【文档说明】安徽省六安市省示范高中2020届高三1月教学质量检测数学（文）试题【精准解析】.doc，共(19)页，1.479 MB，由小赞的店铺上传

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2020年六安市省示范高中高三教学质量检测文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|124xMx，0,1,2N，则MN（）A.

0,1,2B.1,2C.1D.【答案】B【解析】【分析】化简集合M，按交集的定义，即可求解.【详解】|124|02xMxxx，MN1,2.故选:B【点睛】本题考查集合间的运算，属于基

础题.2.双曲线2214yx的渐近线方程是（）A.12yxB.32yxC.3yxD.2yx【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线公式，即可求解.【详解】双曲线2214yx的渐近线方程是2yx.故选:D【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基

础题.3.若“xR，210xx”是真命题，则实数的取值范围为（）A.,04,B.0,4C.0,4D.0,4【答案】C【解析】【分析】对分类讨论，当0，本等式恒成立；当0，根据不

等式恒成立，结合二次函数，可得出关于的不等式关系，即可得出结论.【详解】当0时，本等式为10，恒成立，满足题意；当0时，xR，210xx，需2040，解得04.综上，04.故选:C【点睛】本题考查不等式恒成立，转化为二次函数有关

问题，考查分类讨论思想，属于基础题.4.已知非零向量a，b的夹角为30°，且1b，21ab，则a（）A.32B.1C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据模长的性质和向量的数量积公式，即可求解.【详解】22222(2)4

41ababaabb，整理得234||23||0,||0,||2aaaa.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.5.设0.24x，1212y，

lg2z，则（）A.zxyB.zyxC.yzxD.xzy【答案】A【解析】【分析】lg21z，化简,xy，利用指数函数的单调性，即可得出结论.【详解】lg21z，0.20.442x

，120.5122y，2xy在R上是增函数，所以0.50.4221，zxy.故选:A【点睛】本题考查比较数的大小，考查函数的单调性，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的26S，则判断框内应填入的条件是（）A.3?kB

.4?kC.4?kD.3?k【答案】C【解析】【分析】根据循环结构，算出26S时，k的值，即可求出结论.【详解】1,1;2,4;3,11;4,26.kSkSkSkS满足26S，退出循环体，所以条件语句是4?k故选:C【点睛】本题考题循环结构中的

条件语句，属于基础题。7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天

起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为（）A.12里B.24里C.36里D.48里【答案】B【解析】【分析】该人从第一天起每天走得路程成等比数列，且公比为12，前6和为378，求出首项，得到通项公式，即可求解.【详解】该人从第一天

起每天走得路程记为{}na，则{}na是公比为12的等比数列，6161(1())2378112aS，解得67132,32nnaa，424a.故选:B【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列前n项和以及通项公式的基本运算，属于基础题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1.

粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.283B.8233C.833D.83【答案】D【解析】【分析】三视图还原成空间图形，该几何体为直三棱柱与半个圆锥的组合体，根据体积公式，即可求解.【详解】由三视图可得，该几

何体是直三棱柱与半个圆锥的组合体，其中三棱柱的底面是等腰三角形且面积为2，侧棱长为4，半个圆锥底面半径为1，高为2，该几何体的体积为112428233.故选:D【点睛】本题考查几何体的三视图求几何体的体积，解题

的关键要确定几何体的结构特征，属于基础题.9.定义在R上的函数fx满足：4fxfx，当2x时，0,2lg2,2xfxxx，则不等式0fx的解集为（）A.,1B.1,3C.

,13,D.3,【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，求出2x的解析式，分段解不等式，即可得出结论.【详解】当2x时，42,()(4)lg(2)xfxfxx，0fx等价于，2lg(2)0xx

或2lg(2)0xx，解得3x或1x.故选:C【点睛】本题考查求分段函数的解析式以及解对数不等式，属于基础题.10.已知函数2sinsin0263xfxx

的图像关于点,06对称，将函数fx的图像向左平移3单位长度后得到函数gx的图像，则gx的一个单调递减区间为（）A.7,1212B.7,1212C.5,1212D.57,1212

【答案】B【解析】【分析】应用诱导公式和二倍角公式，化简()fx，结合已知条件求出，再由正弦函数的图像变换关系，求出()gx，求出其单调减区间，即可求解.【详解】2sinsin632sincossin(

2),636xxxxfxx()fx关于,06对称,()33kkz，31()kkz，02

,1，()sin(2)3fxx，fx的图像向左平移3单位长度后得到函数gx的图像，sin(2)3gxx()gx的递减区间需满足，33222()22kxkkz，解得77()0,

12121212kxkkzkx.故选:B【点睛】本题考查三角函数的化简，对称性，图像变换，以及函数的单调性，属于中档题.11.已知函数2112ln222xaxxxaf，若102a，则函数fx极值点个数为（）A.

0或1B.0或2C.1或2D.不确定【答案】C【解析】【分析】求()fx，求()0fx变号根的个数，即可求解.【详解】212(22)2122axaxaxfxaxx(1)(

21)xxax，令()0,1fxx，或21xa，当12a时，210xa舍去，经验证1x为()fx极值点，此时函数有1个极值点；当10,02112aa，经检验1x和21xa为()fx极值点，

此时函数fx有2个极值点.综上：函数fx极值点个数为1个或2个.故选:C【点睛】本题考查函数的极值点，考查分类讨论，属于中档题.12.已知抛物线24xy的焦点为F，A是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F为圆心，AF为半径的圆交y轴负半轴于点B.平行于AB的直线l与抛物线相切于点D，设

A，D两点的横坐标分别为Ax和Dx，则ADxx（）A.-4B.2C.-2D.4【答案】A【解析】【分析】抛物线24xy准线方程为1y，设(,),(,),||1AADDAAxyDxyAFy，求出以F为圆心，AF为半径的圆方程，求出点B.坐标，

根据斜率公式，求出AB的斜率，根据导数的几何意义，求出与抛物线相切于点D直线l的斜率，利用AB的斜率与直线l相等，即可求解.【详解】(,),(,)AADDAxyDxy，抛物线24xy准线方程为1y，||1AAFy，以抛物线焦点(0,

1)F为圆心，AF为半径的圆方程为222(1)(1)Axyy，令0,0Axyy或2Ayy，点B在y轴负半轴上，22(0,2),AAAABAAyyBykxx，22114,,42xyyxyx，抛物线相切于点D直线l的斜

率为12Dx，AB平行于直线l，12,42DADAxxxx.故选:A【点睛】本题考查抛物线性质，考查圆与直线的交点，以及应用导数的几何意义求切线的斜率，是一道综合题.二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.13.若1zi，则

zi______.【答案】1i【解析】【分析】求出z，再根据复数除法法则，即可求解,【详解】11ziiii.故答案为:1i【点睛】本题考查共轭复数，以及复数代数运算，属于基础题.14.若x

，y满足约束条件10030xxyxy，则2yx的最小值为______.【答案】-1【解析】【分析】做出可行域，结合2yx几何意义，即可求解.【详解】做出可行域如下图所示：2yx表示可行域内的点与(0,2)A连线的斜率，(1,1)B,其最小

值为AB的斜率为1.故答案为:1【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查数形结合思想，求几何意义为直线斜率的目标函数的最值，属于基础题.15.在三棱锥PABC中，ABC是等边三角形，PA平面ABC，且PAB的面积为1，则三棱锥PAB

C的外接球表面积的最小值是______.【答案】833【解析】【分析】设等边ABC边长为a，求出PA长和ABC外接圆半径，根据三棱锥PABC的外接球性质，结合PA平面ABC，确定球心位置，求出半径，以及球的表面积，利用基本不等式，即可求解.【详解】设等边ABC边长

为a，ABC的外接圆圆心为D，则ABC外接圆半径33aAD，PA平面12,,1,2PABABCPAABSaPAPAa，过D作DE平面ABC，则三棱锥的外接球的球心O在DE上，连,OAOP，则OAOP，取PA中点F，连OF，则OF

PA，又PA平面ABC，所以//PAOD，四边形ODAF为矩形，所以112ODAFPAa，所以外接球半径2222113OAADODaa，三棱锥PABC的外接球表面积222118344()33SOAaa，当

且仅当23a，等号成立，三棱锥PABC的外接球表面积的最小值是833.故答案为:833.【点睛】本题考查多面体外接球的表面积最小值，确定球心是解题的关键，属于中档题.16.已知函数223,0log,0xxaxfxxx，若函数232gxfxfx有且仅

有三个零点，则实数a的取值范围是______.【答案】(1,2]【解析】【分析】由2320,()1gxfxfxfx，或()2fx，gx有且仅有三个零点，函数()yfx与函数1y和函数2y有三个交点，做出函数()fx的图像，即可求解.【详解】2320,(

)1gxfxfxfx，或()2fxgx有且仅有三个零点，函数()yfx与函数1y和函数2y有三个交点，根据函数()fx图像，12a.故答案为:(1,2]【点睛】本题考查复合函数的零点，考查数学结合思想，

属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足：*12nnaanN，且2a是1a、5a的等比中项.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设*12020nnnbnNaa，求数列

nb的前n和nS.【答案】（Ⅰ）*21nannN（Ⅱ）202021nn【解析】【分析】（1）根据等差数列定义，可得na为等差数列，再由2a是1a、5a的等比中项，求出公差，即可求解；（2）由nb通项公式，用裂项相消法，可求nb的前n和nS.【详解】解

：（Ⅰ）由*12nnaanN可知道，数列na是等差数列，且2215aaa，解得11a，∴*21nannN；（Ⅱ）120201110102121nnnbaann，所以11111101013352121nSnn

202021nn.【点睛】本题考查等差数列的定义及其通项，考查用裂项相消法求数列的前n项和，属于基础题.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量cos,mBb，cos,3nCac，且满足：//mn.（Ⅰ

）求cosB的值；（Ⅱ）若22b，求ABC面积的最大值.【答案】（Ⅰ）1cos3B（Ⅱ）22【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解；（2

）由（1）求出sinB，用余弦定理得出,ac关系式，运用基本不等式，可求出结论.【详解】解：（Ⅰ）由cos,mBb，cos,3nCac，//mn得，3coscos0acBbC，在ABC中，由正弦定理得3sincossincossincos0ABCBB

C，化简得3sincossin0ABA，因sin0,1A，所以1cos3B.（Ⅱ）在ABC中，由（1）得22sin3B，由余弦定理得，2222482333acacacacac，所以6a

c，当且仅当6ac时“”成立.因12sin2223ABCSacBac，所以当且仅当ac时，ABC面积的最大值为22.【点睛】本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题.19.

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，24AFFD，25AD，60CEFDFE.（Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；（Ⅱ）求点C到平面ADF的距离.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】【

分析】（1）由,,AFDFAD长度关系，可证AFDF，再结合已知条件，可证AF平面EFDC，即可证明结论；（2）求出三棱锥ACDF的体积和ADF的面积，用等体积法，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）证

明：因222216425AFDFAD，所以AFDF，由正方形ABEF得AFEF，因,DFEF平面EFDC，DFEFF，所以AF平面EFDC，因AF平面ABEF，所以平面ABEF平面EFDC.（Ⅱ）因//ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC

，所以//AB平面EFDC，//ABCD，//EFCD，四边形EFDC为等腰梯形，422cos602DC，设点C到平面ADF的距离为h，由ADFCCADFVV得111122sin1204243232h，解得3h，所以点C到平面ADF的距离为3.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，要注意线段长度关系隐含线线垂直，考查等体积法，求点到平面的距离，属于中档题.20.在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席①、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出重要指示强调，新中国成立70年来，中国共产党坚持

全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发展思想，带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应习总书记的号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫战略，效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区.数据显示，近期风景区中每天空气质量指数近似满足函数

212ln6422,144attttatftR，其中t为每天的时刻.若在凌晨4点时刻，测得空气质量指数为21.8.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求近期每天在4,22时段空气质量指数最高的时刻t.（参考数值：ln20.7）【答案】（Ⅰ）600；（Ⅱ）12时.【解析

】【分析】（1）将4t代入解析式，解关于a的方程，即可得出结论；（2）求()ft，求出()ft的单调区间，进而求出()ft极值，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由421.8f得240.74621.840a

，所以600a；（Ⅱ）由260012ln6144tttttf得22260014412'144ttttft2260012112144tttt，由'

0ft得12t.列表得t4,121212,22'ft+0-ft增极大值减所以函数ft在12t时取极大值也是最大值，所以近期每天空气质量指数最高的时刻为12时.【点睛】本题考查函数应用问题，利用导数求函数的最值，考查

计算能力，属于中档题.21.在直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab，点3,1A在椭圆C上，过点A作圆22219xy的切线，其切线长为椭圆C的短轴长.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线OA与椭

圆C的另一个交点为B，点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴交于M点.设直线BD，AM的斜率分别为1k，2k，求21kk的值.【答案】（Ⅰ）221124xy（Ⅱ）213kk【解析】【分析】（1）根据圆的切线性质，求出b，将点A代入椭圆方程，即可求解；（2）根据已知条件求出直线A

D方程，与椭圆方程联立，由韦达定理求出,AD坐标关系，求出直线BD的斜率，可求出直线BD方程，进而求出点M坐标，即可求出结论.【详解】解：（Ⅰ）根据题目条件可知：22925b，解得：24b.又因为点3,1A在椭圆C

上，所以23114a，可得212a，故椭圆的标准方程为：221124xy.（Ⅱ）直线AB的斜率为13ABk，因为ADAB，所以3ADk，直线AD的直线方程为：310yx与椭圆221124xy的方程联立

可得：2745720xx，45,7ADxx，53207ADADyyxx，则119ADADyykxx.∵点B的坐标为3,1，∴直线BD的直线方程为：1139yx，则点解得6,0M，

213k，所以213kk.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数lnxaefxxxaRx.（Ⅰ）当1a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（Ⅱ）若函

数22gxxx，对于任意123,,1,xxx，都有1232fxfxgx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）1ye（Ⅱ）21,e【解析】【分析

】（1）求出(1),(1)ff，即可求解；（2）对于任意123,,1,xxx，都有1232fxfxgx恒成立，转化为，max2()()fxgx在[1,)x恒成立，分离参

数a，构造函数()hx，转化为a与()hx的最值关系，运用导数求出()hx的最值，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）当1a时，221'111xxexxexxxfxx，∴'10kf，又因为11fe，所以曲线

yfx在点1,1f处的切线方程为：1ye.（Ⅱ）函数22gxxx，1,x，max1gx，由题意可得：ln1xfaexxxx，对1,x恒成立，可转化为：2lnxxxxxae，设2ln1xhxxxxxxe，

222ln'lnxhxxxxxxex12lnxxxxe，设2ln1mxxxx，则1'10mxx，所以mx在区间1,上单调递增，又∵110m，2240mee，∴存在唯一的201,xe，使得

00mx.当01,xx时，'0hx，当0,xx时，'0hx，又因为00ln2xx，所以0200x00malnxxxxehxx002000002xxxxxxxee，又

∵00ln2xx，∴000200221xxxxexeeee，2max1hxe，故实数a的取值范围为21,e.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值有关的不等式，要注意分离参

数构造函数，利用导数研究函数的最值，属于较难题.