【文档说明】河南省2024届高三上学期起点考试数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.439 MB，由管理员店铺上传

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河南省2024届高三起点考试数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．

选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内．答在试题

卷上或答题卡指定区域外无效．4．考试结束，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足()1i2iz+=−+，其中i为虚数

单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和几何意义可得答案.【详解】由()1i2iz+=−+得()()()()2i1i2i213i13

i1i1i1i222z−+−−+−++====−+++−，则复数z在复平面内对应的点13,22−位于第二象限.故选：B.2.已知()22Zlog12,Z280AxxBxxx=−=−−，则AB等于（）A.|24xx−B.

|14xxC.1,0,1,2,3−D.2,3【答案】D【解析】【分析】先利用对数函数定义域求出集合A，利用一元二次不等式求出集合B，再根据交集运算求解即可.【详解】由()2log12x−，即()22log1log4

x−，所以01<4x−，解得15x，又Zx，所以()2=Zlog12=2,3,4Axx−，由2280xx−−，即()()420xx−+，解得24−x，又Zx，所以2=Z280=1,0,1,2,3

Bxxx−−−，所以2,3AB=.故选：D3.已知，是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，下列说法正确的是（）A.若m∥，则∥B.若l，ml∥，则m∥C.若⊥，则m⊥D.若m⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】由线面、面面平行的判定定理及

线面、面面垂直的判定定理逐一判断各选项.【详解】对于A，由面面平行判定定理可知，在平面内需要两条相交直线与平面平行才能得出两平面平行，故A错误；对于B，选项缺少m不在平面内，故B错误；对于C，由面面垂直的性质定理可知

，平面内的直线m与，两个平面的交线垂直，才能得出m⊥，故C错误；对于D，已知m⊥，m为平面内的一条直线，由面面垂直判定定理可知D正确，故D正确.故选：D.4.新高考按照“312++”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中

选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（）A.112B.110C.18D.16【答案】A【解析】【分析】结合排列组合数的运算，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】由题意，

甲、乙随机选择自己的选考科目的情况有12122424CCCC144=种，甲、乙选考三门科目均不相同的情况有2222422222CCAA12A=种，所以所求的概率是12114412P==.故选：A5

.已知22R0,R0AxxxaBxxxb=−+=−+||，甲：ab=，乙：AB=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙

的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】【分析】易知当ab=时，两集合,AB相等；当AB==时，,ab不一定相等，即只有充分性成立.【详解】充分性：若ab=，显然两集合对应的不等式相同，可得AB=，即充分性成立；必要性：若AB=，当,AB都为空集时，此时只需要满

足140a−且140b−即可，不妨取1,2ab==，此时满足AB==，但ab¹，即必要性不成立；所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A6.设不为1的实数a，b，c满足：0abc，则（）A.loglogcabbB.lglgbaab=C.acbb

D.loglogaabc【答案】B【解析】【分析】举反例，根据对数值的正负可判断A；根据对数的运算性质可判断B；根据指数函数以及对数函数的单调性可判断C，D.【详解】对于A，若10abc，则log0,log0cabb，的的则loglogcabb不成立，A错误；

对于B，因为0ab，所以lglglglgbaab=，即lglglglglglg,babaabab==，B正确；对于C，当01b时，xyb=是R上的减函数，由于0ac>>，故acbb，C错误；对于D，当01a时，logayx=

是(0,)+上的减函数，由于0bc，故loglogaabc，D错误；故选：B7.已知过坐标原点的直线l与圆22:(6)(8)125Cxy−++=相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（）A.12B.13C

.25D.26【答案】C【解析】【分析】确定圆心和半径，求得MN的长的最小值和最大值，确定满足题意的所有整数值的个数，结合圆的对称性，即可确定答案.【详解】由题意知22:(6)(8)125Cxy−++=的圆心为(6,8)A−，半径为55，当直线l

经过圆心(6,8)A−时，MN最长，此时||105MN=；当直线l与圆心和原点的连线OA垂直时，MN最短，此时22||6(8)10OA=+−=，2||21251010MN=−=；故||MN的范围为[10,105]，由于2.252.3,2210523，则[10

,105]包含10,11,12,,22共13个整数，其中||10MN=为||MN的最小值，此时l只有一条，取其他整数时，对应的直线l皆有2条，这2条直线关于直线OA对称，如图12,ll，故当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数

为121225+=，故选：C8.已知函数()2,0ln,0xxgxxx=（e为自然对数的底数），则函数()()()191fxggxgx−=−的零点个数为（）A.1B.3C.5D.7【答案】D【解析】【分析】令()gxu=，则方程

()()0191ggxgx−−=变为了()119guu=+，在同一直角坐标系中分别画出()ygu=和119yu=+的图象得到相应的u范围，再画出()gx的图象，结合图像即可得解.【详解】首先由()gx定义知道()0ugx=

，又由()ygu=的定义域知道0u，所以有0u.然后在同一直角坐标系中先分别画出()ygu=和119yu=+的图象，如下图所示：设方程()1ln19guuu==+的三个根从大到小依次排列为123,,u

uu，则由图可知12301uuu.现在在同一直角坐标系中先分别画出()gx，1yu=，2yu=，3yu=的图象如下图：由图可知()gx分别与1yu=，2yu=，3yu=的图象分别交于,,,,,,ABCDEFG一共七个点，所以方程()()0191ggxgx−−=有7个根

，则函数()()()191fxggxgx−=−的零点个数为7.故选：D.【点睛】关键点睛：解题关键是首先将原问题转化为求方程()()0191ggxgx−−=的根之后，利用了换元的思想方法，进一步只需讨论()ygu=和119yu=+的图象交点个数以及相应的u的范围(

这里用到了数学结合的思想方法)，进而再次利用数形结合即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每

场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（）A.平均来说乙班比甲班防守技术好B.乙班比甲班防守技术更稳定C.乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D.甲班很少不

失球【答案】ACD【解析】【分析】由平均数及方差的大小关系逐一判断各选项.【详解】对于A，从平均数角度考虑是对的，甲班每场比赛平均失球数大于乙班每场比赛平均失球数，故A正确；对于B，从标准差角度考虑是错的，甲失球个数的标准差小，防守技术更稳定；故B错误；对于C，乙失球

个数的标准差大，防守中的表现不稳定，故C正确；对于D，从平均数和标准差角度考虑是对的，故D正确.故选：ACD.10.下列函数中既是奇函数又是增函数为（）A.1yx=−B.yxx=C.22xxy−=−D.2121xy=−+【答案】BCD【解析】【分析】根据奇偶性定义，结合

奇偶性和单调性的性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，1yx=−在(),0−和()0,+上为增函数，但在定义域()(),00,−+U上不是增函数，A错误；对于B，yxx=的定义域为R，−=−−xxxx，yxx=为定义在R上的奇函数；当0x时，2yxxx==，由二

次函数性质知：yxx=在)0,+上单调递增；结合奇函数性质知：yxx=(,0−上单调递增，yxx=是定义在R上的增函数，B正确；对于C，22xxy−=−的定义域为R，()2222xxxx−−−=−−，22xxy−=−为定义在R上的奇函数；2xy=在R上单调递增，2xy−=在R上单调递减

，22xxy−=−是定义在R上的增函数，C正确；对于D，22112121xxxy−=−=++定义域为R，211221211221xxxxxx−−−−−==−+++，2121xy=−+为定义在R上的奇函数；21xy=+在R上单调递增，且恒

大于零，221xy=+在R上单调递减，2121xy=−+在R上单调递减，即为定义在R上的增函数，D正确.故选：BCD.在11.已知A，B两点的距离为定值2，平面内一动点C，记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，下面说法正确的

是（）A.若CACB⊥，则S的最大值为1B.若3ba=，则S的最大值为3C.若1ab−=，则S的最大值为32D.若1tantan3AB=，则S的最大值为33【答案】ABD【解析】【分析】A.由CACB⊥，得到2224CACB

AB+==，再利用基本不等式求解；B.由32bac==，，利用余弦定理得到2222cos3aCa−=，进而得到22222sin13aCa−=−，然后由2123sin2SaC=421842aa=−+−求解；C.建立平面直角坐标系，设(),

Cxy，由11abAB−==，得到点C的轨迹为双曲线的一支求解；D.建立平面直角坐标系，设(),Cxy，由1tantan3AB=，得到点C的轨迹方程求解.【详解】A.因为CACB⊥，所以2224CACBAB+==，则221

11222CACBSCACB+==，当且仅当CACB=时，等号成立，故错误；B.因为32bac==，，由余弦定理得()2224323cosaaaC=+−，即2222cos3aCa−=，所以22222sin13aCa−=−，则

22222112223sin231223aSaCaa−==−，()2422118441222aaa=−+−=−−+当24a=时，max23S=，故正确；C.建立如图所示平面直角坐标系：设()

,Cxy，因为11abAB−==，所以点C的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，则21a=，即12a=，22c=即1c=，则234b=，所以轨迹方程为()22101344xyx−=，则RCy，所以S无最大值，故错误；D.建立如图所示平面直角坐标系：设()

,Cxy，因为1tantan3AB=，且tan,tanACBCAkBk==−，则13ACBCkk=−，即1113yyxx=−+−，整理得()22310xyy+=，所以33Cy，则1323CSABy=，所以S的最大值为33，故正确；故选：ABD12.已知,ab是正实数，且4

abab+=，则下列说法正确的是（）A.ab的最大值14B.22ab+的最小值为12C.4ab+的最小值94D.()233154abab−++的最小值为72−【答案】BC【解析】【分析】选项A，利用用基本不等式化和为积，转化为解关

于ab的不等式即可；选项B，利用基本不等式得ab的最小值为14，再结合重要不等式222abab+，由传递性可得；选项C，利用“1”的代换，转化条件等式求最值；选项D，将式子变形，转化为关于ab的函数最值求解即可.【详解】选项A，令11,

3ab==，满足443abab+==，但1134ab=，故A项错误；选项B，由42ababab=+，且0ab解得14ab，当且仅当12ab==时，等号成立故ab的最小值为14.又22122abab+，当且仅当12ab==时，等号成立.故22

ab+的最小值为12.故B项正确；选项C，由4abab+=得，114ab+=，则111144(4)()(5)44ababababba+=++=++19(524)44+=当且仅当4abba=，即3438ab=

=时，等号成立.所以4ab+的最小值94.即C项正确；选项D，()()2232321515()()44abaabababbba−=+−++++−()223215()()388()9()4abababababab=++−−=−

+令abt=，则321()89,4ftttt=−2()24186(43)fttttt=−=−令()0ft=，得3t4=，当13[,)44t时，()0ft，()ft单调递减；.当3(,)4t+时，()0ft，()ft单调递增；故min327()()416ftf==−，则()

23mi3n152742abab−=+−+.此时，343abab=+=，即362362ab−=+=或362362ab+=−=.则最小值为272−，故D项错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，

每小题5分，共20分．13.已知向量()1,0a=，()0,1b=，1acbc==，向量a在向量c上的投影向量的坐标为_________．【答案】11,22【解析】【分析】根据数量积坐标运算

可构造方程求得向量()1,1c=，进而求得cos,aac，cc，结合投影向量定义可得结果.【详解】设(),cxy=，则11acxbcy====，()1,1c=，12cos,22acaacc

===，22,22cc=，a在c上的投影向量坐标为11cos,,22caacc=.故答案为：11,22.14.数列na的首项为2，等比数列nb满足1nnnaba+=且10121b=，则2024a的值为__________．【答

案】2【解析】【分析】根据等比数列定义可写出数列nb的通项公式，再利用累乘可得出数列na的表达式，代入计算即可得20242a=.【详解】设等比数列nb的首项为1b，公比为q，利用等比数列定义可知111nnnnabbqa−+==所以可得21

1nnnabqa−−=，3112nnnabqa−−−=，0211abqa=，由累乘可得()()1012112211121212nnnnnnnnnaaabqbqaaa−−+−−+++−−

−−==，整理可得()()122111nnnnaabq−−−=所以()2023202321113202220232021011202310211024122abaqbqbq===，又1011012111bbq==，所以可得()0122023

10241122bqa==；即20242a=.故答案为：215.偶函数()fx的定义域为D，函数()fx在()0,+上递增，且对于任意a，,0bDb均有()()affafbb=−，写出符合要求的一个函数()fx为__________．【答案】()lo

g1myxm=均可以【解析】【分析】根据()()affafbb=−可构造对数函数，结合函数奇偶性和单调性得到()log1myxm=均可.【详解】因为()()log1mfxxm=在()0,+上单调递增，又logloglogmmmaabb=−，即满足()()af

fafbb=−，故()log1myxm=均满足要求，故答案为：()log1myxm=均可以.16.已知函数()()cosfxx=+，+N，0,π，在2ππ,33x−内恰有两个极值

点，且2ππ033ff−+=，则的所有可能取值构成的集合是__________．【答案】5π0,,π6【解析】【详解】()fx在2ππ,33x−内恰有两个极值点，若()fx最小正周期为T，又2ππ33ff

−=−，则π2ππ2333π2ππ233TT−−=−−=，即2π2π3T，2π2π2π3，解得：13，又+N，2=或3=；3π22TT，2ππ033ff−+=

，()fx\关于π,06−中心对称，()πππ62kk−+=+Z，解得：()πππ26kk=++Z；当2=时，()5ππ6kk=+Z，又0,π，5π6=；当3=时，ππk=+，又0,π，0=或π=；综上所

述：的所有可能取值构成的集合为5π0,,π6.故答案为：5π0,,π6.【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数性质求解参数值的问题，解题关键是能够根据函数极值点的个数和对称性确定函数的最小正周期与区间长度之间的关系，由此可构造不等式

求得的值.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na的前n项和为nS，且214nSnn=−．（1）求数列na的通项公式；（2）令11nnnba

a+=，求数列nb的前13项和13T．【答案】（1）215nan=−（2）132513T=【解析】【分析】（1）利用na与nS的关系直接求解即可；（2）结合（1）的结论可判断出11nnaa+的正负，去掉绝对值符号后，采用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】当1n=时，11114

13aS==−=−；当2n且nN时，()()221141141215nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−；经检验：113a=−满足215nan=−，()215nann=−N.【小问2详解】由（1）得：()()1111112152132215213nnnbaan

nnn+===−−−−−，当6n时，()()10215213nn−−；当8n时，()()10215213nn−−；当7n=时，()()10215213nn−−；13122367788991013141111111Taaaaaaaaaaaaaa

=+++−++++1223677889910131478111111112aaaaaaaaaaaaaaaa=++++++++−11111111111111111221311119973359111

113=−+−+−+−−++−+−++−+−+12521313=−+=.18.已知在ABC中()4sin,2sinsin5CBCA=−=．（1）求sinB；（2）设165BC=，求ABC的面积．【答案】（1）41717（2）12825【解析】【分析】（1）根据

题，利用两角和与差的三角函数，化简得到3cossinsincosBCBC=，再由4sin5C=，结合三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）求得16sin517A=，利用正弦定理求得4b=，结合三角形的面积公式，即可求

解.【小问1详解】解：在ABC中，()2sinsinBCA−=，可得()()2sinsinBCBC−=+，即2sincos2cossinsincoscossinBCBCBCBC−=+，所以3cossinsincosBCBC=，即tan3tanBC=，则tan0,tan0BC，所以,

BC都为锐角，因为4sin5C=，可得3cos5C=，所以4tan3C=，所以tan4B=，即sin4cosBB=，又由22sincos1BB+=，可得4sin1717B=.【小问2详解】解：因为()16sinsinsi

ncoscossin517ABCBCBC=+=+=，由正弦定理sinsinabAB=，可得sin4sinaBbA==，又由165BC=，即165a=，所以ABC的面积等于11164128sin4225525SabC===.19.如图，四棱锥P

ABCD−中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，22BCAB==，30ACB=，侧面PAB是等边三角形．（1）证明：PBAC⊥；（2）点E是侧棱PA的中点，过,BE两点作平面，设平面与,PCPD分别交于点,FQ，

当直线//AC时，求直线PC与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得ABAC⊥，由面面垂直和线面垂直的性质可证得结论；（2）利用线面平行的性质可说明F为PC中点，以A为坐标原点建

立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】在ABC中，22BCAB==，30ACB=，由正弦定理可知：sinsinBACACBBCAB=，sin1BAC=，即90BAC=，ABAC⊥；平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB

平面ABCDAB=，AC平面ABCD，AC⊥平面PAB，又PB平面PAB，PBAC⊥.【小问2详解】直线//AC平面，平面PAC平面EF=﹐AC平面PAC，//ACEF又E为PA中点，F为PC中点．以点A为坐标原点，,ABAC分别为,xy轴，过点A垂直于

平面ABCD的直线为z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()1,0,0B，()0,3,0C，13,0,22P，13,0,44E，133,,424F，13,3,22PC

=−−，33,0,44BE=−，30,,02EF=，设平面BEF，即平面的法向量(),,nxyz=，则33044302BEnxzEFny=−+=

==，令3z=，解得：1x=，0y=，()1,0,3n=，21cos,222PCnPCnPCn===，即直线PC与平面所成角的正弦值为12.20.某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题

有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为()0001pp．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．（1）若012p=，该考生随机选择1个选项，求得分X的分布列及数学

期望；（2）为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由．方案—：随机选择一个选项；方案二：随机选择二个选项．【答案】（1）分布列见解析，数学期望()54EX=（2）选择方案一，理由见解析【解析】【分析】（1）

根据全概率公式可分别求得考生得0分和2分的概率，由此可得分布列；由数学期望公式可求得期望值；（2）结合全概率公式，分别求得每种方案考生得分情况对应的概率，进而求得得分的数学期望，比较两个期望值的大小即可确定应选择的方案.【小问1详解】设多选题正确答案是“选两项”为事件2A，正确答案是“选三

项”为事件3A，则23AA=，()20PAp=，()301PAp=−；分别记考生得0分,2分,5分为事件025,,BBB，02030BABAB=，22232BABAB=，()()()()()()()020302030022033()||PB

PABABPABPABPBAPAPBAPA==+=+121144C1111132C2C488=+=+=；()()()()()()()()222322232222233||PBPABABPABPABPBAPAPBAPA==+=+113211

44CC111352C2C488=+=+=；得分X的分布列为：X02P3858得分X的数学期望()35502884EX=+=.【小问2详解】方案一：随机选择一个选项正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0

分．02030BABAB=，22232BABAB=，()()()()()()00220330002111||14444PBPBAPAPBAPAppp=+−=+=+；()()()()()()22222330002331144||44PBPBAPAPBAPAppp=+=+−=−；随机

选择一个选项得分的数学期望为00011313102444422ppp++−=−；方案二：随机选择两个选项；()()()()()()()1232000022440022033CC51||111CC62PB

PBAPAPBAPApppp=−+−=+=−+01132p=+；()()()()()()()23222000242233C1||11C2PBPBAPAPBAppPAp=+−=−=+01122p=−；()()()()()()22335550002411||10C6PB

PBAPAPBAPAppp=+−==+；随机选择两个选项得分的数学期望为()00001111115132266pppp++−=−；000311111022623ppp−−−=−，选择方案一.21.已知函数

()ln1xfxx=−，xD．其中()()0,11,D=+（1）求函数()fx在点11,22f处的切线方程；（2）若()agxx=−，且xD，()()fxgx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）()44

ln220xy−−−=（2）)1,+【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率12f，结合12ln22f=−可求得切线方程；（2）易知0a，将恒成立的不等式转化为ln1xaxx−，分

别在()0,1和()1,+的情况下得到变形后的不等关系；构造函数()12lnhxxaxx=−−，分别在1a和01a的情况下讨论得到()hx的单调性，结合()10h=可确定满足题意的取值范围.【小问1详解】()()()221ln1ln11

xxxxxxfxxxx−+−+==−−，111ln122244ln2128f+==−，又1ln122ln2122f==−，()fx\在点11,22f

处的切线方程为()12n244ln22lyx+=−−，即()44ln220xy−−−=.【小问2详解】当()0,1x时，()ln01xfxx=−；当()1,x+时，()ln01xfxx=−；()0fx在xD上恒成立，当0

a时，()0agxx=−，()()fxgx不成立，不合题意；当0a时，不等式可变形为：ln1xaxx−，当()0,1x时，1ln2lnaxxxx−=，即12ln0xaxx−−；当()1,

x+时，1ln2lnaxxxx−=，即12ln0xaxx−−；令()12lnhxxaxx=−−，()0,x+，则()2222121axxahxaxxx−+−=−+=

；令()22mxaxxa=−+−，则244a=−；①当0，即1a时，()0mx≤恒成立，即()0hx恒成立，()hx在()0,+上单调递减，则当()0,1x时，()()10hxh=，即12lnxaxx−，12ln0xaxx−−；

当()1,x+时，()()10hxh=，即12lnxaxx−，12ln0xaxx−−；()()fxgx恒成立，满足题意；②当0，即01a时，设()0mx=的两根分别为()1212,xxxx，1222xxa+=，121=xx，1201xx，

当()1,1xx时，()0mx，即()0hx，()hx在()1,1x上单调递增，此时()()10hxh=，即12lnxaxx−，12ln0xaxx−−，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为)1,+.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数几何意义

求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本思路是将问题转化为含参函数单调性的讨论问题，通过讨论含参函数的单调性，确定符合题意的参数范围即可.22.已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=实轴左右两个顶点分别为,AB，双曲

线E的焦距为25，渐近线方程为20xy=．（1）求双曲线E的标准方程；（2）过点()0,1的直线l与双曲线E交于,CD两点．设,ACBD的斜率分别为12,kk，且123kk=−，求l的方程．【答案】（1）2214xy−=（2）440xy−+=【解析】【分析】

（1）根据焦距、渐近线方程和双曲线,,abc的关系可直接求得结果；（2）设:1lykx=+，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式和点在双曲线上的关系可化简123kk=−，得到关于k的方程，解方程求得k，进而得到直线方程.【小问1详解】双曲

线E的焦距225c=，5c=；双曲线E的渐近线方程为20xy=，即12yx=，12ba=，又222+=abc，24a=，21b=，双曲线E的标准方程为：2214xy−=.【小问2详解】由（1）得：()2,0A−，()2,0B

，设()11,Cxy，()22,Dxy，由题意知：直线l斜率一定存在，则可设:1lykx=+，由22114ykxxy=+−=得：()2214880kxkx−−−=，()22140Δ16240kk

−=−，解得：212k且214k，122814kxxk+=−，122814xxk=−−，()()11211222122222yyxkxykyxx−+==+−；221114xy−=，1111224yxxy+=−

，即1111224yxxy−=+，()()()()()()()()()1221121212121222112121212222242424411444yxxxxxxxxxxxkkyxyykxkxkxxkxx−−−−++−++====+++

+++22222222816416161644413323241641641kkkkkkkkkkk−−+−−−−++====−−++−−−，解得：14k=或12k=−，又212k且214k，14k

=，直线l的方程为：114yx=+，即440xy−+=.【点睛】关键点点睛；本题考查直线与双曲线位置关系的综合应用，解题关键是能够结合点在双曲线上，将所给等量关系转化为与韦达定理有关的等式的形式，从而代入韦达定理的结

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