【文档说明】江苏省南京市宁海中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(12)页，1.176 MB，由小赞的店铺上传

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南京市宁海中学2020-2021学年第二学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知曲

线)(xfy=在5=x处的切线方程为5+−=xy，则)5(),5('ff分别为()．A．3，3B．3，-1C．-1，3D．0，-12.设有下面四个命题P1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；P2：若复数z满足z2∈R

，则z∈R；P3：若复数z1，z2满足z1，z2∈R，则z1＝z2－；p4：若复数z∈R，则z－∈R．其中的真命题为()A．P1，P3B．P1，P4C．P2，P3D．P2，P43．已知(3x－2)7＝a0＋a1

x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7等于()．A．1B．129C．-128D．214.如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（）种不

同的走法.A．100B．80C．60D．405.有四件不同的玩具全部分给三名小朋友，每位小朋友至少获得一件，共有（）种不同的分法．A．72B．36C．24D．126．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值

0，则a＋b的值为().A．4B．7C．11D．4或117．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为()．A．(0，e)B．(0，1e)C．(0，12)D．(0，13)8．对于实数

x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{an}的通项公式an＝1n＋1＋n，前n项和为Sn，则[S1]＋[S2]＋…＋[S40]＝()A．105B．130C．125D．120二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，

部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设t是方程x2＋x＋1＝0的根，则()．A．t3＝1B．t＋￣t＝－1C．－t是该方程的根D．t2020是该方程的根A图1ABC10.已知数列{na}是递减等差数列，其前n项和为nS,且75SS=,则下列结论正确的有A.6S最大B.6S最小C.13S<0D.1

1S>011.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b(modm)．若a＝C030＋C130·2＋C230·22＋…＋230，a≡

b(mod10)，则b的值可以是()A．2019B．2020C．2029D．202212．关于函数()ecosxfxax=−，x(−，)，下列说法正确的是A．当a＝1时，()fx在x＝0处的切线方程为y＝xB．若函数()fx在

(−，)上恰有一个极值，则a＝0C．对任意a＞0，()fx≥0恒成立D．当a＝1时，()fx在(−，)上恰有2个零点三、填空题：共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分．13．北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽

机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示．若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被

选取，则共有______种不同的安排方法(用数字作答)．14.(3－2x)(x＋1)5展开式中含x3项的系数为________．15．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：甲：z＋Z＝2；乙：z－Z＝23i；丙：z·Z＝4；丁：ZZ＝z

22．在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝________．16．若lnx＋1x≤ax＋b对于x∈(0，＋∞)恒成立，当a＝0时，b的最小值为________；当a＞0时

，ba的最小值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知复数iiaaz−−++=1)

13()33(1，iaaz)3(2322−++=，（iRa,为虚数单位）（1）若1z为实数，求a的值；（2）若复数21−zz在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围.18．(本小题满分12分)

有0，1，2，....,5共6个数字，现有一个五位数，每一位上的数字都是从以上6个数中选择（1）这样的五位数共多少个？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数，并且这样的五位数为偶数？（3）没有重复数字的五位数中有多少个大于13000？19．（本小题满分12分）已知函数32()

,fxxmxm=−R，且'(1)5f=.（1）求实数m的值，并求()fx在区间1[2,]4−上的值域.（2）求曲线()yfx=过点)2,1(的切线方程；20.（本小题满分12分）已知等比数列{an}的各项均为整数，公比为q，且|q|

＞1，数列{an}中有连续四项在集合M＝{－96，－24，36，48，192}中．(1)求q的值，并写出数列{an}的一个通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．21．(本小题满分12分)(1)已知(x＋2x2)n的展

开式中，第6项与第4项的二项式系数之比为21：10．①求n的值；②求展开式的常数项，并写出展开式中二项式系数最大的项是第几项？(2)求和：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋kCkn＋…＋nCnn．22．（本小题满分12分）已知函数xxfln)(=，xexg=)(．⑴求函数xxagxh−=)()(

的极值；⑵求函数1)()(−+−=xaxxfx的单调区间；⑶定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线。判断)(xf与)(xg是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数．南京市宁

海中学2020-2021学年第二学期期中考试数学试卷参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知曲线)(xfy=在5=x处的切线方程为5+−=xy，则)5(),5('f

f分别为（）A．3，3B．3，-1C．-1，3D．0，-1答案：D2.设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1，z2∈R，则z1＝z2－；p4：若复数z∈R，则z－∈R．其中

的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案：B3．已知(3x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7等于()．A．1B．129C．-1

28D．21答案：B4.如图1所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（）种不同的走法.A．100B．80C．60D．40答案：D5.有四件不同的玩具全部分给三名小朋友，每位小朋

友至少获得一件，共有（）种不同的分法．A．72B．36C．24D．12答案：B6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b的值为().A．4B．7C．11D．4或11答案：C7．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在区间(0，＋∞)上

有两个极值，则实数a的取值范围为()．A．(0，e)B．(0，1e)C．(0，12)D．(0，13)答案：CA图1ABC8．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{an}的通项公式an＝1n＋1＋n，前n项和为Sn，则[S1]＋[S2]＋…

＋[S40]＝()A．105B．130C．125D．120答案：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分．9.设t是方程x2＋x＋1＝0的根，则()．A．t3＝1B．t＋￣t＝－1C．－t是该方程的根D．t2020是该方程的根答案：ABD10.已知数列{na}是递减等差数列，其前n项和为nS,且75SS=,则下列结论正确的有A

.6S最大B.6S最小C.13S<0D.11S>0答案：ACD11.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b(modm)．若a＝C030＋C130·2＋

C230·22＋…＋230，a≡b(mod10)，则b的值可以是()A．2019B．2020C．2029D．2022答案：AC12．关于函数()ecosxfxax=−，x(−，)，下列说法正确的是A．当a＝1时，()fx在x＝0处的切线方程为y＝xB．若函数()fx在(

−，)上恰有一个极值，则a＝0C．对任意a＞0，()fx≥0恒成立D．当a＝1时，()fx在(−，)上恰有2个零点答案：ABD三、填空题：共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分．13．北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家

发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示．若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道

至少有一道被选取，则共有______种不同的安排方法(用数字作答)．答案：1014.(3－2x)(x＋1)5展开式中含x3项的系数为________．答案：1015．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：甲：z＋z＝2；乙：z－z＝23i；丙：

z·z＝4；丁：zz＝z22．在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝________．答案：1＋i16．若lnx＋1x≤ax＋b对于x∈(0，＋∞)恒成立，当a＝0时，b的最小值为________；当a＞0时，ba的最小值是________．答案：

1；－1e四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知复数iiaaz−−++=1)13()33(1，iaaz)3(2322−++=，（iRa,为虚数单位）（1）若1z为实数，求a

的值；（2）若复数21−zz在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围.解（1）31,)13(21−=++=aiaz................................4分（2）由条件得，z1﹣z2＝（322a−+）+（a2﹣3a﹣4）i因为z

1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有23202340aaa−+−−＞＞∴12214aaa−−−＜＜＜，＞解得﹣2＜a＜﹣1.................................10分

19．(本小题12分)现有0，1，2，....,5共6个数字，现有一个五位数，每一位上的数字都是从以上6个数中选择（4）这样的五位数共多少个？（5）可以组成多少个没有重复数字的五位数，并且这样的五位数为偶数？（6）没有重复数字的五位数中有多少个大于13000？解（1）6

480..............................4分（2）312.................................8分（3）552..........................

.........12分19．（本小题满分12分）已知函数32(),fxxmxm=−R，且'(1)5f=.（1）求实数m的值，并求()fx在区间1[2,]4−上的值域.（2）求曲线()yfx=过点)2,1(的切线方程；解：（1）mxxxf23)(2−=，由5)1(=f得1−=m，-----

-------------------1分∴23)(xxxf+=由023)(2=+=xxxf得0=x或32−=x列表x2−)32,2(−−32−)0,32(−0)41,0(41)(xf++0—0++)(xf4−增极大值274减极小值0增645------

-----------------5分由0)0()(4)2(==−=−fxff极小值，274)32()(645)41(=−==fxff极大值结合列表可知：()fx在区间1[2,]4−上的值域为]2

74,4[−------------------------6分（2）设切点坐标为))(,(00xfx，则切线方程为：))(()(000xxxfxfy−=−整理得：20300202)23(xxxxxy−−+=代入)2,1(得020302222xxx++−=即有

0)1()1(020=+−xx∴10=x∴切线方程为35−=xy或1+=xy------------------------12分20.（本小题满分12分）已知等比数列{an}的各项均为整数，公比为q，且|q|＞1，数列{an}中有连续四项在集合M＝{－96，－24，36，48，192}中

．(1)求q的值，并写出数列{an}的一个通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．解(1)因为数列{an}有连续4项在集合M中，且M中只有3个元素为正数，所以这连续4项中必有

一项为负数.(1分)因为M中只有两个负数，所以这连续4项中必有正数，则这连续4项中有正数也有负数，所以q＜0，(2分)且正项和负项分别相间排列，则q2＝－96－24＝4.又|q|＞1，所以q＝－2，(4分)其中一个数列的通项公式为an＝3×(－2)n－1.(5分)(答案不唯一，an＝3×(－

2)n－1，an＝－6×(－2)n－1，an＝12×(－2)n－1，an＝－24×(－2)n－1”，其他形式不给分)(2)设等比数列{an}的首项为a1，则Sn＝a1[1－（－2）n]1－（－2）＝a1[1－（－2）n]3.(7分)设数列{Sn}中的任意连续三项分

别为Sn，Sn＋1，Sn＋2，则Sn＋1＝a1[1－（－2）n＋1）]3，Sn＋2＝a1[1－（－2）n＋2]3.(9分)因为2×(－2)n＝(－2)n＋1＋(－2)n＋2，(11分)所以2×a1[1－（－2）n]3＝a1[1－（－2

）n＋1]3＋a1[1－（－2）n＋2]3，则2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，所以Sn－Sn＋1＝Sn＋2－Sn，所以数列{Sn}中的任意连续三项按适当顺序排列后，能成等差数列．(12分)21．(本小题满分12分)(1)已知(x＋2x2)n的展开式

中，第6项与第4项的二项式系数之比为21：10．①求n的值；②求展开式的常数项，并写出展开式中二项式系数最大的项是第几项？(2)求和：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋kCkn＋…＋nCnn．解析：(1)①依题意C5n：C3n＝21：10，即10C5n＝21C3n，解得n＝10，（2分）②设

第r＋1(0≤r≤10且r∈N)为常数项，又Tr＋1＝Cr10(x)10－r(2x2)r＝2rCr10x10－5r2，解得r＝2，所以T2＋1＝22C210＝180．展开式中二项式系数最大项是第6项(6分)(2)解：方法一：因为由kCkn＝k·n!k!(n－k)!＝n

·(n－1)!(k－1)!(n－k)!＝nCk－1n－1，得kCkn＝nCk－1n－1，所以C1n＋2C2n＋···＋kCkn＋···＋nCnn＝n(C0n－1+C1n－1＋C2n－1＋···＋Cn－1n－1)＝n2n－1方法二：由二项式定

理，有(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn，两边对x求导，得n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2nx＋…＋kCknxk－1＋…＋nCnnxn－1令x＝1，得C1n＋2C2n＋···＋kCkn＋···＋nCnn＝n2n－1．（12分）

22．（本小题满分12分）已知函数xxfln)(=，xexg=)(．⑴求函数xxagxh−=)()(的极值；⑵求函数1)()(−+−=xaxxfx的单调区间；⑶定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线。判断)(xf与)(xg是否存在公切线，如果

不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数．解：⑴∵xaexxagxhx−=−=)()(，∴1)(−=xaexh①当0a时，0)(xh在R上恒成立，故)(xh是R上的减函数，故不存在极值----------1分

②当0a时，由0)(=xh得ax1ln=进一步)1ln,(ax−时0)(xh，故)(xh在区间)1ln,(a−上是减函数),1(ln+ax时0)(xh，故)(xh在区间),1(ln+a上是增函数∴当ax1ln=时)(xh有极小值aln1+，无极大值--

-------------------3分⑵∵1ln)(−+−=xaxxx∴222)1(1)1()1(11)(++−+=−++=xxxaxxaxx（10xx且）令1)1()(2+−+=xaxxt，①31−a时04)1(2

−−=a，∴0)(x恒成立，故函数)(x单调递增区间是)1,0(，),1(+。②当3a时，方程0)(=xt有两个不等的负根，易知10xx且0)(x恒成立，故函数)(x单调递增区间是)1,0(，),1(+。③当1−a时，方程0)(=xt有两个不等的正根23212

1−−−−=aaax，232122−−+−=aaax2110xx故函数)(x单调递增区间是),0(1x，),(2+x；单调递减区间是)1,(1x，),1(2x综上：……-----------------------

-7分⑶假设存在公切线，与)(xf、)(xg分别切于点),(),ln,(2211xexBxxA则公切线:l)(1ln111xxxxy−=−即1ln111−+=xxxy同时公切线:l)(222xxeeyxx−=−即)1(222

xexeyxx−+=∴−=−=)1(1ln121122xexexxx------------------------8分消去21xx或得01)1(ln111=++−xxx（或者0)1(222=+−xxex）是否存在公切线等价转化为方程01)

1(ln=++−xxx在),0(+是否有解（或者等价转化为方程0)1(=+−xxex在R上是否有解）令11-ln)(−+=xxxxF),0(+x①由（2）得F（x）在（0，1），（1，+）上递增，F(e)=12-−e<0,F(e2)=12-12−e

>0所以存在x1),(2ee,使得F(x)=0,又F(x1)=-F（x）,所以必有)1,1(1212eexx=使得F（x2）=0故方程①只有两解。即)(xf与)(xg是存在两条公切线。----------

-------------12分