(x)＝2|sinxcosx|＝|sin2x|，周期为π2，在区间π2，3π4

上递增，排除；D项，f(x)＝|2sin2x－1|＝|cos2x|，周期为π2，在区间π2，3π4上递减．故选D.]7．C[由题意及正弦定理可得，1＋tanAtanB＝2sinCsinB，则sinBcosA＋sinAcosBsinBcosA＝2sinCsinB，sinCcosAs

inB＝2sinCsinB，∵A，B，C为△ABC的内角，则sinC≠0，sinB≠0，∴cosA＝12，即A＝π3.]8．A[由题意可知b＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b>c，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知

tan35°>sin35°，所以a>b.综上，a>b>c，故选A.]9．B[f(x)＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π6，由T＝2πω＝π，得ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π6.作出函数f(x)在x∈

0，π2上的图像如图：由图可知，x1＋x2＝π3，∴f(x1＋x2)＝2sin2×π3＋π6＝2×12＝1.]10．C[因为外接圆的半径为R＝6，所以sinB＋sinC＝43可化为2RsinB＋2RsinC＝16，即b＋c＝16，由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccosA，

S＝b2＋c2－a2＝2bccosA＝12bcsinA，因为bc>0，故4cosA＝sinA，即tanA＝4，而A∈(0，π)，故sinA＝41717，由b＋c＝16可以得到16≥2bc，故bc≤64，当且仅当b＝c＝8时等号成立，所以Smax＝12×64×41717＝1281717.]

11．B[f(x)＝2sinωx2cosωx2－23cos2ωx2＋3＝sinωx－3cosωx＝2sinωx－π3，所以g(x)＝2sinωx＋π3ω－π3＝2sinωx，由2kπ－π2≤ωx≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2ω≤x≤2kπ＋π2ω(k∈

Z)，令k＝0可得函数的一个递增区间为－π2ω，π2ω，y＝g(x)在0，π4上为增函数，则π2ω≥π4，据此可得ω≤2，则ω的最大值为2.]12．A[由已知得sinφ＝－32，又|φ|<π2，所以φ＝－π3；f(x

)的图像向左平移π2单位长度后得到的图像与原函数图像重合，则kT＝π2，k∈Z，即k·2πω＝π2，k∈Z，化简可知ω＝4k，k∈Z，①又f(x)在3π17，7π17上单调，所以12T≥7π17－3π17，得πω≥

4π17，化简可得ω≤174，②由①②和ω>0，可知ω＝4，则f(x)＝3sin4x－π3，结合函数图形，因为x1，x2∈π24，7π24，当x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，结合图像可知x1＋x2＝5π24×2＝5π12，则f(x1＋x2)＝f5π

12＝3sin4×5π12－π3＝－32.]13．－34解析令t＝sinx，t∈[－1,1]，则y＝sin2x＋2cos2x－sinx－3＝－t2－t－1＝－t＋122－34，所以当t＝－12时，ymax＝－34.14．1009解析由a2＋b2－2ab

cosC＝c2得2abcosC＝2018c2，即2sinAsinBcosC＝2018sin2C，所以2sinAsinB＝2018sin(A＋B)tanC，故tanAtanBtanC(tanA＋tanB)＝sinAsinBsin(A＋B)tanC＝20182

＝1009.15.0，π6和2π3，π解析由已知T2＝π2，解得T＝π，∴ω＝2，又fπ6为最大值，可得φ＝π6＋2kπ，k∈Z，由|φ|<π2得φ＝π6，∴函数f(x)＝si

n2x＋π6，令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，当k＝0时，x∈－π3，π6，当k＝1时，x∈2π3，7π6，∴f(x)在区间[0，π]上的递增区间为0，π6和2

π3，π.16．①②④解析①设△ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理asinA＝2R，可得R＝733，所以△ABC的外接圆面积是S＝πR2＝49π3，故①正确；②根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A＋B＋C＝π，则bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinC

cosB＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a，故②正确；③b＋c＝2R(sinB＋sinC)＝2RsinB＋sin2π3－B＝1412cosB＋32sinB＝14sinB＋π6，所以b＋c≤14，故③错误；④设A到直线BC

的距离为d，根据面积公式可得12ad＝12bcsinA，即d＝bcsinAa≤b＋c22·sinAa＝49×327＝732(当且仅当b＝c＝7时，等号成立)，则AA′＝2d≤73，故④正确．综上，答案为①②④.17．解(1)∵角α的终边上有一点P，

∴sinα＝25＝255，cosα＝15＝55∴sin2α＝2sinαcosα＝2×255×55＝45，cos2α＝2cos2α－1＝2×552－1＝－35，∴sin2α＋cos2α＝45－35＝15.(2)由α∈0，π2，β∈0，π2得

α－β∈－π2，π2，∵sin(α－β)＝1010，∴cos(α－β)＝1－sin2(α－β)＝1－10102＝31010，则sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22，∵

β∈0，π2，则β＝π4.18．解(1)f(x)＝3cosx＋2cos2x－2＝2cosx＋342－258，由于cosx∈[－1,1]，则f(x)在cosx＝－34时取得最小值－258，在cosx＝1取得最大值3，所以函数f(x)的值域为－258，

3.(2)f(x)＝2cosx＋342－258＝0，得cosx＝12或cosx＝－2(舍)，所以x＝π3＋2kπ或x＝－π3＋2kπ(k∈Z)，因为x∈[0,2π]，所以零点为π3或5π3.19．解(1)设AC＝a，则AB＝3a，AD＝asinθ，CD＝ac

osθ，由题意得S△ABC＝4S△ACD，则12a·3a＝4·12acosθ·asinθ，所以sin2θ＝32.(2)由正弦定理，在△ABD中，BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，即BDsin(π－θ)＝3asinπ6，①在

△BCD中，BDsin∠BCD＝BCsin∠CDB，即BDsinπ3＋θ＝2asinπ3，②①÷②得，2sinπ3＋θ＝3sinθ，化简得3cosθ＝2sinθ，所以tanθ＝32.20．解(1)f(x)＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6＋1－cos2x＝s

in2x－π6＋1，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6(k∈Z)，∴f(x)的递减区间是kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)．同理f(x)的递增区间为k

π－π6，kπ＋π3(k∈Z)，故f(x)在π3，5π6上递减，在0，π3和5π6，π上递增．(3)∵f(x)＝sin2x－π6＋1，fA2＝32，∴sin

A－π6＝12，又－π6<A－π6<5π6，∴A－π6＝π6，∴A＝π3.∵△ABC的面积为23，∴12bcsinπ3＝23，解得bc＝8.∵b＋c＝7，∴a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc＝25，∴a＝5.获得更多资

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